第三章幾何運(yùn)算

第三章幾何運(yùn)算

幾何運(yùn)算可改變圖象中各物體之間的空間關(guān)系。該運(yùn)算可看成是將（各）物體在圖象內(nèi)移動(dòng)。其效果類似在一塊橡皮板上畫圖，拉伸該橡皮板，圖形會(huì)隨之變化。 幾何變換不改變圖象的象素值，只是在圖象平面上進(jìn)行象素的重新排列。 一個(gè)幾何運(yùn)算需要兩個(gè)獨(dú)立的算法： （1）空間變換。 （2）灰度插值?！?.1幾何變換一、基本變換基本幾何變換的定義一般變換距陣常用的基本幾何變換平移變換旋轉(zhuǎn)變換鏡像變換：水平鏡像、垂直鏡像放縮變換拉伸變換離散幾何變換的計(jì)算1、基本幾何變換的定義 對于原圖象f(u,v)，坐標(biāo)變換函數(shù) x=X(u,v); y=Y(u,v) 唯一確定了幾何變換： g(x,y)=g(X(u,v),Y(u,v)) g(x,y)是目標(biāo)圖象。 表面看沒有值的改變。 變換函數(shù)X、Y唯一地描述了空間變換。若它們是連續(xù)的，則連通關(guān)系將在圖象中得到保持。2、一般變換矩陣

很多簡單的空間變換都可用一個(gè)3×3變換矩陣來表示： 其中 T稱為一般變換矩陣。 向量和中引入了第三個(gè)坐標(biāo)分量w，這樣構(gòu)成的坐標(biāo)稱為齊次坐標(biāo)。 當(dāng)變換陣T中的系數(shù)取不同值時(shí)，可產(chǎn)生變倍、剪切、旋轉(zhuǎn)、反射、平移及透視等多種變換。*齊次坐標(biāo)

齊次坐標(biāo)是計(jì)算機(jī)視覺和圖形學(xué)中一個(gè)十分有用的工具，利用它可以統(tǒng)一完美地表達(dá)許多重要的幾何變換。所謂齊次坐標(biāo)表示就是用n+1維向量表示一個(gè)n維向量，含有冗余信息：笛卡爾n維空間中的一點(diǎn)可以用齊次（n+1）空間中的一條直線來表示。因此，對一個(gè)笛卡爾空間的物理坐標(biāo)點(diǎn)，在齊次空間中不存在唯一的表示。 如：3D空間中的點(diǎn)(xw,yw,zw)T的齊次坐標(biāo)是一個(gè)4*1維矢量(kxw,kyw,kzw,k

)T，k為非零任意常數(shù)。 作用：通過矢量空間維數(shù)的增加，可將幾何變換中的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系。3、仿射變換(AffineTransformation) 仿射變換的一般表達(dá)式為： 按線性變換定義，若變換L滿足： 其中c為常數(shù)。則L稱為線性變換。 將仿射變換表達(dá)式展開：

顯然，在一般情況下，仿射變換不是線性變換。只有當(dāng)時(shí)，仿射變換蛻化為線性變換。因此，仿射變換又可表示為： 其中A為仿射變換，t為常數(shù)。 仿射變換的性質(zhì)： （1）仿射變換將平行直線映射成平行直線；將三角形映射成三角形。 （2）仿射變換的乘積和逆變換仍是仿射變換。 但是仿射變換不能保證四邊形到四邊形的映射。幾種典型的仿射變換

（1）平移變換 將所有點(diǎn)的坐標(biāo)u和v分別加上Tu和Tv平移到一個(gè)新的位置上。

（2）旋轉(zhuǎn)變換 將uv平面上的所有點(diǎn)相對原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（注意旋轉(zhuǎn)中心的選?。?。（3）縮放變換

當(dāng)su，sv大于1時(shí)，圖象被放大；小于1時(shí)被縮小。（4）剪切變換（ShearTransform）

又稱“錯(cuò)切變換”，指的是類似于四邊形不穩(wěn)定性那種性質(zhì)，方形變平行四邊形，任意一邊都可以被拉長的過程。 沿u軸的剪切變換可表示為： 沿v軸的剪切變換可表示為：***對稱變換（反射變換或鏡象變換）(a)對稱于Y軸變換矩陣為：

