高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步單元測試 2023版第1章章末分層突破

章末分層突破[自我校對]①簡單多面體②直觀圖③點(diǎn)與直線④直線與直線⑤確定平面⑥畫相交平面的交線⑦球的表面積和體積三視圖與直觀圖三視圖是從三個不同的方向看同一個物體而得到的三個視圖，從三視圖可以看出，俯視圖反映物體的長和寬，主視圖反映它的長和高，左視圖反映它的寬和高.某四棱錐的三視圖如圖1-1所示，該四棱錐最長棱的棱長為()【導(dǎo)學(xué)號：39292060】圖1-1 \r(2)\r(3) 【精彩點(diǎn)撥】通過三視圖得到幾何體的結(jié)構(gòu)，再利用三視圖中的數(shù)據(jù)求解.【規(guī)范解答】根據(jù)三視圖，可知幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是邊長為1的正方形，VB＝1.所以四棱錐中最長棱為VD.連接BD，易知BD＝eq\r(2)，在Rt△VBD中，VD＝eq\r(VB2＋BD2)＝eq\r(3).【答案】C[再練一題]1.一個幾何體的三視圖如圖1-2所示，其中左視圖與俯視圖均為半徑是2的圓，則這個幾何體的體積是________.圖1-2【解析】由三視圖知該幾何體是半徑為2的球被截去四分之一后剩下的幾何體，則該幾何體的體積V＝eq\f(4,3)×π×23×eq\f(3,4)＝8π.【答案】8π平行關(guān)系的判定和性質(zhì)1.線線平行、線面平行、面面平行之間的關(guān)系：2.證明線線平行的依據(jù)：(1)平面幾何法(常用的有三角形中位線定理、平行線分線段成比例的逆定理、平行四邊形的性質(zhì))；(2)公理4；(3)線面平行的性質(zhì)定理；(4)面面平行的性質(zhì)定理；(5)線面垂直的性質(zhì)定理.3.證明線面平行的依據(jù)：(1)定義；(2)線面平行的判定定理；(3)面面平行的性質(zhì)定理.4.證明面面平行的依據(jù)：(1)定義；(2)面面平行的判定定理；(3)線面垂直的性質(zhì)定理；(4)面面平行的傳遞性.如圖1-3所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn).圖1-3(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值.【精彩點(diǎn)撥】(1)先利用線面平行的性質(zhì)，分析出BC1∥平面AB1D1時，線線平行，得線段比，在解答時，可以利用已知eq\f(A1D1,D1C1)的比，利用線面平行判定求解.(2)利用面面平行得到線線平行，得對應(yīng)線段成比例，從而得到比值.【規(guī)范解答】(1)如圖所示，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時eq\f(A1D1,D1C1)＝1.連接A1B，交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn).在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)D1∥BC1.又因?yàn)镺D1平面AB1D1，BC1eq\o(?,\s\up0(/))平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，又由題可知eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.[再練一題]2.如圖1-4，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H為BC的中點(diǎn)，求證：FH∥平面EDB.【導(dǎo)學(xué)號：39292061】圖1-4【證明】連接AC交BD于點(diǎn)G，則G為AC的中點(diǎn).連接EG，GH，∵H為BC的中點(diǎn)，∴GHeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AB.又EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AB，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))GH，∴四邊形EFHG為平行四邊形，∴EG∥FH，∵EG平面EDB，F(xiàn)Heq\o(?,\s\up0(/))平面EDB，∴FH∥平面EDB.垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)1.線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的關(guān)系：2.兩條異面直線相互垂直的證明方法：(1)定義；(2)線面垂直的性質(zhì)定理.3.直線和平面垂直的證明方法：(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質(zhì)定理.4.平面和平面相互垂直的證明方法：(1)定義；(2)面面垂直的判定定理.如圖1-5，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證：圖1-5(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩點(diǎn)撥】(1)利用面面垂直性質(zhì)定理可得PA⊥底面ABCD；(2)可證BE∥AD，從而得BE∥平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理證明.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又因?yàn)锽Eeq\o(?,\s\up0(/))平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因?yàn)锳B⊥AD，而且ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.[再練一題]3.如圖1-6，△ABC是邊長為2的正三角形.若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.求證：圖1-6(1)AE∥平面BCD；(2)平面BDE⊥平面CDE.