第1章-2計(jì)算機(jī)運(yùn)算基礎(chǔ)

一、計(jì)算機(jī)中的數(shù)制

在計(jì)算機(jī)內(nèi)一切信息必須進(jìn)行數(shù)字化編碼（即用二進(jìn)制代碼形式），才能在機(jī)內(nèi)傳送、存儲和處理。輸入電路10110101計(jì)算機(jī)主機(jī)10100010輸出電路二進(jìn)制：只有0和1，記數(shù)按“逢二進(jìn)一”規(guī)律，第k位權(quán)是2k。二進(jìn)制十進(jìn)制

bnbn-1bn-2

……b0=

dndn-1dn-2…...d0=

ΣbkX2kk=0nΣdkX10kk=0n1011=1X23+0X22+1X21+1X20325=3X102+2X101+5X100=1X8+0X4+1X2+1X1=3X100+2X10+5X11.4計(jì)算機(jī)運(yùn)算基礎(chǔ)1二進(jìn)制二進(jìn)制數(shù)是計(jì)算機(jī)中常用的一種記數(shù)方法，它使用“０”，“１”這兩個(gè)數(shù)碼構(gòu)成以２為基數(shù)的進(jìn)制表達(dá)方式。其基本運(yùn)算規(guī)則為“逢二進(jìn)一，借一當(dāng)二”。

二進(jìn)制：b7b6b5b4b3b2b1b0

權(quán)值：12864321684212726252423222120二進(jìn)制小數(shù)：小數(shù)點(diǎn)后第k位權(quán)值位2-k=1/2k。二進(jìn)制：0.B-1b-2b-3b-4

權(quán)值：

0.50.250.1250.06252-12-22-32-41/21/41/81/1621101.1001(二進(jìn)制)=1X8+1X4+0X2+1X1+1X0.5+0X0.25+0X0.125+1X0.0625=13.5625(十進(jìn)制)

10101010＋1010101010101010010101010－01010101

010101013八進(jìn)制使用二進(jìn)制表達(dá)一個(gè)數(shù)值需要較長的編碼。為了便于記憶和使用，人們將三位二進(jìn)制數(shù)作一組用一個(gè)符號表示，構(gòu)成八了進(jìn)制，這樣可以把數(shù)碼的長度縮短三分之二。把二進(jìn)制數(shù)按三個(gè)一組的方式進(jìn)行分組，每一組將產(chǎn)生23種組合，因此需要8個(gè)數(shù)碼來表示每一位數(shù)值，這樣就構(gòu)成了八進(jìn)制。八進(jìn)制使用0，1，2，3，4，5，6，7，共八種符號來表示數(shù)碼。二進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)之間的關(guān)系如下：二進(jìn)制

000

001

010

011

100

101

110

111八進(jìn)制

0

1

2

345674二八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)十分方便，具體分為兩步：

1）以小數(shù)點(diǎn)為中心將二進(jìn)制數(shù)三位一組進(jìn)行分組；

2）將每一組用對應(yīng)的八進(jìn)制符號進(jìn)行代換，這樣就將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成了對應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)。八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，只需要將每一個(gè)八進(jìn)制數(shù)碼直接用對應(yīng)的三位二進(jìn)制數(shù)代換即可。例：設(shè)有兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)011110101000，0.10101011，試將它們轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的八進(jìn)制數(shù)。

011,110,101,0000.101,010,110八進(jìn)制數(shù)3650

0.5265十六進(jìn)制在計(jì)算機(jī)中常以字節(jié)為基本單位來表達(dá)和記錄信息，一個(gè)字節(jié)由八位二進(jìn)制數(shù)組成。八位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)并不方便，而且一個(gè)字節(jié)需要使用三個(gè)八進(jìn)制符號表示。如果將八位二進(jìn)制數(shù)分為兩組，每組四位，就可以兩個(gè)符號表示一個(gè)字節(jié)的數(shù)據(jù)，十分便于記憶和表達(dá)。由于四位二進(jìn)制數(shù)可以產(chǎn)生24種組合，因此需要16種數(shù)碼來表示一個(gè)四位二進(jìn)制數(shù)，這樣就產(chǎn)生了十六進(jìn)制。在十六進(jìn)制中使用的數(shù)碼分別為：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F(xiàn)。二進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的對應(yīng)關(guān)系如下：二進(jìn)制

