流體力學-02 流體靜力學

第二章流體靜力學流體靜力學研究流體在靜止狀態(tài)下的受力平衡規(guī)律及其在工程中的應用根據(jù)力學平衡條件研究靜壓強的空間分布規(guī)律，確定各種承壓面上靜壓強產(chǎn)生的總壓力，是流體靜力學的主要任務§2.1流體靜壓強及其特性§2.2流體靜壓強的分布規(guī)律§2.3壓強的計算基準和量度單位§2.4液柱測壓計§2.5平面上的總壓力計算§2.6曲面上的總壓力計算§2.7流體平衡微分方程§2.8液體的相對平衡2/6/2023§2.1流體靜壓強及其特性

1、流體靜壓強的定義2、靜壓強的垂向性3、靜壓強的各向等值性2/6/2023

1、流體靜壓強的定義2/6/2023式中——微元面積；——作用在表面上的總壓力大小。微元表面上的流體靜壓力矢量表達式為負號說明流體靜壓力的方向是沿受壓面的內(nèi)法線方向。在平衡（靜止或相對靜止）流體中，當面積△A無限縮小到a點時，比值趨近于某一個極限值，此極限位稱為a點的流體靜壓強，以p表示。即：2/6/2023baAcBPn(1)作用面的內(nèi)法向方向2、流體靜壓強的特性（1）靜壓強的垂向性2/6/2023（2）靜壓強的各向等值性（1）表面力

2/6/2023（2）質(zhì)量力

2/6/20232/6/2023由于

2/6/2023同理

靜水壓強是空間點坐標的標量函數(shù)

2/6/2023§2.2流體靜壓強的分布規(guī)律一、液體靜壓強的基本方程式2/6/20231、2、3、2/6/20232/6/2023現(xiàn)在，把壓強關系式應用于求靜止液體內(nèi)某一點的壓強。設液面壓強為P0，液體容重為，該點在液面下深度為h，則根據(jù)上式有：

這就是液體靜力學的基本方程式。它表示靜止液體中，壓強隨深度按直線變化的規(guī)律。靜止液體中任一點的壓強是由液面壓強和該點在液面下的深度與容重的乘積兩個部分所組成。從這兩個部分可以看出，壓強的大小與容器的形狀無關。因此，不淪盛液容器的形狀怎么復雜，只要知道液面壓強P0和該點在液面下的深度h，就可用此式求出該點的壓強。2/6/2023結論：1）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強隨深度按線性規(guī)律增加。2）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強等于表面壓強加上流體的容重與該點淹沒深度的乘積。3）自由表面下深度h相等的各點壓強均相等——只有重力作用下的同一連續(xù)連通的靜止流體的等壓面是水平面。4）推廣：已知某點的壓強和兩點間的深度差，即可求另外一點的壓強值。5）液面壓強P0有所增減，則內(nèi)部壓強P亦相應地有所增減。2/6/20232/6/2023poz21例已知=800kg/m3,p1=64kpa,p2=79.68kpa求z=?解:z1+p1/g=z2+p2/gz=z1–z2=(p2–p1)/g=(79.68–64.0)103/(9.8800)z=2m2/6/20232/6/2023二、分界面和自由面是水平面2/6/20232/6/2023三、氣體壓強的計算四、非均質(zhì)流體的等密面是水平面1）非均質(zhì)流體的水平面是等壓面2）等壓面是等密面2/6/2023例A1P2P1A2已知A1=0.2m2,A2=10.0m2,P1=100kN試求P2=?解:P2=pA2=(P1/A1)A2=(10.0/0.2)100=5000(kN)2/6/2023一、靜壓強的兩種計算基準壓強計算基準絕對壓強p’相對壓強p§2.3壓強的計算基準和量度單位定義：以完全真空為基準計算的壓強稱為絕對壓強，記作p’。以當?shù)卮髿鈮簭妏a為基準計量的壓強稱為相對壓強，記作p。相對壓強、絕對壓強和當?shù)卮髿鈮簭姷南嗷リP系是：2/6/2023相對壓強可正可負，當相對壓強為正時，稱該壓強為正壓（也叫壓力表讀數(shù)或簡稱表壓）；當相對壓強為負值時，稱為負壓，負壓的絕對值又稱為真空度(即真空表讀數(shù))，記作pv國際上規(guī)定，1標準大氣壓強=101325。工程上采用工程大氣壓強，1工程大氣壓強=2/6/2023為了區(qū)別以上幾種壓強，現(xiàn)以A點和B點壓強為例，將它們的關系表示在圖2-14上2/6/20232/6/20231at=10mH2O=736mmHg=9.8104paat工程大氣壓工程大氣壓法1mmHg=13.6mmH2O=133.3pammHg毫米汞柱液柱高度法1mH2O=9.8103pamH2O米水柱液柱高度法1pa=1N/m2

