高中數(shù)學人教B版第一章解三角形學業(yè)分層測評3

學業(yè)分層測評(三)距離和高度問題(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．為了測量B，C之間的距離，在河岸A，C處測量，如圖1-2-7，測得下面四組數(shù)據(jù)，較合理的是()圖1-2-7A．c與α B．c與bC．b，c與β D．b，α與γ【解析】因為測量者在A，C處測量，所以較合理的應該是b，α與γ.【答案】D2．輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港O，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h，15nmile/h，則14時兩船之間的距離是()A．50nmile B．70nmileC．90nmile nmile【解析】到14時，輪船A和輪船B分別走了50nmile，30nmile，由余弦定理得兩船之間的距離為l＝eq\r(502＋302－2×50×30×cos120°)＝70(nmile)．【答案】B3．如圖1-2-8，要測量河對岸A，B兩點間的距離，今沿河岸選取相距40米的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(eq\r(3)＋1)，則A，B間距離是()圖1-2-8A．20eq\r(2)米 B．20eq\r(3)米C．20eq\r(6)米 D.40eq\r(2)米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(eq\r(3)＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20eq\r(6)(米)．【答案】C4．在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點20m，則建筑物高度為()A．20m B．30mC．40m D.【解析】如圖，設O為頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq\r(3)，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】C5．如圖1-2-9所示，在地面上共線的三點A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()圖1-2-9A．15eq\r(6)m B.20eq\r(6)mC．25eq\r(6)m D.30eq\r(6)m【解析】設建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m.【答案】D二、填空題6．有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長________千米．【解析】如圖，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝eq\r(2)(千米)．【答案】eq\r(2)7．如圖1-2-10，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸的標記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度是________m.圖1-2-10【解析】tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan75°＝eq\f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝60eq\r(3)，故CD＝60.【答案】608．一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人由點A開始做勻速直線運動，到達點B時，發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動，如圖1-2-11所示，已知AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，則該機器人最快可在距A點________dm的C處截住足球.【導學號：33300015】圖1-2-11【解析】設機器人最快可在點C處截住足球，點C在線段AD上，設BC＝xdm，由題意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4eq\r(2))2＋(17－2x)2－8eq\r(2)(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝eq\f(37,3).∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－eq\f(23,3)(dm)(舍去)．∴該機器人最快可在線段AD上距A點7dm的點C處截住足球．【答案】7三、解答題9．A，B，C，D四個景點，如圖1-2-12，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2km，C，D相距(3eq\r(2)－eq\r(6))km，求A，B兩景點的距離．圖1-2-12【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，即BD＝eq\f(CD·sin75°,sin60°)＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD為等邊三角形，∴AB＝2.答：A，B兩景點的距離為2km.10．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，求兩條船之間的距離.【導學號：33300016】【解】如圖所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，在Rt△ABD中，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即兩船相距30m.[能力提升]1．某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來，他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離d1與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的關系為()A．d1>d2 B．d1＝d2C．d1<d2 D.不能確定大小【解析】如圖，B，C，D分別是第一、二、三輛車所在的位置，由題意可知α＝β.在△PBC中，eq\f(d1,sinα)＝eq\f(PB,sin∠PCB)，在△PCD中，eq\f(d2,sinβ)＝eq\f(PD,sin∠PCD)，∵sinα＝sinβ，sin∠PCB＝sin∠PCD，∴eq\f(d1,d2)＝eq\f(PB,PD).∵PB<PD，∴d1<d2.【答案】C2．如圖1-2-13，在湖面上高為10m處測得天空中一朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1m,eq\r(3)＝()圖1-2-13A．2.7m B．17.3mC．37.3m D.【解析】在△ACE中，tan30°＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(CM－10,AE).∴AE＝eq\f(CM－10,tan30°)(m)．在△AED中，tan45°＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(CM＋10,AE)，∴AE＝eq\f(CM＋10,tan45°)(m)，∴eq\f(CM－10,tan30°)＝eq\f(CM＋10,tan45°)，∴CM＝eq\f(10\r(3)＋1,\r(3)－1)＝10(2＋eq\r(3))≈(m)．【答案】C3.如圖1-2-14所示，福建省福清石竹山原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設了一條索道AC.小明在山腳B處看索道AC，此時視角∠ABC＝120°；從B處攀登200米到達D處，回頭看索道AC，此時視角∠ADC＝150°；從D處再攀登300米到達C處．則石竹山這條索道AC長為________米．圖1-2-14【解析】在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.因為∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，所以eq\f(200,sin30°)＝eq\f(AD,sin120°).所以AD＝eq\f(200×sin120°,sin30°)＝200eq\r(3)(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200eq\r(3))2＋3002－2×200eq\r(3)×300×cos150°＝390000，所以AC＝100eq\r(39)(米)．故石竹山這條索道AC長為100eq\r(39)米．【答案】100eq\r(39)4．2023年10月，在鄒平縣啟動了山東省第三次農(nóng)業(yè)普查農(nóng)作物遙感測量試點工作，用上了無人機．為了測量兩山頂M，N間的距離，無人機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖1-2-15)，無人機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟．圖1-2-15【解】方案一：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M，N點的俯角α1，β1；B點到M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d.②第一步：計算AM.由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,sinα1＋α2)；第二步：計算AN.由正弦定理AN＝eq\f(dsinβ2,sinβ2－β1)；第三步：計算MN.由余弦定理M