醫(yī)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法第五章抽樣估計(jì)課件

第五章抽樣估計(jì)

引言上一講，我們介紹了總體、樣本、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布的概念，介紹了統(tǒng)計(jì)中常用的三大分布，給出了幾個(gè)重要的抽樣分布定理.它們是進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ).

總體樣本統(tǒng)計(jì)量描述作出推斷研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).隨機(jī)抽樣第5.1節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)問題的提法二、估計(jì)量的求法三、小結(jié)

現(xiàn)在我們來介紹一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問題

參數(shù)估計(jì)問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計(jì)總體的某些參數(shù)或者參數(shù)的某些函數(shù).參數(shù)估計(jì)估計(jì)廢品率估計(jì)新生兒的平均體重估計(jì)湖中魚數(shù)……估計(jì)平均降雨量在參數(shù)估計(jì)問題中，假定總體分布形式已知，未知的僅僅是一個(gè)或幾個(gè)參數(shù).參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)問題的提法設(shè)總體X的分布函數(shù)形式已知,但它的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)為未知,借助于總體X的一個(gè)樣本來估計(jì)總體未知參數(shù)的問題稱為點(diǎn)估計(jì)問題.二、估計(jì)量的求法由于估計(jì)量是樣本的函數(shù),是隨機(jī)變量,故對(duì)不同的樣本值,得到的參數(shù)值往往不同,求估計(jì)量的問題是關(guān)鍵問題.估計(jì)量的求法:(四種)常用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法.一、

矩估計(jì)法其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩.理論依據(jù):

它是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來的一種估計(jì)方法.是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的.大數(shù)定律設(shè)X1,X2,…,Xn

來自總體X的樣本記總體k階矩為樣本k階矩為那么用諸的估計(jì)量Ai分別代替上式中的諸,即可得諸的矩估計(jì)量：設(shè)總體的分布函數(shù)中含有k個(gè)未知參數(shù)都是這k個(gè)參數(shù)的函數(shù),記為：,那么它的前k階矩一般i=1,2,…,k從這k個(gè)方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k矩估計(jì)法的具體步驟:矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值.例

2

設(shè)總體服從泊松分布，

求參數(shù)的估計(jì)量.解：設(shè)是總體的一個(gè)樣本,由于,可得

解方程組得到a,b的矩估計(jì)量分別為解例4解解方程組得到矩估計(jì)量分別為例5矩法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行,缺點(diǎn)是，當(dāng)總體類型已知時(shí)，沒有充分利用分布提供的信息.一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)量不具有唯一性.例6設(shè)總體的分布密度為為總體的樣本,求參數(shù)的矩估計(jì)量.解：由于只含有一個(gè)未知參數(shù)，一般只需求出便能得到的矩估計(jì)量，但是二、最大（極大）似然估計(jì)法最大似然法是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計(jì)方法.它首先是由德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的,然而，GaussFisher這個(gè)方法常歸功于英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇

.

費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質(zhì).（或分似然函數(shù)設(shè)總體X的分布律為，其中是未知參數(shù)，是總體X的一個(gè)樣為

布密度為）本，則樣本，當(dāng)給定樣本值后，它只是參數(shù)的函數(shù)，記為即的分布律則稱為似然函數(shù)。似然函數(shù)實(shí)質(zhì)上是樣本的分布律或分布密度。2.最大似然估計(jì)法最大似然估計(jì)法，是建立在最大似然原理的基礎(chǔ)上的求點(diǎn)估計(jì)量的方法。最大似然原理的直觀想法是：在試驗(yàn)中概率最大的事件最有可能出現(xiàn)。因此，一個(gè)試驗(yàn)如有若干個(gè)可能的結(jié)果若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果出現(xiàn)，則一般出現(xiàn)的概率最大。認(rèn)為定義6.1設(shè)總體的分布密度（或分布律）為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)是總體

的一個(gè)樣本值，如果似然函數(shù)（6.1）

替換成樣本分別為似然估計(jì)值。需要注意的是，最大似然估計(jì)值依賴于樣本值，即若將上式中樣本值則所得的

的最大

稱為參數(shù)的最大似然估計(jì)量。

由于而與在同一處達(dá)到最大值，為最大似然估計(jì)的必要條件為稱它為似然方程，其中（6.2）因此，求最大似然估計(jì)量的一般步驟為：（1）求似然函數(shù)（2）一般地，求出及似然方程

（3）解似然方程得到最大似然估計(jì)值

（4）最后得到最大似然估計(jì)量

解似然函數(shù)例1這一估計(jì)量與矩估計(jì)量是相同的.解X的似然函數(shù)為例2它們與相應(yīng)的矩估計(jì)量相同.用上述求導(dǎo)方法求參數(shù)的最大似然估計(jì)有時(shí)行不通，這時(shí)要用極大似然原則來求.說明：三、小結(jié)兩種求點(diǎn)估計(jì)的方法:矩估計(jì)法最大似然估計(jì)法在統(tǒng)計(jì)問題中往往先使用最大似然估計(jì)法,在最大似然估計(jì)法使用不方便時(shí),再用矩估計(jì)法.第5.2節(jié)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一、問題的提出二、無偏估計(jì)三、最小方差無偏估計(jì)四、相合估計(jì)五、小結(jié)一、問題的提出從前一節(jié)可以看到,對(duì)于同一個(gè)參數(shù),用不同的估計(jì)方法求出的估計(jì)量可能不相同,那么那一個(gè)估計(jì)量好？好壞的標(biāo)準(zhǔn)是什么?下面介紹幾個(gè)常用標(biāo)準(zhǔn).二、無偏估計(jì)無偏估計(jì)的實(shí)際意義:無系統(tǒng)誤差.無偏性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)常見而重要的要求.證例1特別地:不論總體X服從什么分布,只要它的數(shù)學(xué)期望存在,證例2(這種方法稱為無偏化).證例4由以上兩例可知,同一個(gè)參數(shù)可以有不同的無偏估計(jì)量.無偏性雖然是評(píng)價(jià)估計(jì)量的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn),而且在許多場(chǎng)合是合理的,必要的。然而，有時(shí)一個(gè)參數(shù)的無偏估計(jì)可能不存在。三、最小方差無偏估計(jì)由于方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度,所以無偏估計(jì)以方差小者為好.說明最小方差無偏估計(jì)是一種最優(yōu)估計(jì).定義四、相合估計(jì)有時(shí)候我們不僅要求估計(jì)量有較小的方差，還希望當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，估計(jì)量能在某種意義下收斂于被估計(jì)參數(shù)，這就是所謂相合性（或一致性）概念。定義設(shè)是未知參數(shù)估計(jì)序列，如果依概率收斂于，即對(duì)任，有或則稱是的相合估計(jì)（量）（或一致估量）。例