pa帕應力單位法單位換算關系單位符號單位名稱壓強度量方法壓強度量單位的換算關系2/6/20232/6/2023[補充例題]封閉盛水容器中的玻璃管兩端開口，如圖（2—7）所示，已知玻璃管伸入水面以下h=1.5m時，既無空氣通過玻璃管進入容器，又無水進入玻璃管。試求此時容器內(nèi)水面上的絕對壓強和相對壓強。[解]將式（）用于容器內(nèi)水面上任一點和玻璃管底部，有當?shù)卮髿鈮簭娫跊]有特別說明情況下，一般以1個工程大氣壓強計。故由式（2—26）求得h液體靜力學的基本方程式2/6/2023測量流體的壓強是工程上極其普遍的要求，如鍋爐、壓縮機、水泵、風機、鼓風機等均裝有壓力計及真空計。常用的有彈簧金屬式、電測式和液柱式三種。一、測壓管：測壓管是一根直管或U形管，一端連接在需要測定的器壁孔口上，另一端斤開口，直接和大氣相通，如圖所示。由于相對壓強的作用，水在管中上升或下降，與大氣相接觸的液面相對壓強為零。這就可根據(jù)管中水面到所測點的高度直接讀出水柱高度?！?.4液柱測壓計液柱式儀表測量精度高，量程小，適用于低壓實驗場所。下面介紹幾種常用的液柱式測壓計：2/6/20232/6/2023

圖測壓管測壓如下圖可測水中大于大氣壓的相對壓強2/6/2023U形水銀測壓管

如果需要測定氣體壓強，可以采用u形管盛水，如右圖所示。2/6/20232、壓差計定義：測量兩點壓強差的儀器叫做壓差計，常用U形管制成，根據(jù)壓差的大小和各種不同容重的液體，仍然應用等壓面規(guī)律進行壓差進行計算。下圖為a為測定A，B兩處液體壓強差的空氣壓差計，圖b為測定壓差較大時的情況，此時我們采用水銀壓差計。ba2/6/2023對于圖a有：對于圖b有：2/6/2023管道上部為倒U形管式水柱差計，忽略空氣密度，則計算公式為：比較上面兩式，在儀器管一定的前提下，汞差壓計量程大，而水柱差壓計的準確度高。如下圖所示。水管下部為U形管式汞差壓計，它的計算公式為：差壓計2/6/20233、微壓計測量較小壓強或壓強差的儀器叫做微壓計。如圖2—21所示就是其中一種。定義：2/6/2023例水銀密度為2,酒精密度為1,如果水銀面的高度讀數(shù)為z1,z2,z3,z4

求:壓差(PA-PB)=?解:界面2的壓強PA-2g(z2-z1)界面3的壓強PA-2g(z2-z1)+1g(z2-z3)界面4的壓強PA-2g(z2-z1)+1g(z2-z3)-

