四邊形總復(fù)習(xí)

平行四邊形1.引入課題四邊形2.四邊形的有關(guān)概念請(qǐng)同學(xué)們回憶三角形的定義；三角形的邊、頂點(diǎn)、角；三角形的表示方法；三角形中的重要線段．ABCD中線F高線E角平分線由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形．觀察圖形，同位之間交流：

什么叫做四邊形？

在平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形．ABCD什么叫做四邊形的邊？

什么叫做四邊形的頂點(diǎn)？

如何表示一個(gè)四邊形？如：四邊形ABCD

在平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形．凸四邊形

把四邊形的任一邊向兩方延長(zhǎng)，如果其它各邊都在延長(zhǎng)線的同一旁，則這樣的四邊形為凸四邊形．下圖是不是凸四邊形？

把四邊形的任一邊向兩方延長(zhǎng)，如果其它各邊不在延長(zhǎng)線的同一旁，則這樣的四邊形為凹四邊形．四邊形的角、對(duì)角線及作用四邊形的角四邊形的對(duì)角線CABDABCD四邊形的內(nèi)角和等于多少度？問(wèn)題：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝？CABD四邊形的內(nèi)角和定理：

四邊形的內(nèi)角和等于360°．CABD

關(guān)于四邊形的內(nèi)角和定理，你能想出其它證明方案嗎？ABCDO

注意：

研究四邊形時(shí)，常作它的對(duì)角線，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題．例題已知：如圖，直線OB⊥AB，垂足為B，直線OC⊥AC，垂足為C．

求證：(1)∠1＋∠A＝180°；

(2)∠A＝∠2．已知：如圖，直線OB⊥AB，垂足為B，直線OC⊥AC，垂足為C．

求證：(1)∠1＋∠A＝180°；

(2)∠A＝∠2．證明：

(1)∵∠A＋∠ACO＋∠1＋∠ABO＝360°，

∴∠1＋∠A＝360°－90°－90°＝180°（四邊形的內(nèi)角和等于360°）(2)∵∠1＋∠A＝180°,∠1＋∠2＝180°,∴∠A＝∠2．∵

OB⊥ABOC⊥AC∴

∠ACO＝∠ABO＝90°，練習(xí)已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠B，DF平分∠D．問(wèn)BE與DF是否平行？為什么？練習(xí)(1)四邊形的四個(gè)內(nèi)角可以都是銳角嗎？可以都是鈍角嗎？可以都是直角嗎？為什么？

(2)一個(gè)四邊形中，最多可以有幾個(gè)銳角？幾個(gè)鈍角？練習(xí)能否用相同形狀的任意四邊形地磚鋪地？請(qǐng)說(shuō)明理由？能否用相同形狀的任意四邊形地磚鋪地？請(qǐng)說(shuō)明理由？答：根據(jù)任意四邊形的內(nèi)角和為360度，可如下圖一樣拼圖。小結(jié)什么叫四邊形？四邊形的內(nèi)角和定理．在研究四邊形時(shí)，常通過(guò)作它的對(duì)角線，把關(guān)于四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角形的問(wèn)題來(lái)解決．思考題如果一個(gè)四邊形四個(gè)內(nèi)角之比是2∶2∶3∶5，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角中

(A)只有一個(gè)直角(B)只有一個(gè)銳角

(C)有兩個(gè)直角(D)有兩個(gè)鈍角

若一個(gè)角的兩邊與令一個(gè)角的兩邊互相垂直，且中兩個(gè)角的差為46°，那么這兩個(gè)角的度數(shù)分別為_(kāi)________．?平行四邊形的性質(zhì)兩組對(duì)邊都不平行一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊不平行兩組對(duì)邊分別平行四邊形平行四邊形有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。觀察圖形，說(shuō)出下列圖形邊的位置有什么特征？你能從以下圖形中找出平行四邊形嗎？

兩組對(duì)邊分別平行，是平行四邊形的一個(gè)主要特征。23145平行四邊形相對(duì)的邊稱(chēng)為對(duì)邊

相對(duì)的角稱(chēng)為對(duì)角如圖:線段AC、BD就是ABCD的對(duì)角線ADCB平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫平行四邊形的對(duì)角線．1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.如圖：四邊形ABCD是平行四邊形記作：ABCD讀作：平行四邊形ABCD如圖，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形有＿＿個(gè)，它們是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿討論9AHOEABCDBHGCAHGDCDEFABFECFOGDEOGBHOFABDC畫(huà)一個(gè)平行四邊形，觀察它的邊之間還有什么關(guān)系？平行四邊形的對(duì)邊平行.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，BC∥AD.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，BC=AD.平行四邊形的對(duì)邊相等.探究

旋轉(zhuǎn)平行四邊形，探究對(duì)稱(chēng)性和角的關(guān)系CABD平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形.平行四邊形的對(duì)角相等.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠A=∠C，∠B=∠D.OABCD性質(zhì)4：平行四邊形的對(duì)角相等。性質(zhì)1：平行四邊形的對(duì)邊平行。性質(zhì)2：平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形。

思考：平行四邊形中相鄰的兩角有什么關(guān)系呢性質(zhì)3：平行四邊形的對(duì)邊相等。EFGH解:∵四邊形ABCD是平行四邊形且∠A=52°（已知)∴∠A=∠C=52°（平行四邊形的對(duì)角相等）又∵AD∥BC（平行四邊形的對(duì)邊平行）∴∠A+∠B=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）∴∠B=∠D=

180°－∠A=180o－52°=128°在ABCD中,已知∠A=52°

，求其余三個(gè)角的度數(shù)。ABCD52°例題教學(xué)如圖：在ABCD中，∠A+∠C=200°則：∠A=

，∠B=

.變式練習(xí)：ADBC100°80°解:∴∠B=

180°－∠A=180o－100°=80°又∵AD∥BC(平行四邊形的對(duì)邊平行)∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠A=∠C=100°（平行四邊形的對(duì)角相等）且∠A+∠C=200°