00000001001000110100010101100111十六進(jìn)制

01234567二進(jìn)制

10001001101010111100110111101111十六進(jìn)制

89 A

BCDEF6二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)也分為兩步：

1）以小數(shù)點(diǎn)為中心將二進(jìn)制數(shù)四位一組進(jìn)行分組；

2）將每一組用對應(yīng)的十六進(jìn)制符號進(jìn)行代換，這樣就將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成了對應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)。十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，只需要將每一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)碼直接用對應(yīng)的四位二進(jìn)制數(shù)代換即可。例：設(shè)有兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)11110101000，0.101010111

，試將它們轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的十六進(jìn)制數(shù)。

0111，1010，10000.1010，1011

十六進(jìn)制數(shù)7A8

0.AB

7二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換十進(jìn)制數(shù)是人們最常使用的一種數(shù)的表達(dá)和運(yùn)算方式，每一個(gè)十進(jìn)制數(shù)由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十種符號組成。十進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)之間無法直接進(jìn)行代換，需要使用一定的計(jì)算方法。可以從它們的數(shù)學(xué)表達(dá)中來描述這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，假設(shè)有十進(jìn)制整數(shù)X，若其對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)可表示為an-1an-2…a1a0，則有如下等式成立：

X=an-12n-1+an-22n-2+…+a121+a020

該等式兩邊同時(shí)除以2，得

X/2=an-12n-2+an-22n-3+…+a120

………

余數(shù)為a0再同時(shí)除以2，得

(X/2)/2=an-12n-3+an-22n-4+…+a220....……

余數(shù)為a18反復(fù)除以2 ......最后得X/2n=0………

余數(shù)為an-1

將所得余數(shù)從下往上依次排列就是十進(jìn)制數(shù)X對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)an-1an-2…a1a0，這種方式稱為“除留余數(shù)法”或“除2法”。例：將十進(jìn)制數(shù)123，用除2法轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。1111011B即為123D對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)9設(shè)如果有十進(jìn)制純小數(shù)0.Y，其對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為0.a-1a-2…a-m則有等式：0.Y＝a-12-1+a-22-2+…+a-m2-m

如果將等式兩邊乘以2，則有

(0.Y)×2＝(a-12-1+a-22-2+…+a-m2-m)×2=a

-1+a-22-1+…+a-m2-m+1

取等式兩邊的整數(shù)部分，則有（0.Y）×2取整＝a-1將兩邊小數(shù)部分再乘以2

(0.Y×2-a-1)×2=(a-22-1+…+a-m2-m+1）×2＝a-2+a-32-1…+a-m2-m+2取等式兩邊的整數(shù)部分，則有(0.Y×2-a-1)×2取整＝a-2依此類推則可得到二進(jìn)制數(shù)的各位數(shù)值。然后排列成0.a-1a-2…a-m即可，這種方法稱為“乘2取整法”或“乘2法”。10例：將十進(jìn)制數(shù)0.625，采用乘2法轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。注意：有些數(shù)可能永遠(yuǎn)也無法通過乘2的方式變成整數(shù)，一直會有小數(shù)部分，當(dāng)所需要的精度達(dá)到后就不用再進(jìn)行乘法操作了。如：0.725,0.225……11從以上的計(jì)算過程可以看出，十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)需要分為兩步進(jìn)行：

1）將十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分采用除2法轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的二進(jìn)制整數(shù)；