若總體的和存在,則樣本均值是總體均值的相合估計(jì).解：一般地,樣本的階原點(diǎn)矩是總體的階原點(diǎn)矩的相合估計(jì).由此可見,矩估計(jì)往往是相合估計(jì).證明例由大數(shù)定律知,六、小結(jié)估計(jì)量的評(píng)選的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)無偏估計(jì)最小方差無偏估計(jì)相合估計(jì)相合性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本要求,不具備相合性的估計(jì)量是不予以考慮的.由最大似然估計(jì)法得到的估計(jì)量,在一定條件下也具有相合性.估計(jì)量的相合性只有當(dāng)樣本容量相當(dāng)大時(shí),才能顯示出優(yōu)越性,這在實(shí)際中往往難以做到,因此,在工程中往往使用無偏性和有效性這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn).第5.3節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、區(qū)間估計(jì)基本概念二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)三、小結(jié)

引言前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.一、區(qū)間估計(jì)基本概念1.

置信區(qū)間的定義(6.7)關(guān)于定義的說明例如

一旦有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間內(nèi).這里有兩個(gè)要求:由定義可見，對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二、正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)1.I單個(gè)總體的情況推導(dǎo)過程如下:這樣的置信區(qū)間常寫成其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為包糖機(jī)某日開工包了12包糖,稱得重量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設(shè)重量服從正態(tài)分布,解附表2-1例1附表2-2查表得推導(dǎo)過程如下:解有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量(克)如下:設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布,試求總體均值附表3-1例2就是說估計(jì)袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間,這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%.這個(gè)誤差的可信度為95%.解附表3-2例3(續(xù)例1)如果只假設(shè)糖包的重量服從正態(tài)分布解例4推導(dǎo)過程如下:根據(jù)第五章第三節(jié)定理5.8知II.進(jìn)一步可得:注意:在密度函數(shù)不對(duì)稱時(shí),習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來確定置信區(qū)間(如圖).

(續(xù)例2)求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差

的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間附表4-1附表4-2例52、兩個(gè)總體的情況討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問題.推導(dǎo)過程如下:I.例6機(jī)床廠某日從兩臺(tái)機(jī)床加工的零件中,分別抽取若干個(gè)樣品,測(cè)得零件尺寸分別如下(單位:cm):

第一臺(tái)機(jī)器6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.85.7,6.0,6.0,5.8,6.0

第二臺(tái)機(jī)器5.6,5.9,5.6,5.7,5.86.0,5.5,5.7,5.5假設(shè)兩臺(tái)機(jī)器加工的零件尺寸均服從正態(tài)分布,且方差相等,試求兩機(jī)床加工的零件平均尺寸之差的區(qū)間估計(jì)解用X表示第一臺(tái)機(jī)床加工的零件尺寸,用Y表示第二臺(tái)機(jī)床加工的零件尺寸,由題設(shè)經(jīng)計(jì)算，得置信下限置信上限故所求的置信度為95%的置信區(qū)間為[0.0912,0.5088].推導(dǎo)過程如下:II.根據(jù)F分布的定義,知解例7研究由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑,隨機(jī)抽取機(jī)器A生產(chǎn)的管子18只,測(cè)得樣本方差為均未知,求方差比區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨(dú)抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子13只,測(cè)得樣本方差為立,且設(shè)由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布信解例8的置甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件,在機(jī)床甲加工的零件中抽取9個(gè)樣品,在機(jī)床乙加工的零件信區(qū)間.假定測(cè)量值都服從正態(tài)分布,方差分別為在置信度由所給數(shù)據(jù)算得0.98下,試求這兩臺(tái)機(jī)床加工精度之比中抽取6個(gè)樣品,并分別測(cè)得它們的長(zhǎng)度(單位:mm),三、小結(jié)點(diǎn)估計(jì)不能反映估計(jì)的精度,故而本節(jié)引入了區(qū)間估計(jì).求置信區(qū)間的一般步驟(分三步).正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)但n充分大時(shí)近似置信區(qū)間附表2-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.091.61.71.81.92.02.12.22.32.42.52.62.72.82.93.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96附表2-2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表附表3-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.9208分布表2.1315=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.70624.30273.18242.77642.57062.44692.36462.30602.26222.22812.20102.17882.16042.14482.13152.119931.82076.96464.54073.74693.36493.14272.99802.89652.82142.76382.71812.68102.65032.62452.60252.583563.65749.92485.84094.60414.03223.70743.49953.35543.24983.16933.10583.05453.01232.97682.94672.92082.2010附表3-2分布表附表4-1=0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.48321.92023.33724.7362