(b)對稱于X軸變換矩陣為：

(c)對稱于原點(diǎn)變換矩陣為：

(d)對稱于直線y=x變換矩陣為：

(e)對稱于直線y=-x變換矩陣為：4、透視變換 透視變換（亦稱投影映射），可表示為：

其中： 透視變換與仿射變換有許多相同的特性。如：它們都是平面映射，因此其向前和逆變換都是單值的；它們可以保證任意方向的直線變換后仍為直線。但是透視變換有8個(gè)自由度，可以滿足平面四邊形到四邊形的映射（四角映射），而仿射變換只有6個(gè)自由度，不能實(shí)現(xiàn)四角映射。

不失一般性，可以將一般距陣T中的a33作歸一化處理，這樣透視變換中的系數(shù)便降為8個(gè)。利用這8個(gè)系數(shù)，便可建立輸入與輸出圖象中4個(gè)點(diǎn)的映射關(guān)系。 假設(shè)與（k=0，1，2，3）分別為輸入圖象和輸出圖象中對應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)，由它們構(gòu)成的點(diǎn)對稱為控制點(diǎn)對。將其代入變換式得：

為一由8個(gè)方程構(gòu)成的方程組，求解便可得到8個(gè)系數(shù)的值。從而得到平面四邊形到平面四邊形映射的一般解。以下就一些特殊情況作一討論。

（1）單位正方形到四邊形的映射 考慮將uv平面的單位正方形映射成xy平面的任意四邊形。其四個(gè)控制點(diǎn)對之間的關(guān)系如下：代入方程組，可得解（略）。

（2）四邊形到單位正方形的映射

是（1）中問題的逆。

（3）四邊形到四邊形映射

一般四邊形到四邊形映射問題稱為四角映射（fourcornermapping）。透視變換提供了平面四角映射問題的解?？煞謨刹剑菏紫葘⑺倪呅斡成涑蓡挝徽叫?；然后再將單位正方形映射成最終的四邊形（如上圖）。5、多項(xiàng)式變換

多項(xiàng)式變換的一般形式可表示為： 多項(xiàng)式變換最早用于遙感圖象的幾何校正。在實(shí)際應(yīng)用中，一般不直接給出多項(xiàng)式的系數(shù)，而是給出輸入、輸出圖象中一些位置已精確給定的控制點(diǎn)，利用控制點(diǎn)來推導(dǎo)多項(xiàng)式的系數(shù)。 用一般變換矩陣表示的所有變換都可用一階多項(xiàng)式變換得到。當(dāng)多項(xiàng)式階數(shù)升高時(shí)，所能實(shí)現(xiàn)的變換種類和任意性也相應(yīng)增加，但也會(huì)帶來一些負(fù)作用。二、灰度級插值

幾何運(yùn)算的第二個(gè)要求是有進(jìn)行灰度插值的算法。在輸入圖象[u，v]中，灰度值僅在整數(shù)位置上有定義。然而，輸出圖象[x，y]的灰度值一般由處在非整數(shù)坐標(biāo)上的（u，v）值來決定。因此，若將幾何運(yùn)算看成是一個(gè)從[u，v]到[x，y]的映射，則[u，v]中的一個(gè)象素可能會(huì)映射到[x，y]中幾個(gè)象素之間的位置；反過來也是如此。 灰度插值有一些常用算法，它們完成的功能相同，可從中選擇一個(gè)。而每個(gè)特定的幾何運(yùn)算是由空間變換算法決定的。插值算法

插值是確定某個(gè)函數(shù)在兩個(gè)采樣值之間的數(shù)值時(shí)采用的運(yùn)算過程。通常是利用曲線擬合的方法，通過離散的采樣點(diǎn)建立一個(gè)連續(xù)函數(shù)，用該重建的函數(shù)便可求出任意位置的函數(shù)值。 對有限帶寬的信號采樣會(huì)產(chǎn)生無限帶寬信號。插值過程正好相反，它通過對離散信號作低通濾波處理，減小了信號帶寬。其對采樣數(shù)值的平滑作用，恢復(fù)了在采樣過程中丟失的信息。因此，插值可看作采樣的逆過程。

