圖像處理第9章圖像變換編碼

第9章圖像變換編碼圖象編碼的目的是在保證一定視覺質量的前提下減少數據量（從而也減少圖象傳輸所需的時間），這也可看作使用較少的數據量來獲得較好的視覺質量。圖象編碼以信息論為基礎，以壓縮數據量為主要目的，所以圖象編碼也常被稱為圖象壓縮。章節(jié)內容可分離圖像變換離散余弦變換正交變換小波變換9.1可分離和正交圖像變換可分離性在實際中常用于簡化計算。2-D圖像變換正向變換核及反向變換核只依賴于x,y,u,v而與f(x,y)或T(u,v)的值無關9.1可分離和正交圖像變換可分離性討論（以正向變換核為例）設定下式成立：這時稱正向變換核是可分離的，若h1與h2形式一樣，則正向變換核具有對稱性，上式可寫成即具有可分離變換核的2-D變換可分成兩個步驟計算，每一步驟用一個1-D變換9.1可分離和正交圖像變換H(x,y,u,v)是可分離的和對稱的函數時，正向變換核可寫為矩陣形式：

優(yōu)點：

表達簡潔減少冗余減少操作次數

若得到逆變換，將式（9.1.5）兩邊分別乘一個反變換矩陣B得

T=AFA變換結果圖像矩陣對稱變換矩陣BTB=BAFAB（9.1.5）若B=A-1，則F=BTB

圖像F可完全由其變換結果來恢復

9.1可分離和正交圖像變換酉矩陣：在B=A-1基礎上（*代表共軛），若有

A-1=A*T則稱A為酉矩陣，相應的變換為酉變換。若A為實矩陣，且

A-1=AT則稱A為正交矩陣，相應變換為正交變換9.2離散余弦變換離散余弦變換（DCT）是一種可分離和正交變換，并且是對稱的。1.變換定義1-D離散余弦變換和其反變換定義：a(u)為歸一化加權系數：9.2離散余弦變換2-D的DOC變換定義

u,v=0,1,...,N-1x,y=0,1…N-19.2離散余弦變換2.變換計算對離散余弦變換的計算可借助離散傅里葉變換的實部計算進行

g(x)的前半部分是f(x)的偶數項，

g(x)的后半部分是f(x)的奇數項的逆排傅里葉變換(9.2.6)g(x)表示對f(x)的如下重排：9.2離散余弦變換式（9.2.6）將對N點離散余弦變換的計算轉化為對N點的離散傅里葉變換計算。利用N點的快速傅里葉變換就可快速的計算離散余弦變換所有N個系數。直接計算一個1-D的N點DCT需要N2次乘法和N(N-1)次加法，將1個N×N的圖像塊用1-D形式計算需要2N3次乘以2N2(N-1)次加法。余弦函數是偶函數，所以N點的離散余弦變換中隱含了2N點的周期性，與隱含N點周期性的傅里葉變換不同，余弦變換可減少在圖像分塊邊界處的間斷，這是他在圖像壓縮，尤其JPEG標準中得到應用的重要原因之一。離散余弦變換的基本函數與傅里葉變換的基本函數類似，都定義在整個空間，在計算任意一個變換域或中點的變換時都需要用到所有原始數據點的信息，所以也常被認為具有全局的本質特性或被稱為全局基本函數9.3正交變換編碼{利用正交變換將圖像映射成一組變換系數，然后將這些系數量化和編碼}9.3.1正交變換編碼系統(tǒng)減少變換的計算復雜度，解除每個子圖象內部像素之間的相關性，或者說將盡可能多的信息集中到盡可能少的變換系數上。圖像分解：圖像變換：圖9.3.1典型的正交變換編解碼系統(tǒng)框圖9.3.2子圖像尺寸選擇利用正交圖像變換進行變換編碼需要將圖像分解為子圖像集合，一般均分解為尺寸相同的一組子圖像。子圖像尺寸是影響變換編碼誤差和計算復雜度的一個重要因素（壓縮量和計算復雜度都隨子圖象尺寸的增加而增加）兩個選擇子圖像尺寸的基本條件：①相鄰子圖象之間的相關（冗余）減少到某個可接受的水平；②子圖象的長和寬都是2的整數次冪,(簡化對子圖像變換的計算）。{p03例9.3.1子圖像尺寸選擇}最常用的子圖象尺寸：8×8和16×169.3.3變換選擇1.重建均方誤差一副N×N圖像f(x,y)可表示成它的2-D變換T(u,v)的函數：

