量子力學：22-力學量本征值問題的代數(shù)解法

量子力學諧振子的薛定諤因式分解法角動量的本征值與本征態(tài)第23講目錄零、一維諧振子的分析解法（回顧）一、諧振子的薛定諤因式分解法二、角動量的本征值與本征態(tài)三、代數(shù)解法總結

四、例題

零、一維諧振子的分析解法（回顧）

一維諧振子的能量本征方程:(1)漸進行為和束縛態(tài)條件：

令：代入原方程零、一維諧振子的分析解法（回顧）（厄米方程）冪級數(shù)解法能量本征值能量本征態(tài)：厄米多項式

以上為分析解法，非常復雜。本講將引入的薛定諤因式分解法（代數(shù)解法）處理該問題很簡單。一、諧振子的薛定諤因式分解法（1）1、，和的引入一維諧振子的哈密頓量:

利用自然單位：

引入兩個算符：和定義為：

對易關系：

逆變換：留作練習一、諧振子的薛定諤因式分解法（2）一維諧振子的哈密頓量用和表示為：注意：定義：因此，稱為粒子數(shù)算符。

的性質(zhì)：在任何量子態(tài)下：

為正定（線性代數(shù)）的厄米算符，正定厄米算符的本征值為非負實數(shù)。一、諧振子的薛定諤因式分解法（3）2、的本征值和本征態(tài)。設的本征值為，本征態(tài)為，即：

即：若令則有：，對比，可以看出就是算符屬于本征值的本征態(tài)。一、諧振子的薛定諤因式分解法（4）

利用同樣的方法，可得即：的本征態(tài)：的本征值：

為正定的厄米算符，其本征值為非負實數(shù)?？隙ù嬖谝粋€最小的本征值，相應的本征態(tài)為，則為的本征值為的本征態(tài)，即：一、諧振子的薛定諤因式分解法（5）3、利用確定一維諧振子的本征值即：，為的本征值，加上能量單位：；就是一維諧振子的屬于本征值本征態(tài)。

以上求解一維諧振子能量本征值的方法，未涉及任何分析（微分，積分等）的方法，僅僅從代數(shù)（左乘，數(shù)乘等）的角度來求解的。一、諧振子的薛定諤因式分解法（6）4、的性質(zhì)

因此就是算符屬于本征值的本征態(tài)。同理：（）的本征態(tài)：的本征值：的本征值：一、諧振子的薛定諤因式分解法（7）：下降算符：上升算符固體物理：和稱為聲子的產(chǎn)生和消滅算符。量子電動力學（激光的全量子理論）：和稱為光子的產(chǎn)生和消滅算符。一、諧振子的薛定諤因式分解法（8）5、一維諧振子的本征態(tài)

已證明就是一維諧振子的屬于本征值本征態(tài)。但是具體的形式未給出。利用上升算符可證明：歸一化的

即：

坐標表象中的表示：首先求的表示，取坐標表象：一、諧振子的薛定諤因式分解法（9）加上自然單位：歸一化的基態(tài)波函數(shù)激發(fā)態(tài)波函數(shù)：，加上長度自然單位二、角動量的本征值與本征態(tài)

（1）1、角動量算符的定義設有三個標量算符，和，若它們滿足下列對易式：則由這三個標量算符作為分量的矢量算符稱為角動量算符，上述三個對易式稱為角動量的基本對易式。這個三個對易式與三個標量算符是角動量算符分量互為充分必要條件。定義：為角動量平方算符，滿足對易式：基本對易式合寫為：二、角動量的本征值與本征態(tài)

（2）2、角動量算符本征值和本征態(tài)的代數(shù)解法

考慮二維各向同性諧振子，相應的兩類聲子產(chǎn)生和消滅算符分別為：和滿足對易式：定義正定厄米算符：設其本征值分別為和，分別聲子的數(shù)目

和歸一化共同本征態(tài)：二、角動量的本征值與本征態(tài)

（3）

定義以下算符（）：可以證明因此這三個算符，和可組成一個角動量算符：其中：二、角動量的本征值與本征態(tài)

（4）若的本征值可表示為則根據(jù)即角動量量子數(shù)只能取非負整數(shù)或半奇數(shù)

為和的共同本征態(tài)，將改記為的取值范圍：二、角動量的本征值與本征態(tài)

（5）根據(jù)逆變換：角動量的本征值與本征態(tài)：三、代數(shù)解法總結

（1）代數(shù)解法的核心？對易關系代數(shù)變換

和為粒子數(shù)產(chǎn)生和消滅算符，粒子數(shù)算符。粒子數(shù)表象四、例題

第一題：證明由產(chǎn)生算符性質(zhì)可知和為同一個態(tài)：

為一個常數(shù)，取它的模方取即四、例題

第二題：定義證明：由題可知：已知：，令根據(jù)：根據(jù)逆變換：有：角動量的共同本征函數(shù)―球諧函數(shù)角動