四年級奧數(shù)講義：排列組合的綜合應(yīng)用

四年級奧數(shù)講義：排列組合的綜合應(yīng)用排列組合是數(shù)學(xué)中風(fēng)格獨特的一部分內(nèi)容 .它具有廣泛的實際應(yīng)用.例如：某城市電話號碼是由六位數(shù)字組成，每位可從0?9中任取一個，問該城市最多可有多少種不同的電話號碼？又如從20名運(yùn)動員中挑選6人組成一個代表隊參加國際比賽 .但運(yùn)動員甲和乙兩人中至少有一人必須參加代表隊，問共有多少種選法？回答上述問題若不采用排列組合的方法，結(jié)論是難以想像的（.前一個問題，該城市最多可有 1000000個不同電話號碼 .后一個問題，代表隊有20196種不同選法.）當(dāng)然排列組合的綜合應(yīng)用具有一定難度 .突破難點的關(guān)鍵：首先必須準(zhǔn)確、透徹的理解加法原理、乘法原理；即排列組合的基石.其次注意兩點：①對問題的分析、考慮是否能歸納為排列、組合問題？若能，再判斷是屬于排列問題還是組合問題？②對題目所給的條件限制要作仔細(xì)推敲認(rèn)真分析 .有時利用圖示法，可使問題簡化便于正確理解與把握 .例1從5幅國畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種選法？分析首先考慮從國畫、油畫、水彩畫這三種畫中選取兩幅不同類型的畫有三種情況，即可分三類，自然考慮到加法原理 .當(dāng)從國畫、油畫各選一幅有多少種選法時，利用的乘法原理 .由此可知這是一道利用兩個原理的綜合題 .關(guān)鍵是正確把握原理 .解：符合要求的選法可分三類：不妨設(shè)第一類為：國畫、油畫各一幅，可以想像成，第一步先在 5張國畫中選 1張，第二步再在3張油畫中選1張.由乘法原理有5X3=15種選法.第二類為國畫、水彩畫各一幅，由乘法原理有5X2=10種選法.第三類油畫、水彩各一幅，由乘法原理有3X2=6種選法.這三類是各自獨立發(fā)生互不相干進(jìn)行的.因此，依加法原理，選取兩幅不同類型的畫布置教室的選法有 15+10+6=31種.注運(yùn)用兩個基本原理時要注意：①抓住兩個基本原理的區(qū)別，千萬不能混.不同類的方法（其中每一個方法都能各自獨立地把事情從頭到尾做完）數(shù)之間做加法，可求得完成事情的不同方法總數(shù) .不同步的方法（全程分成幾個階段（步），其中每一個方法都只能完成這件事的一個階段）數(shù)之間做乘法，可求得完成整個事情的不同方法總數(shù) .②在研究完成一件工作的不同方法數(shù)時，要遵循“不重不漏”的原則 .請看一些例：從若干件產(chǎn)品中抽出幾件產(chǎn)品來檢驗，如果把抽出的產(chǎn)品中至多有 2件次品的抽法僅僅分為兩類：

第一類抽出的產(chǎn)品中有2件次品，第二類抽出的產(chǎn)品中有1件次品，那么這樣的分類顯然漏掉了抽出的產(chǎn)品中無次品的情況.又如：把能被2、被3、或被6整除的數(shù)分為三類：第一類為能被2整除的數(shù)，第二類為能被3整除的數(shù)，第三類為能被6整除的數(shù).這三類數(shù)互有重復(fù)部分③在運(yùn)用乘法原理時，要注意當(dāng)每個步驟都做完時，這件事也必須完成，而且前面一個步驟中的每一種方法，對于下個步驟不同的方法來說是一樣的.例2一學(xué)生把一個一元硬幣連續(xù)擲三次，試列出各種可能的排列.分析要不重不漏地寫出所有排列，利用樹形圖是一種直觀方法.為了方便，樹形圖常畫成倒掛形式.解:堇一就榭解:堇一就榭第二次擲第三次擲由此可知，排列共有如下八種：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3用0?9這十個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).分析此題屬于有條件限制的排列問題，首先弄清楚限制條件表現(xiàn)為：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的千位、百位、十位、個位的限制條件：千位上不能排0,或說千位上只能排1?9這九個數(shù)字中的一個.而且其他位置上數(shù)碼都不相同，下面分別介紹三種解法.解法1:分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步選元素占據(jù)特殊位置，第二步選元素占據(jù)其余位置.解：分兩步完成：第一步：從1?9這九個數(shù)中任選一個占據(jù)千位，有9種方法.第二步：從余下的9個數(shù)（包括數(shù)字0）中任選3個占據(jù)百位、十位、個位，百位有9種.十位有8種，個位有7種方法.由乘法原理，共有滿足條件的四位數(shù)9X9X8X7=4536個.