ADCB43例題教學(xué)解：∵BD⊥AD∴∠ADB=90°在Rt△ADB中，AD=3，BD=4∴AB==5（勾股定理）又∵四邊形ABCD為平行四邊形（已知）∴AD=BC=3AB=DC=5∴ABCD的周長(zhǎng)=2(AD+AB)=2(3+5)=16（平行四邊形對(duì)邊相等）如圖，已知ABCD中，AD=3,BD⊥AD,且BD=4,你能求出平行四邊形的周長(zhǎng)嗎?解：∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）∴AB=CD，BC=AD（平行四邊形的對(duì)邊相等）

又∵□ABCD的周長(zhǎng)為60cm.∴AB+BC=30cm.

又AB：BC=3：2，即AB=1.5BC.

則1.5BC+BC=30,解得BC=12(cm).

而AB=1.5×12=18(cm).ABDC已知：平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為60cm，兩鄰邊AB，BC長(zhǎng)的比為3：2，求AB和BC的長(zhǎng)度.變式練習(xí)學(xué)校買(mǎi)了四棵樹(shù)，準(zhǔn)備栽在花園里，已經(jīng)栽了三棵（如圖），現(xiàn)在學(xué)校希望這四棵樹(shù)能組成一個(gè)平行四邊形，你覺(jué)得第四棵樹(shù)應(yīng)該栽在哪里？A1A3A2ABC在ABCD中，已知一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是60°，則其余三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為：大聲回答120°、60°、120°

如圖，小明用一根36m長(zhǎng)的繩子圍成了一個(gè)平行四邊形的場(chǎng)地，其中一條邊AB長(zhǎng)為8m，其他三條邊各長(zhǎng)多少？ABCD解：四邊形ABCD是平行四邊形可要細(xì)心喲在ABCD中，∠A與∠B的度數(shù)之比為4：5，∠A=

，∠B=

，∠C=

∠D=

。

ABCD80°100°80°100°ABCD已知：ABCD的周長(zhǎng)等于20cm，AC=7cm，求△ABC的周長(zhǎng)。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）∴AB=CD，BC=AD（平行四邊形的對(duì)邊相等）即AB+BC=C

ABCD=10cm又∵AC=7cm（已知）∴

C△

ABC=AB+BC+AC=10+7=17（cm）在平行四邊形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,則EC＝

.C4cmABDE9cm125cm9cm3平行四邊形的對(duì)邊平行且相等；BDCA平行四邊形的對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)。平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形。有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。130°50°33cm15cm100°80°10cm4、ABCD的周長(zhǎng)為40cm，⊿ABC的周長(zhǎng)為25cm，

則對(duì)角線AC長(zhǎng)為（

）A、5cmB、15cmC、6cmD、16cm1、ABCD中，∠A=50°，則∠B=____

∠C=

，若AD+BC=30cm，ABCD的周長(zhǎng)是96cm,則AB=

,BC=_____.2、ABCD,若∠A:∠B=5:4，則∠C=___,∠D=

。3、ABCD中，AB－CB=4cm，周長(zhǎng)為32cm則AB=

。A2、在ABCD中，∠ADC=120°，∠CAD=20°，則∠ABC=

，∠CAB=

.ABCD1.已知ABCD中，∠１=60°，則：∠A=

，∠B=

,∠C=

，∠D=

.(1小題）(2小題）60°120°60°120°120°40°ABCD１ABDC畫(huà)一個(gè)平行四邊形，觀察它的邊之間還有什么關(guān)系？ABDC平行四邊形的對(duì)邊平行.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，BC∥AD.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，BC=AD.平行四邊形的對(duì)邊相等.OABCD（C）（A）（B）（D）性質(zhì)4：平行四邊形的對(duì)角相等。性質(zhì)1：平行四邊形的對(duì)邊平行。性質(zhì)2：平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形。思考：平行四邊形中相鄰的兩角有什么關(guān)系呢性質(zhì)3：平行四邊形的對(duì)邊相等。平行四邊形的性質(zhì)（２）

一位飽經(jīng)蒼桑的老人，經(jīng)過(guò)一輩子的辛勤勞動(dòng)，到晚年的時(shí)候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個(gè)孩子，他是這樣分的：

老大老二老三老四

當(dāng)四個(gè)孩子看到時(shí)，爭(zhēng)論不休，都認(rèn)為自己的地少，同學(xué)們，你認(rèn)為老人這樣分合理嗎？為什么？1.如圖，在平行四邊行ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，(1)若AC=18cm,BD=24cm,則AO=

,BO=

.又若AB=13厘米，則△COD的周長(zhǎng)為

。（2）若△AOB的周長(zhǎng)為30cm,AB=12cm,則對(duì)角線AC與BD的和是

。例題講解

如右圖所示,平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于O,AC⊥BC垂足為C,已知AC=6,BC=4,求BD的長(zhǎng)?ABCDO能力提升關(guān)

如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O，AC＝10，BD=8,則AD的取值范圍是

_________.

ODBAC●1＜AD＜9智力比拼關(guān)在筆直的鐵軌上,夾在兩根鐵軌之間的枕木是否一樣長(zhǎng)?如下圖所示,請(qǐng)你在方格紙上畫(huà)兩條互相平行的直線,在其中一條直線上任取若干點(diǎn),過(guò)這些點(diǎn)作另一條直線的垂線,量出這些垂線的長(zhǎng)度,你發(fā)現(xiàn)這些垂線段的長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系?