2）將十進(jìn)制數(shù)的小數(shù)部分采用乘2法轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的二進(jìn)制小數(shù)。最后將轉(zhuǎn)換的整數(shù)部分和小數(shù)部分合并即可得到十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成的二進(jìn)制數(shù)。12不同進(jìn)制數(shù)據(jù)，相同的表示會有不同的數(shù)值大小，為了在表示數(shù)據(jù)時(shí)不產(chǎn)生歧義，通常在數(shù)據(jù)最后加一個(gè)字母來區(qū)別不同的進(jìn)制。十進(jìn)制數(shù)使用D表示（可以省略），二進(jìn)制數(shù)使用B表示，八進(jìn)制數(shù)使用Q表示，十六進(jìn)制使用H表示。其對照關(guān)系如右表所示。十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制00000B0Q0H10001B1Q1H20010B2Q2H30011B3Q3H40100B4Q4H50101B5Q5H60110B6Q6H70111B7Q7H81000B10Q8H91001B11Q9H13二、計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示和運(yùn)算在計(jì)算機(jī)中無論是數(shù)據(jù)還是其它信息都是采用一定長度的二進(jìn)制數(shù)表達(dá)。對于不同的信息，所需要的二進(jìn)制數(shù)長度也不同。人們規(guī)定：在微型計(jì)算機(jī)中以八位二進(jìn)制數(shù)為一個(gè)基本單位來分配存儲地址，稱為字節(jié)（Byte）。任何一個(gè)信息最少要用一個(gè)八位二進(jìn)制數(shù)來表達(dá)，如果需要更長的二進(jìn)制數(shù)表達(dá)某些信息則需要使用八的整數(shù)倍二進(jìn)制數(shù)，如16位，32位等。X86系統(tǒng)中常用的數(shù)據(jù)長度單位有：

字節(jié)：8個(gè)二進(jìn)制位（Byte）1Byte=8bit

字：2個(gè)字節(jié)（Word）1Word=2Byte=16bit

雙字：4個(gè)字節(jié)（DoubleWords），1DoubleWords=4Byte=32bit

四字：4個(gè)字（QuadWords），1QuadWords=4W=8Byte=64bit

十字節(jié)：10字節(jié)（TenBytes），1TenBytes=10Byte=80bit14計(jì)算機(jī)中多字節(jié)數(shù)據(jù)的存儲在計(jì)算機(jī)中每一個(gè)字節(jié)存儲空間分配一個(gè)地址，多字節(jié)數(shù)據(jù)需要多個(gè)存儲地址。用哪一個(gè)地址來表示多個(gè)字節(jié)組成的數(shù)據(jù)呢？計(jì)算機(jī)中多字節(jié)數(shù)據(jù)有兩種數(shù)據(jù)存儲方式，一種稱為大端存儲法，另一種稱為小端存儲法。所謂大端存儲就是將多個(gè)字節(jié)數(shù)據(jù)依次存放，將高字節(jié)數(shù)據(jù)存放到低地址，將低字節(jié)數(shù)據(jù)存放到高地址。所謂小端存儲就是將多個(gè)字節(jié)數(shù)據(jù)依次存放，高字節(jié)數(shù)據(jù)存放到高地址，低字節(jié)數(shù)據(jù)存放到低地址。如32位數(shù)據(jù)12345678H存放到起始地址為100H的存儲器中。兩種不同的存儲方式下數(shù)據(jù)在內(nèi)存中的示意如圖：15地址數(shù)據(jù)地址數(shù)據(jù)100H12H100H78H101H34H101H56H102H56H102H34H103H78H103H12H104H……104H……(a)大端存儲

(b)小端存儲

X86系列CPU采用小端存儲16BCD碼如果使用二進(jìn)制數(shù)對十進(jìn)制的數(shù)碼進(jìn)行編碼，并利用編碼的位置關(guān)系來表達(dá)十進(jìn)制數(shù)的位權(quán)關(guān)系，則可以更方便地在計(jì)算機(jī)中對十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行表示和運(yùn)算。常用的編碼稱為二～十進(jìn)制碼或稱BCD碼（BinaryCodedDecimal）。如:十進(jìn)制數(shù)100如果直接進(jìn)行數(shù)值轉(zhuǎn)換，用二進(jìn)制數(shù)表示就應(yīng)該是0110,0100B（64H）,需要進(jìn)行7次除2取余計(jì)算得到。而使用BCD編碼，就可以直接表示為0001,0000,0000B，