對于等間隔采樣數(shù)據(jù)，插值可表示為：

式中，h為插值核，Ci為權(quán)系數(shù)，卷積對k個(gè)數(shù)據(jù)作處理。在實(shí)際應(yīng)用中，h總是對稱的，即：，Ci為采樣值。 插值核的性質(zhì)可通過其頻域特性來評估。理想的插值核在帶通區(qū)具有單位增益，在帶阻區(qū)有0增益，因此可以有效地通過和抑制不同頻率的信號成分。 插值算法的數(shù)值精度及計(jì)算復(fù)雜性直接與插值核有關(guān)。因此，插值核的設(shè)計(jì)與評價(jià)是插值算法的核心。以下討論一維問題，其結(jié)果很容易推廣到二維。常用的插值核1、最近鄰域法 其插值核定義為：用該方法作放大處理時(shí)，在圖象中可能出現(xiàn)明顯的塊狀效應(yīng)2、線性插值 線性插值多項(xiàng)式為： 其插值核為：3、三次樣條插值 首先給定一組控制點(diǎn)： 其中，，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)F（x），滿足以下三個(gè)條件： （1）F（x），F(xiàn)’（x），F(xiàn)”（x），在[a，b]上連續(xù)； （2）F（x）在每個(gè)子區(qū)間上是不高于三次的多項(xiàng)式； （3），（i=0，1，------，n-1）

4、雙線性插值（二維情況） 令f（x，y）為兩個(gè)變量的函數(shù)，其在單位正方形頂點(diǎn)的值已知。假設(shè)我們希望通過插值得到正方形內(nèi)任意點(diǎn)的函數(shù)值。則可由雙線性方程（1） 來定義的一個(gè)雙曲拋物面與四個(gè)已知點(diǎn)擬合。 首先對上端的兩個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行線性插值得：（2） 類似地，再對底端的兩個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行線性插值有：（3） 最后，做垂直方向的線性插值，以確定：（4）

整理得：（5）三、算法的實(shí)現(xiàn)1、向前映射法

可以將幾何運(yùn)算想象成一次一個(gè)象素地轉(zhuǎn)移到輸出圖象中。如果一個(gè)輸入象素被映射到四個(gè)輸出象素之間的位置，則其灰度值就按插值算法在4個(gè)輸出象素之間進(jìn)行分配。稱為向前映射法，或象素移交影射。 注：從原圖象坐標(biāo)計(jì)算出目標(biāo)圖象坐標(biāo) 鏡像、平移變換使用這種計(jì)算方法2、向后映射法 向后映射法（或象素填充算法）是輸出象素一次一個(gè)地映射回到輸入象素中，以便確定其灰度級。如果一個(gè)輸出象素被映射到4個(gè)輸入象素之間，則其灰度值插值決定，向后空間變換是向前變換的逆。 注：從結(jié)果圖象的坐標(biāo)計(jì)算原圖象的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、拉伸、放縮可以使用解決了漏點(diǎn)的問題，出現(xiàn)了馬賽克

由于許多輸入象素可能映射到輸出圖象的邊界之外，故向前映射算法有些浪費(fèi)。而且，每個(gè)輸出象素的灰度值可能要由許多輸入象素的灰度值來決定，因而要涉及多次運(yùn)算。如果空間變換中包括縮小處理，則會(huì)有4個(gè)以上的輸入象素來決定一個(gè)輸出象素的灰度值（重疊問題）。如果含有放大處理，則一些輸出象素可能被漏掉（如果沒有輸入象素被映射到它們附近位置的話，會(huì)產(chǎn)生“孔洞現(xiàn)象”）。 而向后映射是逐象素、逐行地產(chǎn)生輸出圖象。每個(gè)象素的灰度值最多由4個(gè)輸入象素參與的插值所唯一確定。當(dāng)然，輸入圖象必須允許按空間變換所定義的方式隨機(jī)訪問，因此可能有些復(fù)雜。但向后映射法對一般的應(yīng)用更為切實(shí)可行?！?.2圖象重采樣§3.3抗混疊技術(shù)*幾何運(yùn)算的應(yīng)用1、幾何校正2、圖象校直3、圖象配準(zhǔn)4、圖象樣式轉(zhuǎn)換5、地圖投影6、數(shù)字圖象變形

作業(yè)：下載一幅單色圖象，用C語言編程實(shí)現(xiàn)圖象的平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等變換算法。

代數(shù)運(yùn)算：一、引言二、加法運(yùn)算應(yīng)用三、減法運(yùn)算應(yīng)用四、乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算1引言1）定義代數(shù)運(yùn)算是指兩幅輸入圖像進(jìn)行點(diǎn)對點(diǎn)的加、減、乘或除計(jì)算而得到輸出圖像。2）主要應(yīng)用圖像相加可以將一幅圖像內(nèi)容加到另一幅圖像上，以達(dá)到二次曝光的要求（doubleexposure）。圖像相加可以對同一場景的多幅圖像求平均值，以降低加性（additive）隨機(jī)噪聲。圖像相減可去除圖像中不需要的加性圖案。圖像