這些垂線段都相等,即:AF=BG=CH=DM=EN為什么這些垂線段相等呢?你能用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解釋嗎?FABGCHDMEN“平行線間的距離”“平行線間的垂線段的長(zhǎng)度”=平行線間的距離處處相等.兩條直線平行，其中一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做兩條平行線之間的距離。平行線間的距離處處相等.abABDC幾何語(yǔ)言表示為：∵a∥bAC⊥ｂ，BD⊥ｂ∴AC=BD(平行線間的距離處處相等)答:兩個(gè)三角形的面積相等.因?yàn)閮蓷l平行線間的距離相等,所以?xún)蓚€(gè)三角形的高相等,又同底,因此面積相等.

我思,我進(jìn)步奔向遠(yuǎn)方….1.如下圖所示,如果直線L1//L2,那么△ABC的面積和△DBC的面積大小有什么關(guān)系?你能說(shuō)出理由嗎?L2BL1ADC2.你還能在這兩條平行線L1、L2之間畫(huà)出其他與△ABC面積相等的三角形嗎?1.在ABCD中,AB:BC=5:3,且ABCD的周長(zhǎng)為80cm,則CD=______,AD=______.2.如圖ABCD的周長(zhǎng)為44cm,對(duì)角線AC、BD相交于O,且△AOD的周長(zhǎng)比△AOB的周長(zhǎng)少2cm,求ABCD各邊的長(zhǎng).DACOB

一位飽經(jīng)蒼桑的老人，經(jīng)過(guò)一輩子的辛勤勞動(dòng)，到晚年的時(shí)候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個(gè)孩子，他是這樣分的：

老大老二老三老四

當(dāng)四個(gè)孩子看到時(shí)，爭(zhēng)論不休，都認(rèn)為自己的地少，同學(xué)們，你認(rèn)為老人這樣分合理嗎？為什么？ACDBO●老大老四老三老二M老人分地合理嗎？

這節(jié)課你學(xué)到了什么?你有什么感受?能說(shuō)出來(lái)與大家分享嗎?

收獲與體會(huì)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB邊的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，若ABCD的周長(zhǎng)是52cm，△ABD的周長(zhǎng)比ABCD的周長(zhǎng)少10cm，求AB和AD的長(zhǎng)。ABCDE平行線間的距離處處相等.abABDC幾何語(yǔ)言表示為：∵a∥b

AC⊥ｂ，BD⊥ｂ∴AC=BD(平行線間的距離處處相等)板書(shū)設(shè)計(jì)板書(shū)例1知識(shí)點(diǎn)回顧定義：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.性質(zhì)：邊對(duì)邊平行對(duì)邊相等角對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分對(duì)角線：探究1：已知：四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，試問(wèn)：四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：要證明一四邊形是平行四邊形，需要根據(jù)平行四邊形的定義判斷，即要證該四邊形兩組對(duì)邊分別平行。要證：四邊形ABCD是平行四邊形AB∥CD,AD∥BC先連接AC,再證∠1=∠3,∠2=∠4△ABC≌△CDA(SSS)解：是平行四邊形。理由如下：連結(jié)AC，AB=CD(已知)AC=CA(公共邊)BC=DA(已知)∴△ABC≌△CDA(SSS)在△ABC和△CDA中,∴∠1=∠3,∠2=∠4∴AB∥CD,AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形。ABCD1234由上述證明可以得到平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。幾何語(yǔ)言描述判定：AB∥DCAD∥BCABCDABCDABCD探究2已知：四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD，試問(wèn)：四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。ABCDO分析：要證明一四邊形是平行四邊形，需要根據(jù)平行四邊形的定義判斷，即要證該四邊形兩組對(duì)邊分別平行。AB∥CD,AD∥BC△ABC≌△CDA(SAS)要證：四邊形ABCD是平行四邊形∠ABO=∠ODC,∠BAO=∠OCD解：是平行四邊形。理由如下：在△ABO和△CDO中,AO=CO（已知）∠AOB=∠COD（對(duì)頂角相等）BO=DO（已知）∴△ABO≌△CDO(SAS)∴∠ABO=∠ODC,∠BAO=∠OCD∴AB∥CD,AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。幾何語(yǔ)言描述判定：AO=COBO=DOABCD由上述證明可以得到平行四邊形的判定定理：ABCDO探究3已知：四邊形ABCD中，AB=CD，AB∥CD試問(wèn)：四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。B解：連接ACACD12是平行四邊形，理由如下：∵AB∥CD∴∠BAC=∠ACD在△ABC和△CDA中,AB=CD(已知）∠BAC=∠ACD（已證）AC=CA（公共邊）∴△ABC≌△CDA(SAS)∴∠1=∠2∴

AD∥BC又∵

AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形由上述證明可以得到平行四邊形的判定定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。幾何語(yǔ)言描述判定：ABCDABCDADBC“”讀作“平行且相等”.探究4已知：四邊形ABCD中,∠A=∠C，∠B=∠D.試問(wèn)：四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。ABCD解：是平行四邊形。理由如下：∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600又∵∠A=∠C，∠B=∠D∴2∠A+2∠B=3600即∠A+∠B=1800∴AD∥BC同理得：AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形。又∵∠A=∠C，∠B=∠D由上述證明可以得到平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。幾何語(yǔ)言描述判定：ABCD∠A=∠C∠B=∠DABCD三、應(yīng)用練習(xí)1、下面給出了四邊形ＡＢＣＤ中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ＡＢＣＤ是平行四邊形的是（）Ａ．１：２：３：４Ｃ．２：３：２：３Ｂ．２：２：３：３

需要兩組對(duì)角分別相等.Ｄ．２：３：３：２C2、在下列條件中，能判定四邊形ＡＢＣＤ為平行四邊形的是（）Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠ＤＣ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡB＝CDABCD