1

0

0也就是直接將十進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)碼轉(zhuǎn)換成一個(gè)對應(yīng)編號，然后按其位置進(jìn)行排列來表示該數(shù)。這極大地方便了十進(jìn)制數(shù)的表達(dá)和轉(zhuǎn)換。17由于計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)地址分配的基本單位是字節(jié)，因此，對每一個(gè)數(shù)碼進(jìn)行編號通常是以字節(jié)為單位進(jìn)行的，也就是說每一個(gè)數(shù)碼將由八位二進(jìn)制編碼。這種BCD碼稱為非壓縮BCD碼。顯然非壓縮BCD碼的浪費(fèi)很大。如果每一個(gè)十進(jìn)制數(shù)碼用四位二進(jìn)制編碼，則可以減少一半存儲空間。這種BCD碼稱為壓縮BCD碼。其對照表如右圖。十進(jìn)制非壓縮BCD碼壓縮BCD碼000000000000010000000100012000000100010300000011001140000010001005000001010101600000110011070000011101118000010001000900001001100118二進(jìn)制：逢二進(jìn)一，借一當(dāng)二

加法規(guī)則

減法規(guī)則

0+0=0

0-0=00+1=1

0-1=1（借1）

1+0=1

1-0=1

1+1=0（進(jìn)1）

1-1=0十六進(jìn)制：逢十六進(jìn)一，借一當(dāng)十六

C3H

35H

＋

85H

－2CH————— —————

148H 09H算術(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則19邏輯運(yùn)算的基本規(guī)則“或”運(yùn)算（OR）

ABA∨B000011101111“與”運(yùn)算（AND）

ABA∧B000010100111“非”運(yùn)算（NOT）

A－A0110“異或”運(yùn)算（XOR）

ABAB00001110111020例：X=00FFHY=5555H，求Z=XY=?

X

=0000000011111111B

Y

=0101010101010101B

—————————————

Z

=

0101010110101010BZ=55AAH21有符號數(shù)表示和運(yùn)算有符號數(shù)在計(jì)算機(jī)中表示時(shí)，除了數(shù)值大小外，還有相應(yīng)的正負(fù)號，通常正負(fù)號以二進(jìn)制數(shù)據(jù)最高位來表示。不同計(jì)算機(jī)處理能力和表示范圍有所不同，表示一個(gè)數(shù)據(jù)所使用的二進(jìn)制位數(shù)也不相同，通常是字節(jié)的整數(shù)倍，如：8位、16位、32位等。假設(shè)機(jī)器字長為8位：

76543210符號位數(shù)值位假設(shè)機(jī)器字長為16位：符號位數(shù)值位1514131211109876543210符號位=0表示正數(shù)符號位=1表示負(fù)數(shù)22常用表示法——原碼、反碼、補(bǔ)碼原碼表示法：符號+絕對值例：n=8bit

[+3]原碼

=0000,0011=03H

[-3]原碼

=1000,0011=83H

[+0]原碼

=0000,0000=00H

[-0]原碼

=1000,0000=80H0的表示不唯一反碼表示法：正數(shù)的反碼同原碼，負(fù)數(shù)的反碼數(shù)值位與原碼相反例：n=8bit

[+5]反碼

=0000,0101=05H

[-5]反碼

=1111,1010=FAH[+0]反碼

=0000,0000=00H

[-0]反碼

=1111,1111=FFH0的表示不唯一23補(bǔ)碼表示法：正數(shù)的補(bǔ)碼：同原碼[+1]補(bǔ)碼=00000001=01H[+127]補(bǔ)碼=01111111=7FH[+0]補(bǔ)碼=00000000=00H按位求反末位加一例：機(jī)器字長8位，[-46]補(bǔ)碼=？

