高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章空間向量與立體幾何第3章

3．共面向量定理[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解共面向量等概念.2.理解空間向量共面的充要條件．[知識(shí)鏈接]1．空間兩向量共線，一定共面嗎？反之還成立嗎？答：一定共面，反之不成立．2．空間共面向量定理與平面向量基本定理有何關(guān)系？答：空間共面向量定理中，當(dāng)向量a，b是平面向量時(shí)，即為平面向量基本定理．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a，b線性表示．3．空間四點(diǎn)共面的條件若空間任意無三點(diǎn)共線的四點(diǎn)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)x、y、z使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，且x、y、z滿足x＋y＋z＝1，則A、B、C、D共面．要點(diǎn)一應(yīng)用共面向量定理證明點(diǎn)共面例1已知A、B、C三點(diǎn)不共線，平面ABC外的一點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．解(1)∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))．∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)).又eq\o(MB,\s\up6(→))與eq\o(MC,\s\up6(→))不共線．∴向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)∵向量eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))、eq\o(MC,\s\up6(→))共面且具有公共起點(diǎn)M，∴M、A、B、C共面．即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)．規(guī)律方法利用共面向量定理證明四點(diǎn)共面時(shí)，通常構(gòu)造有公共起點(diǎn)的三個(gè)向量，用其中的兩個(gè)向量線性表示另一個(gè)向量，得到向量共面，即四點(diǎn)共面．跟蹤演練1已知兩個(gè)非零向量e1、e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，求證：A、B、C、D共面．證明∵eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝5e1＋5e2＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不共線．∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))共面，又它們有一個(gè)公共起點(diǎn)A.∴A、B、C、D四點(diǎn)共面．要點(diǎn)二應(yīng)用共面向量定理證明線面平行例2如圖，在底面為正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)，求證：AB1∥平面C1BD.證明記eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋c，所以eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC1,\s\up6(→))＝a＋c＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，又eq\o(DB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))1不共線，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC1,\s\up6(→))共面．又由于AB1不在平面C1BD內(nèi)，所以AB1∥平面C1BD.規(guī)律方法在空間證明線面平行的又一方法是應(yīng)用共面向量定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．要熟悉其證明過程和證明步驟．跟蹤演練2如圖所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，在面對(duì)角線AC1上和棱BC上分別取點(diǎn)M、N，使eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．求證：MN∥平面ABB1A1.證明eq\o(AM,\s\up6(→))＝k·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝kb＋kc，又∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝a＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.又a與c不共線．∴eq\o(MN,\s\up6(→))與向量a，c是共面向量．又MN不在平面ABB1A1內(nèi)，∴MN∥平面ABB1A1.要點(diǎn)三向量共線、共面的綜合應(yīng)用例3如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是ABCD所在平面外的一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，PD.設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．試用向量方法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．解分別連結(jié)PE，PF，PG，PH并延長(zhǎng)，交對(duì)邊于點(diǎn)M，N，Q，R，連結(jié)MN，NQ，QR，RM.∵E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在邊的中點(diǎn)，且eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up6(→))，eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up6(→))，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))，eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up6(→)).由題意知四邊形MNQR是平面四邊形，∴eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MR,\s\up6(→))＝(eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))－(eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(PF,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))＋eq\f(3,2)(eq\o(PH,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→)))．又eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PG,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(EG,\s\up6(→)).∴eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))，由共面向量定理知，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．規(guī)律方法選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運(yùn)算得出幾何元素之間的關(guān)系，這是解決立體幾何常用的方法．