若一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等，這個(gè)四邊形是平行四邊形嗎？C3、填空題：如圖，在四邊形ABCD中，ABCD①如果AD=8cm，AB=4cm，且BC=____cm，CD=____cm，那么四邊形ABCD是平行四邊形。②若∠A=1200,則∠B=____0,∠C=____0，∠D=____0時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形。③如果AD//BC，AD=6cm，且BC=___cm，那么四邊形ABCD是平行四邊形。84點(diǎn)評(píng)：兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形6012060點(diǎn)評(píng)：兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形6點(diǎn)評(píng)：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、已知：E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF。求證：四邊形BFDE是平行四邊形.OBACEFD證明：連接BD在ABCD中，AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF∴EO=FO

又∵BO=DO

∴四邊形BFDE是平行四邊形.(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）歸納小結(jié)

判定1

定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

判定2

兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

判定3

兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

判定4

兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

判定5

一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了平行四邊形的判定定理：探索平行四邊形的

常用判定方法學(xué)生活動(dòng)之一:

平行四邊形的判定定理:判定定理1:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形判定定理2:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定定理3:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定定理1:

兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形ABCD在四邊形ABCD中∵∴∠A=∠C∠B=∠D四邊形ABCD是平行四邊形。(兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形)判定定理2:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形ABCD在四邊形ABCD中∵∴四邊形ABCD是平行四邊形。AB=CDBC=AD(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)判定定理3:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形OABCD在四邊形ABCD中∵∴四邊形ABCD是平行四邊形。對(duì)角線AC、BD

相交于點(diǎn)O，并

且AO=CO,BO=DO.(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)學(xué)生活動(dòng)之二：小組討論形式活動(dòng)形式：活動(dòng)內(nèi)容：重新組合條件，探索判定方法OABCD如圖所示，有以下

8個(gè)條件，②AD∥BC①AB∥CD④AD=BC③AB=CD⑤∠BAD=∠BCD⑥∠ABC=∠ADC⑦OA=OC⑧OB=ODOABCD一組對(duì)邊平行+一組對(duì)邊平行+另一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等這組對(duì)邊相等一組對(duì)角相等一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分（定義）√×√√√一組對(duì)邊相等+一組對(duì)邊相等+這組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等另一組對(duì)邊平行一組對(duì)角相等一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分√√××（判定定理2）×一組對(duì)角相等+一組對(duì)角相等+一組對(duì)邊平行一組對(duì)邊相等另一組對(duì)角相等一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分√×√（判定定理1）猜想1：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。ABCDAB∥CDAB=CD（判定方法）四邊形ABCD是平行四邊形。12∵∴猜想2：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形AB∥CDAD=BCABCD不一定四邊形ABCD不是平行四邊形。ABCD猜想3：一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。AB∥CD∠A=∠C判定方法四邊形ABCD是平行四邊形。AB=CD∠A=∠C猜想5：一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。不一定四邊形ABCD不是平行四邊形。OABCD猜想4：一組對(duì)邊平行且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形。AB∥CDOA=OC判定方法1234四邊形ABCD是平行四邊形。猜想6：一組對(duì)邊相等，對(duì)角線交點(diǎn)平分其中某一條對(duì)角線的四邊形

是平行四邊形。AB=CDOA=OC不一定o四邊形ABCD

不是平行四邊形。提示：假設(shè)OB〉OD，在OB上截取OB’=OD,則∠ABC=∠ADC=∠AB’C猜想7：一組對(duì)角相等,連該對(duì)角的兩頂點(diǎn)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形?！螦BC=∠ADCOA=OCOABCD判定方法情況一：O猜想：一組對(duì)角相等，連該對(duì)角線的兩頂點(diǎn)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形?！螦BC=∠ADCOB=OD不一定情況二：四邊形ABCD

不是平行四邊形。判定定理的

鞏固練習(xí)

例1.已知：如圖，

E和F是平行

四邊形ABCD

對(duì)角線AC上

兩點(diǎn)，AE＝CF。

求證：四邊形BFDE

是平行四邊形。猜想1：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，

F為AC上兩點(diǎn)，∠ABE＝∠CDF。

求證：四邊形BEDF為平行

四邊形。猜想2：如圖，在平行四邊形ABCD中,E，F(xiàn)為AC上兩點(diǎn)，BE∥DF。

求證：四邊形BEDF為平行四邊形。猜想3：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)為AC上兩點(diǎn)，BE＝DF。

求證：四邊形BEDF為平行四邊形。猜想4：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)為AC上兩點(diǎn)，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F。

求證：四邊形BEDF為平行四邊形。

例2.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD、BC的中點(diǎn)。

求證：EB＝DF。推廣1（對(duì)結(jié)論引伸）

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，BE交AF于G，EC交DF于H。

求證：（1）四邊形EGFH為平行四邊

（2）四邊形EGHD為平行四邊形。推廣2

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中,E，F(xiàn)分別為AD，BC上兩點(diǎn)，AE＝CF。

求證：EB＝DF。推廣3

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC上兩點(diǎn)，

∠ABE＝∠CDF。

求證：EB＝DF。推廣4

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC上兩點(diǎn)，

BE和DF分別平分∠ABC和∠ADC。

求證：EB＝DF。推廣5

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC上兩點(diǎn)，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F。

求證：EB＝DF。例3．畫(huà)平行四邊形ABCD，使∠B＝45°，AB＝2cm，BC＝3cm。補(bǔ)充題：

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE＝CF，BG＝DH。

求證：AH，BE，CG，DF圍成的四邊形MNPQ為平行四邊形。2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是各邊中點(diǎn)。

求證：四邊形EFGH為平行四邊形。3．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD交于O點(diǎn)，AE⊥BD于E，CG⊥BD于G，BH⊥AC于H，DF⊥AC于F。