答：可組成4536個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).解法2:分析對于某元素只能占據(jù)某位置的排列可分步完成： 第一步讓特殊元素先占位,第二步讓其余元素占位.在所給元素中0是有位置限制的特殊元素，在組成的四位數(shù)中，有一類根本無0元素，另一類含有0元素，而此時0元素只能占據(jù)百、十、個三個位置之一.解：組成的四位數(shù)分為兩類：第一類：不含0的四位數(shù)有9X8X7X6=3024個.第二類：含0的四位數(shù)的組成分為兩步：第一步讓0占一個位有3種占法，（讓0占位只能在百、十、個位上，所以有3種）第二步讓其余9個數(shù)占位有9X8X7種占法.所以含0的四位數(shù)有3X9X8X7=1512個.由加法原理，共有滿足條件的四位數(shù)3024+1512=4536個.解法3:從無條件限制的排列總數(shù)中減去不合要求的排列數(shù)（稱為排除法）.此題中不合要求的排列即為0占據(jù)千位的排列.解：從0?9十個數(shù)中任取4個數(shù)的排列總數(shù)為10X9X8X7,其中0在千位的排列數(shù)有9X8X7個（0確定在千位，百、十、個只能從9個數(shù)中取不同的3個）???共有滿足條件的四位數(shù)10X9X8X7-9x8X7=9X8X7X（10-1）=4536個.注用解法3時要特別注意不合要求的排列有哪幾種？要做到不重不漏 .例4從右圖中11個交點中任取3個點，可畫出多少個三角形？分析首先，構(gòu)成三角形與三個點的順序無關(guān)因此是組合問題， 另外考慮特殊點的情況：如三點在一條直線上，則此三點不能構(gòu)成三角形，四點在一條直線上，則其中任意三點也不能構(gòu)成三角形.此題采用排除法較方便.解：組合總數(shù)為C311,其中三點共線不能構(gòu)成的三角形有7C33,四點共線不能構(gòu)成的三角形有2C34,???C311-(7C33+2C34)=165-(7+8)=150個.例57個相同的球，放入4個不同的盒子里，每個盒子至少放一個，不同的放法有多少種？（請注意，球無區(qū)別，盒是有區(qū)別的，且不允許空盒）分析首先研究把7分成4個自然數(shù)之和的形式，容易得到以下三種情況：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，將三種情況視為三類計算不同的放法.第一類：有一個盒子里放了4個球，而其余盒子里各放1個球，由于4個球可任意放入不同的四個盒子之一，有4種放法，而其他盒子只放一個球，而球是相同的，任意調(diào)換都是相同的放法，所以第一類只有4種放法.第二類：有一個盒子里放1個球，有4種放法，其余盒子里都放2個球，與第一類相同，任意調(diào)換都是相同的放法，所以第二類也只有4種放法.第三類：有兩個盒子里各放一個球，另外兩個盒子里分別放2個及3個球，這時分兩步來考慮：第一步，從4個盒子中任取兩個各放一個球，這種取法有C24種.第二步，把余下的兩個盒子里分別放入2個球及3個球，這種放法有P22種.由乘法原理有C24XP22=12種放法.由加法原理，可得符合題目要求的不同放法有4+4+12=20（種）答：共有20種不同的放法.注本題也可以看成每盒中先放了一個球墊底，使盒不空，剩下3個球，放入4個有區(qū)別盒的放置方式數(shù).例6用紅、橙、黃、綠、藍(lán)、青、紫七種顏色中的一種，或兩種，或三種，或四種，分別涂在正四面體各個面上，一個面不能用兩色，也無一個面不涂色的，問共有幾種不同涂色方式？分析首先介紹正四面體（模型）.正四面體四個面的相關(guān)位置，當(dāng)?shù)酌娲_定后，（從上面俯視）三個側(cè)面的順序有順時針和逆時針兩種（當(dāng)三個側(cè)面的顏色只有一種或兩種時，順時針和逆時針的顏色分布是相同的）.正四面體 正四面瘁展開圖先看簡單情況，如取定四種顏色涂于四個面上，有兩種方法；如取定一種顏色涂于四個面上，只有一種方法.但取定三種顏色如紅、橙、黃三色，涂于四個面上有六種方法，如下圖①②③（圖中用數(shù)字1,2, 3分別表示紅、橙、黃三色）如果取定兩種顏色如紅、橙二色，涂于四個面上有三種方法 .如下圖④⑤⑥⑥⑤⑥但是從七種顏色里，每次取出四種顏色，有C47種取法，每次取出三種顏色有C37種取法，每次取出兩種顏色有C27種取法，每次取出一種顏色有C17種取法.因此著色法共有2C47+6C37+3C27+C17=350種.習(xí)題六.有3封不同的信，投入4個郵筒，一共有多少種不同的投法？.甲、乙兩人打乒乓球，誰先連勝頭兩局，則誰贏.如果沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止，問有多少種可能情況？.在6名女同學(xué)，5名男同學(xué)中，選4名女同學(xué)，3名男同學(xué)，男女相間站成一排，問共有多少種排法？.用0、1、2