跟蹤演練3已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個(gè)點(diǎn)(如圖所示)，并且eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→)).求證：(1)A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→))；(3)eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).證明(1)由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))知A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面．(2)∵eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋m(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋km(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝keq\o(AD,\s\up6(→))＋kmeq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→)).(3)由(2)知eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))－eq\o(EO,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))－keq\o(AO,\s\up6(→))＝k(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))＝keq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).1．給出下列幾個(gè)命題：①向量a，b，c共面，則它們所在的直線共面；②零向量的方向是任意的；③若a∥b，則存在惟一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.其中真命題的個(gè)數(shù)為________．答案1解析①假命題．三個(gè)向量共面時(shí)，它們所在的直線或者在平面內(nèi)或者與平面平行；②真命題．這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定；③假命題．當(dāng)b＝0，則有無數(shù)多個(gè)λ使之成立．2．已知兩非零向量e1，e2不共線，設(shè)a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，則a與e1，e2的關(guān)系為________．答案a與e1，e2共面解析若a∥e1，則存在實(shí)數(shù)t使得a＝te1，∴te1＝λe1＋μe2，∴(t－λ)e1＝μe2，則e1與e2共線，不符合題意．同理，a與e2也不平行．由向量共面的充要條件知a與e1，e2共面．3．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則x的值為________．答案eq\f(1,3)解析∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四點(diǎn)共面，∴x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，x＝eq\f(1,3).4．空間的任意三個(gè)向量a，b,3a－2b，它們一定是________．答案共面向量解析如果a，b是不共線的兩個(gè)向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共線，則a，b,3a－2b共線，當(dāng)然也共面．共面向量定理的應(yīng)用：(1)空間中任意兩個(gè)向量a，b總是共面向量，空間中三個(gè)向量a，b，c則不一定共面．(2)空間中四點(diǎn)共面的條件空間點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)，則存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y使得eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，①此為空間共面向量定理，其實(shí)質(zhì)就是平面向量基本定理，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))實(shí)質(zhì)就是面MAB內(nèi)平面向量的一組基底．另外有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，②或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)③①、②、③均可作為證明四點(diǎn)共面的條件，但是①更為常用．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知ABCD為矩形，P點(diǎn)為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥面ABCD，G為△PCD的重心，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))，則x＝________，y＝________，z＝________.答案eq\f(1,3)eq\f(2,3)eq\f(1,3)解析∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))]＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)，z＝eq\f(1,3).2．在下列等式中，使點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C一定共面的是________．①eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))；②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))；③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0；④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.答案③解析若有eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，則M與點(diǎn)A、B、C共面，或者eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))且x＋y＋z＝1，則M與點(diǎn)A、B、C共面，①、②、④不滿足x＋y＋z＝1，③滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＝xeq\o(MB,\s\up6(→))＋yeq\o(MC,\s\up6(→))，故③正確．3．已知P和不共線三點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任一點(diǎn)O，都有eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(OC,\s\up6(→))，則λ＝________.答案－2解析P與不共線三點(diǎn)A，B，C共面，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，則有x＋y＋z＝1.從而λ＝－2.4．設(shè)a，b，c是不共面向量，m＝2a－b，n＝b＋c，p＝4a－5b－3c，則向量m，n，p的關(guān)系是________(填“共面”或“不共面”)．答案共面解析因?yàn)閜＝2(2a－b)－3(b＋c)＝2m－3n，所以m，n，p必共面．5．下列命題：①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面；②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb；③若eq\o(MP,\s\up6(→))＝x·eq\o(MA,\s\up6(→))＋y·eq\o(MB,\s\up6(→))，則P、M、A、B四點(diǎn)共面；④若P、M、A、B四點(diǎn)共面，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝x·eq\o(MA,\s\up6(→))＋y·eq\o(MB,\s\up6(→))，其中正確的是________．答案②④解析①與③中取x＝0或y＝0，則結(jié)論不一定成立．反之，②④正確．6．已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC上一點(diǎn)，若AB1∥平面DBC1，則D在AC上的位置是________．答案D是AC的中點(diǎn)

解析取BC1的中點(diǎn)為O，由AB1∥平面DBC1知，存在實(shí)數(shù)x，y滿足eq\o(AB1,\s\up6(→))＝xeq\o(DB,\s\up6(→))＋yeq\o(DC1,\s\up6(→))，又eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OB1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC1,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，即D是AC的中點(diǎn)．7．設(shè)A、B、C及A1、B1、C1分別是異面直線l1、l2上的三點(diǎn)，而M、N、P、Q分別是線段AA1、BA1、BB1、CC1的中點(diǎn)．求證：M、N、P、Q四點(diǎn)共面．證明因?yàn)閑q\o(NM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2eq\o(NP,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))，(*)A、B、C及A1、B1、C1分別共線，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＝2λeq\o(NM,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝ωeq\o(A1B1,\s\up6(→))＝2ωeq\o(NP,\s\up6(→)).代入(*)式得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(2λeq\o(NM,\s\up6(→))＋2ωeq\o(NP,\s\up6(→)))，又eq\o(NM,\s\up6(→))與eq\o(NP,\s\up6(→))不共線．所以eq\o(PQ,\s\up6(→))、eq\o(NM,\s\up6(→))、eq\o(NP,\s\up6(→))共面，所以M、N、P、Q四點(diǎn)共面．二、能力提升8．平面α內(nèi)有點(diǎn)A，B，C，D，E，其中無三點(diǎn)共線，O為空間一點(diǎn)，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋xeq\o(OC,\s\up6(→))＋yeq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝2xeq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OE,\s\up6(→))，則x＋3y＝________.答案eq\f(7,6)解析由點(diǎn)A，B，C，D共面得x＋y＝eq\f(1,2)，又由點(diǎn)B，C，D，E共面得2x＋y＝eq\f(2,3)，聯(lián)立方程組解得x＝eq\f(1,6)，y＝eq\f(1,3)，所以x＋3y＝eq\f(7,6).9.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝eq\f(1,2)GB，過E、F、G三點(diǎn)的平面與對(duì)角線AC1交于點(diǎn)P，則AP∶PC1的值為________．答案eq\f(3,16)解析設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AC1,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＋2eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝3meq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)meq\o(AE,\s\up6(→))＋2meq\o(AF,\s\up6(→))，又因?yàn)镋、F、G、P四點(diǎn)共面，所以3m＋eq\f(4,3)m＋2m＝1，所以m＝eq\f(3,19)，所以AP∶PC1＝3∶16.10．已知非零向量e1，e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2.則A、B、C、D四點(diǎn)的位置關(guān)系為________．答案共面解析令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.則(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1、e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＋3v＝0，,λ＋8μ－3v＝0，))易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－5,μ＝1,v＝1))是其中一組解，則－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴A、B、C、D共面．11．已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中點(diǎn)O，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各題中x，y的值．(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))＋xeq\o(PC,\s\up6(→))＋yeq\o(PA,\s\up6(→))；(2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PO,\s\up6(→))＋yeq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).解(1)如圖所示∵eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴x＝y(tǒng)＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)).又eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)).∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－(2eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))－2eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)).∴x＝2，y＝－2.12．對(duì)于任意空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．試判斷：eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))的關(guān)系．解如圖所示．空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，利用多邊形加法法則可得：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))，①eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，②又E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．故有eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\o(CF,\s\up6(→))，③將③代入①得eq\o(EF