求證：四邊形EFGH為平行四邊形。下課了判定方法1:定義

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。性質(zhì)判定BCDA條件結(jié)論平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行猜想1:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形ABCD已知：如圖，∠A=∠C∠B=∠D求證：四邊形ABCD是平行四邊形。在四邊形ABCD中條件結(jié)論平行四邊形平行四邊形平行四邊形對(duì)邊相等對(duì)角相等

對(duì)角線

互相平分(性質(zhì)1)(性質(zhì)2)(性質(zhì)3)

性質(zhì)1234猜想2:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形ABCD已知：AB=CDBC=AD求證：四邊形ABCD是平行四邊形。O猜想3:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形ABCD已知：如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，并且AO=CO,BO=DO.求證：四邊形ABCD是平行四邊形。12(猜想1)(猜想2)(猜想3)對(duì)邊平行條件結(jié)論平行四邊形平行四邊形平行四邊形平行四邊形對(duì)邊相等對(duì)角相等

對(duì)角線

互相平分(定義)(判定2)(判定3)

判定(判定1)對(duì)邊平行對(duì)邊相等對(duì)角相等對(duì)角線

平分①②③⑤⑦⑧④⑥①③④①②④③②③⑥⑥④⑤③⑤④⑤⑦⑧⑤⑥⑦⑥⑧①⑥⑤①②⑤②⑥③⑧⑦③④⑦④⑧①⑦②⑧②⑦①⑧②AD∥BC①AB∥CD④AD=BC③AB=CD⑤∠BAD=∠BCD⑥∠ABC=∠ADC⑦OA=OC⑧OB=OD對(duì)邊平行對(duì)邊相等對(duì)角相等對(duì)角線

平分①②③④⑤⑥⑦⑧①③④②①②③⑤⑥⑦⑧④③④對(duì)邊平行條件結(jié)論平行四邊形平行四邊形平行四邊形平行四邊形對(duì)邊相等對(duì)角相等

對(duì)角線

互相平分(定義)(猜想1)(猜想2)(猜想3)AD∥BCAB∥CDAD=BCAB=CD∠A=∠C∠B=∠DOA=OCOB=ODOABCD兩組對(duì)邊分別平行對(duì)邊相等對(duì)角相等

對(duì)角線

互相平分邊角對(duì)角線兩組對(duì)邊平行兩組對(duì)邊相等兩組對(duì)角相等平行四邊形的主要性質(zhì)（等價(jià)命題：兩組鄰角互補(bǔ)）對(duì)角線互相平分(定義)(性質(zhì)1)(性質(zhì)2)(性質(zhì)3)猜想2：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形猜想5：一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形不一定是平行四邊形。猜想6：一組對(duì)邊相等，對(duì)角線交點(diǎn)平分其中某一條對(duì)角線的四邊形不一定是平行四邊形。猜想：一組對(duì)角相等，連該對(duì)角線的兩頂點(diǎn)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形不一定是平行四邊形。判定方法：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。判定方法：一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。判定方法：一組對(duì)角相等,連該對(duì)角的兩頂點(diǎn)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形。判定方法：一組對(duì)邊平行且一條對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形。菱形ABCD的性質(zhì)：1.具有平行四邊形的一切性質(zhì).2.菱形本身具有的特殊性質(zhì):

四條邊相等,兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.ABCD123456783.菱形的面積等于菱形對(duì)角線乘積的一半.O矩形的判定方法1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.菱形的判定方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；AB=BCABCD□ABCDABCD菱形ABCDAB=BC□ABCD

四邊形ABCD是菱形命題：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知：中，AC⊥BDABCDABCD求證：是菱形ABCDO菱形的判定定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；AC⊥BDAC⊥BD□ABCDABCD菱形ABCDABCD□ABCD四邊形ABCD是菱形（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形）情境：李芳同學(xué)先畫(huà)兩條等長(zhǎng)的線段AB、AD，然后分別以B、D為圓心，AB為半徑畫(huà)弧，得到兩弧的交點(diǎn)C，連接BC、CD，就得到了一個(gè)四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？猜想：四邊都相等的四邊形是菱形。歸納菱形常用的判定方法：1、有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.（對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.）3、有四條邊相等的四邊形是菱形.判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由．(1)對(duì)角線互相平分且鄰邊相等的四邊形是菱形．(2)兩組對(duì)邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形．(3)兩組對(duì)角分別相等且對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形．(4)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形。例題（課本P109.）

一邊長(zhǎng)為5cm平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6cm和8cm，求證：這個(gè)平行四邊形為菱形。ABCD請(qǐng)你動(dòng)腦筋把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷重疊部分ABCD的形狀嗎？ACDB思考:DCBA如圖，AD∥BC，BD垂直平分AC，四邊形ABCD一定是菱形嗎？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由。CDBAO思考題:┐)12

(例、如圖，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直線AB上，且AE=AB=BF，說(shuō)明CE⊥DF.ABFNDMEC例：如圖，RT△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于E，又點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，且AF=CE，求證：四邊形ACEF是菱形。ABCDEF例：如下圖在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于C，EF⊥BC于F，四邊形AEFG是菱形嗎?如圖4－48，CD為Rt△ABC斜邊AB上的高，∠BAC的平分線交CD于E，交BC于F，F(xiàn)G⊥AB于G．求證：四邊形EGFC為菱形．

學(xué)到了如何識(shí)別菱形

今天你學(xué)到了什么

菱形識(shí)別方法：1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形3、四條邊都相等的四邊形是菱形BDAC1．菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是3和4，則周長(zhǎng)和面積分別是___、____．2．菱形周長(zhǎng)為80，一對(duì)角線為20，則較小的角的度數(shù)為_(kāi)__、面積為_(kāi)__．3.菱形一邊與兩條對(duì)角線夾角的差是20°，那么菱形各角的度數(shù)分別為_(kāi)___4.已知：菱形的周長(zhǎng)為40cm，兩條對(duì)角線長(zhǎng)的比是3：4。求兩對(duì)角線長(zhǎng)分別是

