高中數(shù)學(xué)人教B版第三章不等式 學(xué)業(yè)分層測評19

學(xué)業(yè)分層測評(十九)不等式的實際應(yīng)用(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、選擇題1．某出版社，如果以每本元的價格發(fā)行一種圖書，可發(fā)行80000本．如果一本書的定價每升高元，發(fā)行量就減少2000本，那么要使收入不低于200000元，這種書的最高定價應(yīng)當(dāng)是()A．2 B.3C．4 【解析】設(shè)這種書的最高定價應(yīng)當(dāng)為x元，由題意得：80000－eq\f(x－,×2000×x≥200000，解得eq\f(5,2)≤x≤4，所以最高定價為4元．【答案】C2．某汽車運輸公司購買一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析，每輛車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N＋)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖3-4-3所示)，則每輛客車營運多少年，其營運的年平均利潤最大()圖3-4-3A．3 B．4C．5 【解析】設(shè)y＝a(x－6)2＋11，將(4,7)代入求得a＝－1，∴平均利潤為：eq\f(y,x)＝eq\f(－x－62＋11,x)＝－x－eq\f(25,x)＋12≤－2×5＋12＝2，當(dāng)x＝eq\f(25,x)，即x＝5時，等號成立．【答案】C3．某商品在最近30天內(nèi)的價格f(t)與時間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10(0＜t≤20，t∈N)；銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，則使這種商品日銷售金額不小于500元的時間t滿足()A．15≤t≤20 B．10≤t≤15C．10＜t＜15 ＜t≤10【解析】由題意知日銷售金額為(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.【答案】B4．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件(x＞0)，則平均倉儲時間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．60件 B．80件C．100件 件【解析】記平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與倉儲費用之和為f(x)，則f(x)＝eq\f(800＋\f(x,8)×x×1,x)＝eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)×\f(x,8))＝20，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)，即x＝80件(x＞0)時，f(x)取最小值，故選B.【答案】B5．制作一個面積為1m2，形狀為直角三角形的鐵支架框，有下列四種長度的鐵管供選擇，較經(jīng)濟(夠用，又耗材最少)的是()【導(dǎo)學(xué)號：33300100A．4.6m B．4.8mC．5m D.5.2m【解析】設(shè)直角三角形的一條直角邊為a，則另一條直角邊為eq\f(2,a)，斜邊為eq\r(a2＋\f(4,a2)).∴周長l＝a＋eq\f(2,a)＋eq\r(a2＋\f(4,a2))≥2eq\r(2)＋2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(2,a)時取等號)≈.【答案】C二、填空題6．某地每年銷售木材約20萬m3，每m3價格為2400元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的t%征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少eq\f(5,2)t萬m3.為了既減少木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是________．【解析】設(shè)按銷售收入的t%征收木材稅時，稅金收入為y萬元，則y＝2400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.【答案】[3,5]7．現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)上需要含鹽5%以上、6%以下的食鹽水，設(shè)需要加入含鹽4%的食鹽水為x克，則x的取值范圍是________．【解析】依題意，得5%＜eq\f(x·4%＋200·7%,x＋200)＜6%，解得x的范圍是(100,400)．【答案】(100,400)8．如圖3-4-4，有一張單欄的豎向張貼的海報，它的印刷面積為72dm2(圖中陰影部分)，上下空白各寬2dm，左右空白各寬1dm，則四周空白部分面積的最小值是______dm2.圖3-4-4【解析】設(shè)陰影部分的高為xdm，則寬為eq\f(72,x)dm，四周空白部分的面積是ydm2.由題意，得y＝(x＋4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(72,x)＋2))－72＝8＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(144,x)))≥8＋2×2eq\r(x·\f(144,x))＝56(dm2)．當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(144,x)，即x＝12dm時等號成立．【答案】56三、解答題9．有一批貨物的成本為A元，如果本月初出售，可獲利100元，然后可將本利都存入銀行．已知銀行的月利息為2%，如果下月初出售，可獲利120元，但貨物貯存要付5元保管費，試問是本月初還是下月初出售好？并說明理由．【解】若本月初出售到下月初獲利為m，下月初出售獲利為n.則m＝(100＋A)×(1＋2%)＝102＋，n＝120＋A－5＝115＋A，故n－m＝13－，①當(dāng)A＝650時，本月初、下月初出售獲利相同．②當(dāng)A＞650時，n－m＜0即n＜m，本月初出售好．③當(dāng)A＜650時，n＞m，下月初出售好．10．某商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價來增加利潤．已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，求銷售價每件應(yīng)定為多少元．【解】設(shè)銷售價定為每件x元，利潤為y，則：y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依題意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件銷售價應(yīng)為12元到16元之間．[能力提升]1.在如圖3-4-5所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x圖3-4-5A．[15,20] B.[12,25]C．[10,30] D.[20,30]【解析】設(shè)矩形的另一邊長為ym，則由三角形相似知，eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，∴y＝40－x.∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.【答案】C2．某公司租地建倉庫，每月土地費用與倉庫到車站距離成反比，而每月貨物的運輸費用與倉庫到車站距離成正比．如果在距離車站10km處建倉庫，則土地費用和運輸費用分別為2萬元和8萬元，那么要使兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站()A．5km處 B．4km處C．3km處 D.2km【解析】設(shè)倉庫建在離車站xkm處，則土地費用y1＝eq\f(k1,x)(k1≠0)，運輸費用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝eq\f(4,5)，故總費用y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5時等號成立．【答案】A3．有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水補滿，然后又倒出4升后再用水補滿，此時桶中的農(nóng)藥不超過容積的28%，則桶的容積的取值范圍是________．【解析】設(shè)桶的容積為x升，那么第一次倒出8升純農(nóng)藥液后，桶內(nèi)還有(x－8)(x＞8)升純農(nóng)藥液，用水補滿后，桶內(nèi)純農(nóng)藥液的濃度為eq\f(x－8,x).第二次又倒出4升藥液，則倒出的純農(nóng)藥液為eq\f(4x－8,x)升，此時桶內(nèi)有純農(nóng)藥液eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－8－\f(4x－8,x)))升．依題意，得(x－8)－eq\f(4x－8,x)≤28%·x.由于x＞0，因而原不等式化簡為9x2－150x＋400≤0，即(3x－10)(3x－40)≤0.解得eq\f(10,3)≤x≤eq\f(40,3).又∵x＞8，∴8＜x≤eq\f(40,3).【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(8，\f(40,3)))4．(2023·山東省萊州一中月考)如圖3-4-6所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求B點在AM上，D點在AN上，且對角線MN過點C，已知AB＝3米，AD＝2米．圖3-4-6(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當(dāng)DN的長度為多少時，矩形花壇AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈?【導(dǎo)學(xué)號：33300101】【解】(1)設(shè)DN的長為x(x＞0)米，則|AN|＝(x＋2)米．∵eq\f(|DN|,|AN|)＝eq\f(|DC|,|AM|)，∴|AM|＝eq\f(3x＋2,x)，∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝eq\f(3x＋22,x).由S矩形AMPN＞32，得eq\f(3x＋22,x)＞32.又由x＞0，得3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜eq\f(2,3)或x＞6.即DN的長的取值范圍是