[46]補(bǔ)碼=001011101101000111010010=D2H

機(jī)器字長16位，[-46]補(bǔ)碼=FFD2H

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼：（1）寫出與該負(fù)數(shù)相對應(yīng)的正數(shù)的補(bǔ)碼（2）按位求反（3）末位加一取反加一24 [-1]補(bǔ)碼=11111111=FFH [-127]補(bǔ)碼=10000001=81H [-128]補(bǔ)碼=10000000=80H [-0]補(bǔ)碼=00000000=00H（+0、-0相同）n位補(bǔ)碼的表數(shù)范圍：-2n-1N2n-1-1n=8-128N127n=16-32768N3276725移碼表示法：在數(shù)的真值上加一個(gè)偏移量形成。

[X]移=2n-1－1+X其中-2n-1<X<2n-1，n為包括符號位在內(nèi)的二進(jìn)制碼長度，X為待轉(zhuǎn)換的實(shí)際數(shù)值，即X用加/減號表示符號，絕對值表示數(shù)值，相當(dāng)于將所有X的原碼加上2n-1-1。例：如X=100，Y=－100，用八位二進(jìn)制數(shù)表示它們的移碼為：X=+01100100，Y=－01100100，28-1－1=01111111則[X]移=01111111＋01100100=11100011[Y]移=01111111－01100100=00011011數(shù)值0的移碼表示為[+0]移=01111111＋00000000=01111111[-0]移=01111111－00000000=01111111相當(dāng)于將所有數(shù)值都向正向移動(dòng)了2n-1－126有符號數(shù)的加減運(yùn)算計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的加／減運(yùn)算，通常以補(bǔ)碼方式進(jìn)行：加法規(guī)則：[X＋Y]補(bǔ)碼=[X]補(bǔ)碼＋[Y]補(bǔ)碼減法規(guī)則：[X－Y]補(bǔ)碼=[X]補(bǔ)碼＋

[－Y]補(bǔ)碼補(bǔ)碼進(jìn)行減法運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的加法運(yùn)算，計(jì)算中符號位參與運(yùn)算，并能得到正確結(jié)果。27溢出問題及判斷：由于補(bǔ)碼中最高位為符號位，當(dāng)計(jì)算結(jié)果超過補(bǔ)碼表示范圍時(shí)，可能導(dǎo)致不正確的進(jìn)位，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果，這時(shí)稱為溢出。溢出是超出補(bǔ)碼表示范圍，即計(jì)算結(jié)果絕對值過大引起。因此，計(jì)算結(jié)果溢出的基本條件是計(jì)算結(jié)果的絕對值大于參與計(jì)算的兩個(gè)數(shù)的絕對值。很顯然，只有當(dāng)兩個(gè)參與計(jì)算的數(shù)為同號相加，或異號相減時(shí)才可能出現(xiàn)溢出問題。當(dāng)同號相加，或異號相減時(shí)，計(jì)算結(jié)果的絕對值超過補(bǔ)碼表示范圍（-2n-1N2n-1-1）時(shí)，才產(chǎn)生溢出。如：計(jì)算機(jī)字長為８時(shí)（+120）+（+30）,(-50)+(-80)同號相加產(chǎn)生生溢出（+34）－（-95）和（-45）－（+123）異號相減產(chǎn)生溢出28使用二進(jìn)制表示時(shí)，判斷溢出的基本方法：１）根據(jù)參與運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)最高位，判斷是否為同符號數(shù)相加或異符號數(shù)相減運(yùn)算。２）如果有減法則將減法轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的補(bǔ)碼加法運(yùn)算，作加法運(yùn)算后，若計(jì)算結(jié)果的符號位與被加數(shù)（被減數(shù)）符號不相同，則可判斷有溢出發(fā)生。29(-120)+(-30)=[10001000]補(bǔ)+[11100010]補(bǔ)

[10001000]補(bǔ) ＋[11100010]補(bǔ)進(jìn)1 [01101010] 符號位與被加數(shù)不同，溢出。兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，結(jié)果為正數(shù)，結(jié)果錯(cuò)誤。

(+34)－(-95)=[00100010]補(bǔ)+[01011111]補(bǔ)

[00100010]補(bǔ)＋[01011111]補(bǔ)

[100