。新課導(dǎo)入畫(huà)一畫(huà)，猜一猜畫(huà)一個(gè)四邊形，要求它既是矩形又是菱形.用一張長(zhǎng)方形的紙片折出一個(gè)正方形.動(dòng)手熱身接力賽平行四邊形有哪些性質(zhì)?矩形與平行四邊形比較有哪些特殊的性質(zhì)?平行四邊形邊:角:對(duì)角線:對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分矩形角:四個(gè)角是直角對(duì)角線:對(duì)角線相等且互相平分邊：對(duì)邊平行且相等具有平行四邊形所有性質(zhì)菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)邊:四條邊相等對(duì)角線:互相垂直平分分別平分兩組對(duì)角

對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)具有平行四邊形一切性質(zhì)角：矩形4第四章四邊形性質(zhì)探索復(fù)習(xí)：1、平行四邊形和四邊形有什么關(guān)系？2、平相四邊形的對(duì)邊、對(duì)角、對(duì)角線各有什么性質(zhì)？平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行且相等；對(duì)角相等；對(duì)角線互相平分。四邊形、平行四邊形、矩形四邊形平行四邊形矩形αADBCADBCADBCADBC4.5矩形1、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。觀察下面的演示平行四邊形長(zhǎng)方形有一個(gè)角是直角

矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.★矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)！2、矩形的性質(zhì)：定理1：矩形的四個(gè)角都是直角。已知：矩形ABCD中，∠B=90o.求證：∠A=∠C=∠D=∠B=900.證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠D=∠B=900,∠A=∠C(平行四邊形的對(duì)角相等)AD∥CB(平行四邊形的對(duì)邊平行)∴∠A+∠B=1800.∴∠A=900=∠C.∴∠A=∠C=∠D=∠B=900

ADBCAD

BC定理2：矩形的對(duì)角線相等。定理1：矩形的四個(gè)角都是直角.已知：矩形ABCD.求證：AC=BD.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=900.AB=DC,(矩形的四個(gè)角都是直角、對(duì)邊相等)在△ABC和△CDB中，

AB=CD∠ABC＝∠DCE

BC=CB∴△ABC≌△DCB（SAS.)∴AC=BD已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中線.求證:BO=AC12ABCOD證明:延長(zhǎng)BO至D,使OD=BO,連結(jié)AD、DC.∵AO=OC,BO=OD∴四邊形ABCD是平行四邊形.（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）∵∠ABC=900

∴ABCD是矩形1212∴BO=BD=AC∴AC=BD推論:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）。（矩形的對(duì)角線相等）

矩形的判定教學(xué)過(guò)程：一.復(fù)習(xí)引入：平行四邊形的定義….平行四邊行的性質(zhì)….平行四邊行的判定定理…..ADCB回憶平行四邊行返回定義：二組對(duì)邊互相平行的四邊行。性質(zhì):1.平行四邊行兩組對(duì)角相等。2.平行四邊行兩組對(duì)邊互相平行。3.平行四邊行對(duì)角線互相平分。判定定理：1.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊行。2.兩組對(duì)邊互相平行的四邊行是平行四邊行。3.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊行。

矩形的判定定理

我們通過(guò)平行四邊行的學(xué)習(xí)知道它的判定定理是由它的定義或性質(zhì)定理推導(dǎo)而來(lái)。那我們同樣由它的思路來(lái)看推導(dǎo)一下矩形的判定定理。矩形性質(zhì)一：矩形的四個(gè)角都是直角。

那我們接下來(lái)思考由矩形的性質(zhì)二：矩形的對(duì)角線相等能不能反推過(guò)來(lái)呢？即：對(duì)角線相等的平行四邊是否是矩形？根據(jù)性質(zhì)一很容易得到：判定定理一：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。已知：在平行四邊形ABCD中AC=DB求證:平行四邊形ABCD是矩形。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=DCAB//DC（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）在△ABC和△CDB中，

AC=BDAB=DC

BC=CB∴△ABC≌△DCB（SSS.)

∴∠ABC=∠DCB

∵AB//DC

∴

∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=90°∴平行四邊ABCD是矩形(有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形)

OACDB矩形判定定理二：對(duì)角線相等的平行四邊行是矩形。已知：平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△AOB是等邊三角形AB=4CM求：平行四邊形ABCD的面積。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=1/2ACBO=1/2BD（平行四邊形對(duì)角線互相平分）∵△AOB等邊三角形∴AO=BO∠BAO=60°∴AC=BC∴四邊形ABCD是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形）∴∠ABC=90°(矩形的四個(gè)角都是直角)∴∠ACB=90°-∠BAO=30°在Rt△ABC中∵∠ACB=30°AB=4Cm∴AC=2AO=2AB=8Cm

則：BC==（CM）SABCD=AB.BC=4=16(CM)

OACDB矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形矩形性質(zhì)一：矩形的四個(gè)角都是直角。矩形性質(zhì)二：矩形的對(duì)角線相等。矩形判定定理一：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。矩形判定定理二：對(duì)角線相等的平行四邊行是矩形。返回矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形矩形性質(zhì)一：矩形的四個(gè)角都是直角。矩形性質(zhì)二：矩形的對(duì)角線相等。矩形判定定理一：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。矩形判定定理二：對(duì)角線相等的平行四邊行是矩形。返回小結(jié),作業(yè)及預(yù)習(xí)小結(jié):矩形的定義…..矩形的性質(zhì)1….2…..矩形的判定定理1….2…….

