電磁學 第一章 矢量分析與場論

矢量分析與場論——電磁場理論的理論基礎(chǔ)與重要數(shù)學工具格林定理與亥姆霍茲定理標量場的梯度矢量場的環(huán)流、旋度矢量與場量的基本概念、坐標系變換矢量場的通量、散度1.1矢量分析與場論基礎(chǔ)一、矢量與矢量場

標量與矢量標量：只有大小，沒有方向的物理量（溫度，高度等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，電、磁場強度）

矢量的表示方式注：矢量書寫時，印刷體為場量符號加粗，如。教材上符號即為印刷體。矢量可表示為：其中為其模值，表征矢量的大??；

為其單位矢量，表征矢量的方向；

矢量的運算則：說明：矢量間不存在除法運算。4（1）矢量的加減法

兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的代數(shù)運算矢量的加法矢量的減法

在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：矢量的加減符合交換律和結(jié)合律結(jié)合律交換律5（2）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）——矢量的標積符合交換律q矢量與的夾角6（4）矢量的矢積（叉積）qsinABq矢量與的叉積用坐標分量表示為寫成行列式形式為若，則若，則7（5）矢量的混合運算——

分配律——

分配律——

標量三重積——

矢量三重積

標量場與矢量場

按物理量的性質(zhì)標量場物理量為標量（溫度場,電位場）矢量場物理量為矢量（電場、磁場）場概念的引入：物理量（如溫度、電場、磁場）在空間中以某種形式分布，若每一時刻每個位置該物理量都有一個確定的值，則稱在該空間中確定了該物理量的場。

按物理量變化特性靜態(tài)場物理量不隨時間的變化而變化

時變場（動態(tài)場）物理量隨時間的變化而變化場的分類：二、常用正交坐標系

直角坐標系單位矢量：矢量表示：位置矢量：基本變量：

圓柱坐標系單位矢量：矢量表示：位置矢量：基本變量：

球面坐標系單位矢量：矢量表示：位置矢量：基本變量：

坐標變換

圓柱坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關(guān)系

球面坐標系與直角坐標系間單位矢量變換關(guān)系1.2矢量場的通量散度一、矢量線（力線）矢量場的通量

矢量線的疏密表征矢量場的大小矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向

若S為閉合曲面

若矢量場分布于空間中，在空間中取任意曲面S，定義：為矢量沿有向曲面S的通量。物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的通量的代數(shù)和。

二、矢量場的散度

面元矢量定義：面積很小的有向曲面：面元面積，其值可認為無限?。唬好嬖ň€方向，垂直于面元平面。

通過閉合面S的通量的物理意義

若，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源

若，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源

若，閉合面內(nèi)不一定無源三、矢量場的散度

散度的定義

在場空間中任意點M處作一個閉合曲面，所圍的體積為，則定義場矢量在M點處的散度為：討論：

散度的物理意義

矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性

矢量場的散度是一個標量,其大小表征散發(fā)（吸收）通量的強度

矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)

矢量場的散度值表征空間中通量源的密度

若，則該矢量場稱為有源場，為源密度

若處處成立，則該矢量場稱為無源場

討論：在矢量場中，(正源)

負源)(無源）式中：哈密頓算符

散度的計算

直角坐標系下：

圓柱坐標系下：

球面坐標系下：四、散度定理（矢量場的高斯定理）

該公式表明了矢量場的散度在體積V內(nèi)的積分等于矢量場在限定該體積的邊界面S上的積分（通量）。散度定理的證明散度定理的證明從散度定義有：則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：得證！散度的有關(guān)公式：例：已知是一個無源場，求a,b,c的值解：由于該矢量場是無源場，那么其散度為0若使得有a=2,b=-1,c=-21.3矢量場的環(huán)流旋度一、矢量的環(huán)量

環(huán)流的計算在場矢量空間中，取一有向閉合路徑l，則稱沿l積分的結(jié)果稱為矢量沿l的環(huán)量。即：

環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則回路所圍面積中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。

在直角坐標系中：討論：二、矢量的旋度

環(huán)流面密度

矢量場的旋度

旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。用表示，即：式中：表示矢量場旋度的方向；M

表示矢量場在點M處沿方向的漩渦源密度；其值與方向有關(guān)。在場矢量空間中，圍繞空間某點M取一面元S，其邊界曲線為C，面元法線方向為，當面元面積無限縮小時，可定義在點M處沿方向的環(huán)量面密度

旋度的物理意義

旋度的計算

矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù)；

矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度；

在直角坐標系下：旋度之所以得名，是因為在速度場

中個點處的旋度，跟場在該點處的旋轉(zhuǎn)角速度正好差一個常數(shù)因子2：三、斯托克斯定理由旋度的定義

對于有限大面積s，可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有斯托克斯定理的證明：＝得證！

意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。24旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零26例：已知矢量：求在處的旋度求27散度和旋度的區(qū)別

計算旋度與散度的Jacobi矩陣設(shè)矢量場定義如下形式的矩陣：散度旋度的三個分量1.4標量場的梯度一.等值面（線）

由所有場值相等的點所構(gòu)成的面(線)，即為等值面(線)。即若標量函數(shù)為，則等值面方程為：二.標量場的梯度

梯度的定義式中：為垂直于等值面（線）的方向。

梯度的性質(zhì)

標量場的梯度為一矢量，且是坐標位置的函數(shù)

標量場的梯度表征空間某點處場的變化規(guī)律：方向為標量場增加最快的方向，幅度表示標量場的最大變化率梯度描述了空間某點處標量場隨位置變化的規(guī)律。

梯度的運算在球面坐標系中

柱面坐標系中

直角坐標系下三.梯度的重要性質(zhì)標量場的梯度恒等于零。32標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。討論：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）33

例設(shè)一標量函數(shù)(x,y,z)=x2＋y2－z描述了空間標量場。試求：

(1)該函數(shù)在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；

(2)求該函數(shù)沿單位矢量el=

excos60＋ey

cos45

＋ezcos60方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。

解

(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為34表征其方向的單位矢量

(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為35而該點的梯度值為

顯然，梯度描述了P點處標量函數(shù)的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故恒成立。36例

已知

證明解（1）373839拉普拉斯運算與格林定理

1、拉普拉斯運算

標量拉普拉斯運算概念：——拉普拉斯算符直角坐標系計算公式：圓柱坐標系球坐標系40

矢量拉普拉斯運算概念：即注意：對于非直角分量，直角坐標系中：如：412.格林定理

設(shè)任意兩個標量場

，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，可以證明該兩個標量場滿足下列等式。

根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S

為包圍V的閉合曲面，為標量場

在S表面的外法線en

方向上的偏導數(shù)。以上兩式稱為標量第一格林定理。SV,4243基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標量第二格林定理。

格林定理說明了區(qū)域V中的場與邊界S上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。

此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。

格林定理廣泛地用于電磁理論。441.5亥姆霍茲定理

一、亥姆霍茲定理

在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的散度、旋度和邊界條件（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是亥姆霍茲定理的內(nèi)容。

二、矢量場的分類根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：調(diào)和場

若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：和則在該區(qū)域V內(nèi)，場為調(diào)和場。注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。有源無旋場

若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為有源無旋場。

結(jié)論：有源無旋場矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。有源無旋場也稱保守場。無源有旋場

若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為無源有旋場。討論：由于旋度為零，由斯托克斯定理說明：式中為矢量場漩渦源密度。