2g(z4-z3)=PB界面1的壓強PAPA-PB=2g(z2-z1+z4-z3)-1g(z2-z3)4312BA122/6/2023例：對于壓強教高的封閉容器，可以采用復式U水銀測壓計，測壓管中各液面標高為：1=1.5m，2=0.2m，3=1.2m，4=0.4m，5=2.1m。試確定管中液面5（A點）壓強。[解]根據(jù)等壓面的規(guī)律，2-2，3-3及4-4都為等壓面。則：2/6/2023作業(yè)：2-3，2-12，2-252/6/2023大寫小寫英文注音中文讀音大寫小寫英文注音中文讀音Δδdelta德爾塔Ζζzeta截塔Εεepsilon伊普西龍Ππpi派Ωωomega歐米伽Ρρrho肉Ηηeta艾塔Σσsigma西格馬Θθ西塔Ττtau套Λλlambda蘭布達Ψψpsi普西Μμmu繆Φφphi佛愛Ννnu紐Χχchi西2/6/2023§2.5作用于平面上的總壓力計算一、解析法2/6/20231.靜止液體總壓力的大小作用在微小面積上的水靜壓力為：作用在受壓平面上的水靜壓力為：2/6/20232.靜止液體總壓力的作用點2/6/20232/6/20232/6/2023二、圖解法適用于上、下邊與水面平行的矩形平面上的靜水總壓力及其作用點位置。第一步：繪制水靜壓強分布圖2/6/2023第三步：確定靜止液體總壓力的作用點

梯形壓強分布三角形壓強分布第二步：計算水靜壓力2/6/2023

[例題]一鉛直矩形閘門，如圖2-28，頂邊水平，所在水深h1=1m，閘門高h=2m，寬b=1.5m，試用解析法及圖解法求水靜壓力P的大小及作用點。2/6/2023

[補充例題]如下圖所示，一矩形閘門兩面受到水的壓力，左邊水深，右邊水深，閘門與水面成傾斜角。假設閘門的寬度，試求作用在閘門上的總壓力及其作用點。

[解]作用在閘門上的總壓力系左右兩邊液體總壓力之差，即因此2/6/2023所以由于矩形平面壓力中心坐標根據(jù)合力矩定理，對通過O點垂直于圖面的軸取矩，得所以這就是作用在閘門上的總壓力的作用點距閘門下端的距離。2/6/20232-33.某處設置安全閘門如圖所示，閘門寬b=0.6m，高h1=1m，鉸接裝置于距離底h2=0.4m，閘門可繞A點轉動，求閘門自動打開的水深h為多少米。解：當

時，

閘

門

自

動

開

啟

將

代

入

上

述

不

等

式

得

hhhC122/6/2023作業(yè)：2-27，2-29，2-322/6/2023§2.6作用于曲面的液體壓力一、總壓力計算2/6/20232/6/20232/6/20232/6/2023二、液體總壓力的作用點2/6/2023三、壓力體的繪制壓力體由三部分構成(1)曲面本身(2)通過曲面周界的鉛垂面(3)自由液面或其延續(xù)面實壓力體和虛壓力體2/6/2023四、潛體、浮體2/6/20232/6/20232/6/2023圖2—23水水2m4m[解]分左右兩部分計算左部：水平分力垂直分力[例題]如圖2—23。有一圓形滾門，長1m（垂直園面方向），直徑為4m，兩側有水，上游水深4m，下游水深2m，求作用在門上的總壓力的大小及作用線的位置。2/6/2023合力右部：水平分力垂直分力合力作用線通過中心與鉛垂線成角度。2/6/2023作用線通過中心與垂線成角度?？偹椒至Γ嚎偞怪狈至Γ汉狭?/6/20232-39畫出圖中圓柱曲面上的壓力體，并標明方向。2/6/2023作業(yè)：2-37，2-402/6/2023§2.7流體平衡微分方程流體平衡微分方程的推導（1）表面力六面體中心點M(x，y，z)的壓強為p根據(jù)泰勒級數(shù)展開式