現將式(9.3.1)表示成如下形式：

n×n矩陣(9.3.1)(9.3.2)9.3.3變換選擇定義一個變換系數的模板函數0如果T(u,v)滿足特定的截斷準則m(u,v)=1其他情況那么給出一個F的截斷近似。其中m(u,v)是根據把對式(9.3.2)的求和貢獻最少的基本函數消除的原則而設計的。（9.3.3）（9.3.4）9.3.3變換選擇子圖像F和其近似之間的均方誤差可表示為矩陣范數系數在變換位置(u,v)的方差（9.3.5）上式最后一步的簡化基于變換基本函數的正交歸一化性質，以及F中的像素是由零均值和已知方差的隨機過程所產生的假設。另外，根據上式的假設可知，一幅N×N的圖像中的所有(N/n)2個子圖像的均方誤差是相同的，所以等于其中單幅子圖像的均方誤差9.3.3變換選擇圖像和其近似之間的總均方誤差是所有被截除變換系數的方差之和。變換具有將圖像能量或信息集中于某些系數的能力，如果變換后在較少幾個系數上的方差越高，在變換域進行壓縮的可能性就越大。一個能把最多的信息集中到最少的系數上的變換所產生的重建均方誤差會最小。9.3.3變換選擇2.兩種變換的比較(1)重建均方誤差方面：DFT和DCT均屬于正弦變換，有較高的信息集中能力，能取得較小均方誤差；(2)計算方面：均有與輸入數據無關的固定的基本核函數，均有快速算法，且已被設計在單個集成塊上；(3)相對DFT，DCT能給出最小的使子圖像邊緣可見的塊效應（歸因于它的偶函數性質）。9.3.4比特分配比特分配：

整個對變換子圖象的系數截斷、量化和編碼的全過程上面的截斷誤差與2個因素有關①截除的變換系數的數量和相對重要性②用來表示所保留系數的精度（量化）保留系數的2個準則①最大方差準則，稱為分區(qū)編碼②最大幅度準則，稱為閾值編碼9.3.4比特分配1.分區(qū)編碼具有最大方差的變換系數帶有最多的圖象信息，他們應當保留在編碼過程中。方差既可從(N/n)2個變換后的子圖像中算的，也可基于某些圖像模型算得。這兩種情況下，根據式(9.3.5)都可將分區(qū)采樣過程看做用T(u,v)與一個分區(qū)模板中對應元素相乘。事先確定模板并保留一定的系數，即分區(qū)，分區(qū)中對應最大方差位置的一些系數為1，其他位置系數為0.一般具有最大方差的系數集中于接近圖像變換的原點處（圖9.3.4a）9.3.4比特分配分區(qū)采樣過程保留的系數需要量化和編碼，故分區(qū)模塊中每個元素可用對每個系數編碼所需的比特數表示（圖9.3.4b）9.3.4比特分配兩種分配策略①給個系數分配相同數量的比特