2.過(guò)四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)角線的平行線，若這四條平行線圍成一個(gè)矩形，則原四邊形一定是

課堂練習(xí)1.下面性質(zhì)中，矩形不一定具有的是

A．對(duì)角線相等

B．四個(gè)角都相等

C．是軸對(duì)稱(chēng)圖形

D．對(duì)角線垂直A．對(duì)角線相等的四邊形

B．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形C．對(duì)角線互垂直平分的四邊形D．對(duì)角線垂直的四邊形3.已知矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角是40°，則兩條對(duì)角線所夾銳角的度數(shù)為

A．50°B．60°C．70°D．80°4.矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，則∠BAE等于

A．30°B．45°C．60°D．120°[][][][]DDDA返回A：四邊形集合C：平行四邊形集合B：矩形集合ACB課堂小結(jié)兩組對(duì)邊分別平行一個(gè)角是直角平行四邊形矩形返回練習(xí)BADC1.已知：如左圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AB=4cm，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).O解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對(duì)角線相等）.又∵OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OD，∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD==30°，又∵∠DAB=90°（矩形的四個(gè)角都是直角）.∴BD=2AB=2×4=8(cm).(平行四邊形對(duì)角線互相平分)ADBC矩形ABCD中，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=OA=4cm，求BD與AD的長(zhǎng)。例1解：∵在四邊形ABCD是矩形

AC=BD(矩形的對(duì)角線相等)∴BD=AC=2OA=8cm在Rt△BAD中，O∴OA=OC=ACOB=OD=BD(矩形的對(duì)角線互相平分)工人師傅如何裁剪玻璃？板凳壞了，修過(guò)后不知是否修好了？有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。矩形的判定：定義有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。矩形判定定理2對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。矩形判定定理3矩形判定定理1任意一個(gè)四邊形，三角直角定矩形。對(duì)于平行四邊形，一個(gè)直角即可定；對(duì)線相等也矩形。矩形的判定口訣：隨堂練習(xí):P96,第1題.已知：平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB是等邊三角形。求：∠BAD的度數(shù)ABCDO解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴對(duì)角線互相平分又∵△AOB是等邊三角形∴OA=OB∴AC=BD四邊形ABCD是平行四邊形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形)∴四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=900下列各句判定矩形的說(shuō)法是否正確？（1）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（2）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（3）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（5）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（6）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；（7）對(duì)角線相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（10）一組鄰邊垂直，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形；（9）對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是矩形；（8）一組對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形；（4）有三個(gè)角都相等的四邊形是矩形;XXXX有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。矩形的判定：定義有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。矩形判定定理2對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。矩形判定定理3矩形判定定理1正方形菱形正方形有一個(gè)角是直角創(chuàng)設(shè)情景一正方形是特殊的菱形初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)正方形矩形實(shí)驗(yàn)與觀察一：折疊矩形紙片初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)正方形菱形實(shí)驗(yàn)與觀察二：轉(zhuǎn)動(dòng)菱形模型初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)1．正方形的定義

由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角為直角的菱形。如圖(1)。有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的關(guān)系!大家談初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。?正方形的性質(zhì)=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)問(wèn)題:

情景二圖中CD在平移時(shí)，這個(gè)圖形始終是怎樣的圖形？當(dāng)CD移動(dòng)到CD位置，此時(shí)AD

＝AB，四邊形ABCD還是矩形嗎？ABCDABCD

正方形是特殊的矩形兩組互相垂直的平行線圍成矩形ABCD四邊形平行四邊形矩形菱形正方形平行四邊形矩形四邊形菱形正方形OABCD(A)(B)(C)(D)正方形的性質(zhì)：邊：角：對(duì)角線：對(duì)稱(chēng)性：正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A、四個(gè)角相等.B、對(duì)角線互相垂直平分.C、對(duì)角互補(bǔ).D、對(duì)角線相等.選一選2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A、四條邊相等.B、對(duì)角線互相垂直平分.C、對(duì)角線平分一組對(duì)角.D、對(duì)角線相等.

BD算一算正方形對(duì)角線長(zhǎng)6，則它的面積為周長(zhǎng)為3624例題解析例題學(xué)一學(xué)OABCD例4.求證：正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形。分析分析：這是一道幾何命題的證明,該怎么做?你會(huì)做嗎?第一步:根據(jù)題意畫(huà)出圖形第二步:寫(xiě)出已知第三步：寫(xiě)出求證第四步:進(jìn)行證明圖中共有多少個(gè)等腰直角三角形？為什么說(shuō)正方形是一個(gè)完美的圖形？對(duì)稱(chēng)性特征正方形是中心對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)O它也是軸對(duì)稱(chēng)圖形,有4條對(duì)稱(chēng)軸(1)它具有平行四邊形的一切性質(zhì)兩組對(duì)邊分別平行且相等，兩組對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分(2)具有矩形的一切性質(zhì)四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等(3)具有菱形的一切性質(zhì)四條邊相等；對(duì)角線互相垂直，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角OABCD(A)(B)(C)(D)歸納1.正方形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，軸對(duì)稱(chēng)圖形。2.正方形的四條邊都相等。3.正方形的四個(gè)角都相等。4.正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。OABCD有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角平行四邊形是正方形的試一試1.如圖，正方形ABCD中，兩對(duì)角線交于O,E是AC上一點(diǎn)，CE=AB，則∠ACB=__∠DOC=___,∠BEC=____,∠EBO=_____ADBCE

O2.如圖，正方形OPQR的一個(gè)頂點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，則兩正方形重合部分的面積是ADBCOPQR大顯身手如圖，四邊形ABCD.DEFG都是正方形，連接AE.CG。（1）求證：AE=CG（2）觀察圖形，猜想AE與CG的位置關(guān)系，并證明你的猜想。ABDECGF如圖，四邊形ABCD和DEFG都是正方形試說(shuō)明AE=CGABCDEFG3.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連接AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則圖中全等三角形共有（）ABCDEFCA.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)正方形有什么性質(zhì)？一組鄰邊相等一個(gè)角是直角有平行四邊形的所有性質(zhì)還有其它特殊的性質(zhì)