點的壓強為

2/6/2023點的壓強為

2/6/2023（2）質(zhì)量力

2/6/2023X方向平衡微分方程

2/6/2023

由瑞士學者歐拉于1775年首次導出，稱為歐拉平衡微分方程2/6/2023有勢力場中的靜壓強2/6/2023等壓面性質(zhì)：質(zhì)量力勢函數(shù)等于常數(shù)的面叫作等勢面，所以等壓面也是等勢面。2、等壓面與單位質(zhì)量力矢量垂直。式中是等壓面上任意線段。因而等壓面與單位質(zhì)量力矢量垂直。將式寫成矢量形式：1、等壓面也是等式面；2/6/2023定義：除了重力場的流體平衡問題外，工程上常見的有如下兩種：一、容器作勻加速直線運動

運動方向水平基面2勻加速直線運動如下圖，盛有液體的容器沿著與水平基面成角的斜面向下以勻加速度作直線運動。若盛液體的容器或機件對地面上的固定坐標系有相對運動，但液體質(zhì)點彼此之間卻沒有相對運動，這種運動狀態(tài)稱為相對平衡。§2.8液體的相對平衡12/6/2023對于圖1，我們有：單位質(zhì)量的重力在各軸向的分力為：由于質(zhì)點受牽連而隨容器作等加速直線運動，則作用在質(zhì)點上的牽連慣性力為：因此，單位質(zhì)量力在各軸向的分力為：所以，流體平衡微分方程式可寫為：2/6/2023設在坐標原點處x＝z＝0，p=pa；，代入上式得C＝pa。以此再代入原式，則得液面下任一點處的壓強為：其相對壓強為：為什么這種運動也可以用水靜力學方程求壓強呢?我們對比兩者的平衡微分方程式來說明；2/6/2023對于圖2，根據(jù)動靜法，成相對平衡流體質(zhì)點上的質(zhì)量力有與加速度方向相反的虛構慣性力；重力。由圖可得單位質(zhì)量分力為（2—35）2/6/2023將（2—35）式代入等壓面微分方程式可得即（2—36）積分上式得1、等壓面方程（2—37）因都是常數(shù)，故是一定值。等壓面（包括自由表面）是與水平基面成傾角的一族平行平面，這族平面應與單位質(zhì)量力相垂直。說明：2/6/2023靜壓強分布規(guī)律將（2—35）式代入（2—15）式中即得作不定積分得根據(jù)邊界條件（2—38）當或時，即可得出容器水平或垂直勻加速直線運動。如圖（2—13）所示。運動方向水平基面水平基面運動方向圖2—13容器勻加速直線運動的兩種特例2/6/2023二、容器作等角速回轉運動

圖2—14容器作等角速回轉運動與容器作勻加速直線運動分析相同。單位質(zhì)量分力為：如圖2—14所示，盛有液體的容器繞鉛直軸z作回轉運動，待運動穩(wěn)定后，液體形成如圖所示的自由表面，質(zhì)點之間不再有相對運動。（2—39）2/6/20231、等壓面方程作不定積分得即（2—40）說明：等壓面是一族繞z軸的旋轉拋物面。將式（2—39）代入等壓面微分方程中，得2/6/2023由上述方程，我們可以確定自由面方程，也可以根據(jù)自由面求任一點的壓強，其方法也是求出該點在濃面下的深度h，然后，用水靜力學方程計算。即:為什么繞鉛直軸作等角速旋轉運動的液體，也可用水靜力學方程求壓強呢？我們?nèi)匀话褍烧叩钠胶馕⒎址匠踢M行對比說明。2/6/20232、靜壓強分布規(guī)律將式（2—39）代入式（2—15）中得作不定積分，則（2—41）式中積分常數(shù)可以根據(jù)如下三種情況來確定。（1）密封容器，液面上的壓強為。（如圖2—15）邊界條件代回（2—41），得（2—42）2/6/2023（2）容器盛滿液體，頂蓋中心接觸大氣。（如圖2—16）邊界條件