（將系數用它們的均方差歸一化，然后均勻量化）②給不同系數分配總數固定的比特數

（對每個系數設計一個量化器，將零階或直流分量系數模型化為一個瑞利密度函數，其他系數模型化為拉普拉斯或高斯密度函數）由于每個系數都是子圖像中像素的線性組合，所以根據中心極限定理，隨著子圖像尺寸的增加，系數趨向于高斯分布，由于一個高斯隨機變量所包含的信息內容正比于其方差，故對式(9.3.5)中基于最大方差而保留的系數，必須分配正比于這些系數的方差的比特數。9.3.4比特分配2.閾值編碼閾值編碼在本質上是自適應的，為各個子圖像保留的變換系數的位置隨子圖像的不同而不同，計算簡單，是實際中最常用的自適應變換編碼方法根據子圖象特性自適應選擇保留系數將系數排隊，與閾值比較確定去舍（游程/變長碼）9.3.4比特分配隨子圖象不同而保留不同位置的變換系數常用三種對變換子圖象取閾值（即產生式(9.3.3)所示模板函數）的方法：(1)對所有子圖象用一個全局閾值

（壓縮的程度隨（不同）子圖象而異）(2)對各個子圖象分別用不同的閾值

（舍去同數量系數，碼率是個常數）

（3）根據子圖像中各系數的位置選取閾值

（碼率是變化的，可將取閾值和量化結合起來）方法(3)中，將式(9.3.4)中的T(u,v)m(u,v)用TN(u,v)代替：式中，TN(u,v)是T(u,v)的取閾值和量化后的近似，N(u,v)是變換歸一化矩陣N的元素：在歸一化的變換子圖像TN(u,v)被反變換以得到F(u,v)的近似前，要先將TN(u,v)與N(u,v)相乘，得到解除了歸一化的數組記為TA(u,v):

TA(u,v)=TN(u,v)N(u,v)對TA(u,v)求反變換得到解壓縮的近似子圖像。9.4小波變換9.4.1小波變換基礎3個概念：序列展開、縮放函數（尺度函數）、小波函數1.序列展開1-D函數f(x,y),可用一組序列展開函數的線性組合來表示：ak是實數，稱為展開系數，uk(x)是實數，稱為展開函數。對u(k)為偶函數。*表示復共軛?？紤]兩種特殊情況(1)展開函數構成空間U的正交歸一化基：此時基函數與其對偶函數相等，即uk(x)=u'k(x)：(2)展開函數僅構成U的正交基，沒有歸一化：考慮基函數與其對偶函數的雙正交9.4.1小波變換基礎雙正交基：（幾何矢量解釋，例9.4.1）例：雙正交基u1=[20]T，

u2=[?11]T對偶基為u'1=[1/21/2]T，u'2=[01]T9.4.1小波變換基礎2.縮放函數用展開函數作為縮放函數，并對其進行平移和2進制縮放k確定了uj,k(x)沿X-軸的位置，j確定了uj,k(x)沿X-軸的寬度（所以u(x)也稱為尺度函數），系數2

j/2控制uj,k(x)的幅度。給定一個初始j（下面常取為0），就可確定一個縮放函數空間Uj，Uj的尺寸隨j的增減而增減。（9.4.7）9.4.1小波變換基礎各個縮放函數空間Uj，j=–∞,…,0,1,…,∞是嵌套的，Uj中的展開函數可以表示成Uj+1中展開函數的加權和用hu(k)表示縮放函數系數，因為u(x)=u0,0(x)，有多分辨率細化方程任何一個子空間的展開函數都可用其下一個分辨率（1/2分辨率）的子空間的展開函數來構建9.4.1小波變換基礎3.小波函數用v(x)表示小波函數，對其進行平移和二進制縮放，的到集合：與vj,k(x)對應的空間為Vj，將f(x)表達為空間Uj，Uj+1和Vj有如下關系（⊕表示空間的并）圖9.4.2與縮放函數和小波函數相關的函數空間之間的關系在Uj+1中，Uj的補是Vj每一個Vj空間是與其同一級的Uj空間和上一級的Uj+1空間的差.9.4.1小波變換基礎Uj中所有uj,k(x)與Vj中所有vj,k(x)是正交的：如果考慮把j取到趨近–∞，則有可能僅用小波函數，而完全不用縮放函數來表達所有的f(x)如果用hv(k)表示小波函數系數，則可把小波函數表示成其下一個分辨率個位置縮放函數的加權和：9.4.1小波變換基礎4.縮放函數和小波函數示例先考慮單位高度和單位寬度的縮放函數