用類(lèi)比的方法探究正方形的性質(zhì)，先找共性再找特殊性，并注意性質(zhì)的整合.正方形的對(duì)邊平行且相等.正方形的對(duì)角相等.正方形的對(duì)角線互相平分.正方形的一般性質(zhì)（即平行四邊形所有性質(zhì)）邊：角：對(duì)角線：

正方形的特殊性質(zhì)矩形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)正方形ADCBO

正方形對(duì)角線把正方形分成多少個(gè)等腰直角三角形？

分成八個(gè)等腰直角三角形：△ABC、△ADC、△ABD、△BCD△AOB、△BOC、△COD、△DOA小練習(xí)已知：四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.例題證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AC=BD，AC⊥BDAO=CO=BO=DO（正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分）∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO已知：正方形ABCD中，對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG交OA于F求證：OE=OF例題證明：∵四邊形ABCD是正方形∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的對(duì)角線垂直平分且相等）又DG⊥AE∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°∴∠EAO=∠FDO∴△AEO≌△DFO∴OE=OF課堂小結(jié)你能描述下列變化關(guān)系嗎？平行四邊形及其性質(zhì)正方

形四邊形

平行

四邊形矩形菱形梯形兩組對(duì)邊平行只有一組對(duì)邊平行有一個(gè)角是直角一組鄰邊相等一組鄰邊相等有一個(gè)角是直角四邊形的變化1定義：

平行四邊形ABCDABCD兩組對(duì)邊

分別平行ABCD兩組對(duì)邊分別平行的

四邊形叫做平行四邊形。2符號(hào)表示：AD∥BC，AB∥CD?！達(dá)________，∴

平行四邊形定義的推理形式：（平行四邊形的

定義）AD∥BC，

AB∥CD，

四邊形ABCD

是平行四邊形。（平行四邊形的

定義）ABCD∵∴性質(zhì)判定ABCD練習(xí)1如圖，DC∥EF∥AB，DA∥GH∥CB，圖中的平行四邊形共有______個(gè)，它們是_______________________。9AHOE觀察、探索平行四邊形的性質(zhì)有哪些?平行四邊形性質(zhì):平行四邊形的對(duì)邊相等.平行四邊形的對(duì)角相等.平行四邊形的鄰角互補(bǔ).平行四邊形的對(duì)角線互相平分.平行四邊形的對(duì)邊平行.AD=BC，

AB=CD?！?/p>

∴

AD∥BC，

AB∥CD。(平行四邊形的對(duì)邊相等.)(平行四邊形的定義.)ABCD

平行四邊形邊的性質(zhì)在中，ABCD在中，ABCD在中，ABCD∴

(兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).)∠A=∠C,∠B=∠D.∴

(平行四邊形的對(duì)角相等.)∠A+∠B=180°∠B+∠C=180°∠C+∠D=180°∠D+∠A=180°ABCD

平行四邊形中角的性質(zhì)AD∥BC,AB∥CD。在中，ABCD∴

AO=OC，

BO=OD。(平行四邊形的

對(duì)角線互相平分.)ABCDO

平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)在中，ABCD例1（1）在ABCD中，AB＝a,BC=b,∠A＝50，則ABCD的周長(zhǎng)和其余各角的度數(shù)為多少？周長(zhǎng)是2a+2b,∠B=130°，∠C＝50°，∠D＝130°3性質(zhì)定理1:平行四邊形的對(duì)角相等.平行四邊形性質(zhì):1定義:平行四邊形的對(duì)邊平行.4性質(zhì)定理2:平行四邊形的對(duì)邊相等.:5性質(zhì)定理3:平行四邊形的對(duì)角線互相平分.:2在平行四邊形中相鄰的角互為補(bǔ)角.平行四邊形及其性質(zhì)的相關(guān)練習(xí)（2）在ABCD中：

①∠A：∠B＝5：4，則∠A＝________；②∠A＋∠C＝200°，

則∠A＝_________；

∠B＝_________；100°100°80°（3）已知平行四邊形周長(zhǎng)是54，兩鄰邊之比為4：5，則這兩邊長(zhǎng)度分別為_(kāi)________；12，15(4)已知ABCD對(duì)角線交點(diǎn)為O，AC＝24mm，BD＝26mm，若AD＝22mm，則△OBC周長(zhǎng)為_(kāi)_____；

②若AB⊥AC，則△OBC比△OAB的周長(zhǎng)大________；47mm17mm（5）在ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B=30°，

＝______；40cm2BC，AD上的點(diǎn)，AE∥CF。求證：（1）BE＝DF；（2）EF過(guò)BD的中點(diǎn)。例2已知：如圖，ABCD中，E，F(xiàn)分別為例3已知：如圖，A’B’∥BA，B’C’∥CB,C’A’∥AC。求證：（1）∠ABC＝∠B’，∠CAB＝∠A’，∠BCA＝∠C（2）△ABC的頂點(diǎn)

分別是△B’C’A’

各邊的中點(diǎn)。

例4已知：如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)。

求證：OE＝OF，

AE＝CF，

BE＝DF。推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。證題時(shí)可節(jié)省步驟，省掉判定平行四邊形這一步，直接得到夾在兩條平行線間的平行線段相等。ABl1l2CD∵l1∥l2,

AB∥CD∴AB=CD兩條平行線的距離:

兩條平行線中,一條直線上

任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.ABl1l2練習(xí)2如圖，判斷下列幾組圖形能否體現(xiàn)推論所代表的含義。

（a）（b）（c）（d）練習(xí)3在圖(d)中，（1）

點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離是線段__；（2）

點(diǎn)A到直線l2的距離是線段__的長(zhǎng)3）

兩條平行線l1與l2的距離是線段___或_____的長(zhǎng)；（4）

由推論可得：兩條平行線間的距離_________.ABl1l2C