這樣的函數構成空間U的正交歸一化基，因為：（9.4.15）（9.4.15）下圖(a)-(d)分別給出將上述縮放函數帶入式(9.4.7)所得到的uj,k(x).從圖中可以看出，隨著j的增加，縮放函數變窄變高,能表達出更多的細節(jié)。9.4.1小波變換基礎例9,4,2用縮放函數表示1-D函數f(x)對圖9.4.4中的f(x)，僅用j=0的縮放函數不夠，還需要j=1的縮放函數f(x)是屬于U1的，而不是屬于U0的注意：u1,2(x)+u1,3(x)的組合可用u0,1(x)表示，但u1,5(x)+u1,6(x)的組合不能用U0中的縮放函數表示。9.4.1小波變換基礎與式(9.4.15)

對應的小波函數為(9.4.17)由圖9.4.5可以看出，隨著j的增加，小波函數也變窄變高，同時能表達更多的細節(jié)9.4.21-D小波變換1.小波序列展開對給定的函數f(x)，可以用u(x)和v(x)對它進行展開a0(k)：縮放系數dj(k)：小波系數如果展開函數僅構成U和V的雙正交基，則u(x)和v(x)要用他們的對函數u'(x)和v'(x)來替換（9.4.19）（9.4.20）（9.4.21）9.4.21-D小波變換2.離散小波變換如果f(x)是一個離散序列，展開得到的系數稱為f(x)的離散小波變換（DWT）同樣，如果展開函數僅構成U和V的雙正交基，則u(x)和v(x)要用他們的對函數u'(x)和v'(x)來替換（9.4.22）(9.4.23)（9.4.24）9.4.3快速小波變換小波變換在實現上的快速算法即稱為快速小波算法考慮多分辨率細化方程，用m表示求和變量：（9.4.25）對x用2j進行縮放，用k進行平移，令n=2k+m,可得到：(9.4.26)對式（9.4.13），對x用2j縮放，用k進行平移，并令n=2k+m,類似得到(9.4.27)離散小波變換在尺度j的近似系數也是離散小波變換在尺度j+1的近似系數的函數，即：在尺度j上的系數Wu(j,k)和Wv(j,k)都可用在尺度j+1的近似系數Wu(j+1,k)分別與縮放矢量hu和小波矢量hv卷積再進行亞抽樣得到?？捎孟聢D所示分析方框圖表示，表示亞抽樣。9.4.42-D小波變換1.2-D變換函數需要1個2-D縮放函數u(x,y)和3個2-D小波函數vH(x,y)，vV(x,y)，vD(x,y)，每一個都是1-D縮放函數和對應的小波函數的乘積

可分離的縮放函數

水平邊緣垂直邊緣沿對角線的變化9.4.42-D小波變換縮放和平移的基函數得到M×N的2-D圖像f(x,y)的離散小波變換:(9.4.37)(9.4.38)(9.4.39)(9.4.40)一般選擇N=M=2J,j=0,1,2...,J-1，m,n=0,1,2....,2j-1。通過離散小波反變換得到f(x,y):9.5小波變換編碼{在JPEG-2000及MPEG-4和H.264中都得到了應用}9.5.1小波變換編解碼系統(tǒng)基本思路：通過變換減小像素間的相關性，以獲得壓縮數據的效果。（書218說明）

與采用正交變換（如DCT）的編解碼系統(tǒng)不同，小波變換編解碼系統(tǒng)中沒有圖象分塊的模塊?小波變換的計算效率很高，且本質上具有局部性?小波變換編碼不會產生使用DCT變換在高壓縮比時出現的塊效應9.5.1小波變換編解碼系統(tǒng)小波變換編碼需考慮的幾個因素1.小波選擇（218頁）如：哈爾小波、雙正交小波2.分解層數選擇影響小波編碼計算的復雜度和重建誤差3.量化設計對小波編碼壓縮和重建誤差影響最大需在不同尺度間調整量化間隔{例：P.219}9.5.