【證明】(1)取BC的中點(diǎn)M，連接DM，因?yàn)锽D＝CD，且BD⊥CD，BC＝2.所以DM＝1，DM⊥BC.又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因?yàn)锳Eeq\o(?,\s\up0(/))平面BCD，DM平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)已證AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四邊形DMAE是平行四邊形，所以DE∥AM.連接AM，易證AM⊥BC，因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD平面BCD，所以DE⊥CD.因?yàn)锽D⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因?yàn)镃D平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.幾何體表面的展開與折疊問題幾何體的表面積(除球以外)都是利用展開圖求得的.利用了空間問題平面化的思想，把一個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法，所以幾何體的折疊與展開是高考的一個熱點(diǎn).折疊與展開是互逆過程，在此過程中，要注意幾何元素之間數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是變化了，還是不變，這是解題的關(guān)鍵所在.如圖1-7(1)，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，E在BC上，且EF∥AB，已知AB＝AD＝CE＝2，現(xiàn)沿EF把四邊形CDFE折起如圖1-7(2)，使平面CDFE⊥平面ABEF.圖1-7(1)求證：AD∥平面BCE；(2)求證：AB⊥平面BCE；(3)求三棱錐C-ADE的體積.【精彩點(diǎn)撥】觀察折疊前后的平面圖形與立體圖形，弄清折疊前后哪些元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，哪些沒有發(fā)生變化，依據(jù)未變化的已知條件求解.【規(guī)范解答】(1)證明：由題意知，AF∥BE，DF∥CE，又∵AFeq\o(?,\s\up0(/))平面BCE，BE平面BCE，∴AF∥平面BCE.同理可證DF∥平面BCE.又∵AF∩DF＝F，∴平面ADF∥平面BCE.又AD平面ADF，∴AD∥平面BCE.(2)證明：在直角梯形ABCD中，∵EF⊥BC，∴折起后，EF⊥EC，EF⊥EB.又∵EF∥AB，∴AB⊥EC，AB⊥EB，EC∩EB＝E，∴AB⊥平面BCE.(3)∵平面CDFE⊥平面ABEF，EF⊥AF，∴AF⊥平面CDFE，∴AF為三棱錐A-CDE的高，且AF＝1.又∵AB＝CE＝2，∴S△CDE＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴VC-ADE＝VA-CDE＝eq\f(1,3)S△CDE·AF＝eq\f(2,3).[再練一題]4.如圖1-8所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，AC∩BD＝E，將其沿對角線BD折成直二面角.求證：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.【導(dǎo)學(xué)號：39292062】圖1-8【證明】(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝eq\r(3)a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折疊前四邊形ABCD是平行四邊形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又∵CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.函數(shù)與方程思想所謂函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系；所謂方程的思想，就是把函數(shù)解析式看成一個方程，將變量間的等量關(guān)系表達(dá)為方程或方程組，通過解方程或方程組，使問題得以解決.如圖1-9所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切.(1)求兩球半徑之和；(2)球的半徑為多少時，兩球體積之和最小？圖1-9【精彩點(diǎn)撥】此題的關(guān)鍵在于作截面，一個球在正方體內(nèi)，一般應(yīng)作對角面，而兩個球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖(2)的截面圖，在圖(2)中，觀察R與r和棱長間的關(guān)系即可.【規(guī)范解答】(1)如題圖(2)，球心O1和O2在AC上，過O1，O2分別作AD，BC的垂線交于E，F(xiàn).設(shè)⊙O1的半徑為r，⊙O2的半徑為R.則由AB＝1，AC＝eq\r(3)，得AO1＝eq\r(3)r，CO2＝eq\r(3)R.∴r＋R＋eq\r(3)(r＋R)＝eq\r(3)，∴R＋r＝eq\f(\r(3),\r(3)＋1)＝eq\f(3－\r(3),2).(2)設(shè)兩球體積之和為V，則V＝eq\f(4,3)π(R3＋r3)＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(3),2)[(R＋r)2－3rR]＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)))\s\up12(2)－3R\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)－R))))＝eq\f(4,3)π·eq\f(3－\r(3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3R2－\f(33－\r(3),2)R＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)))\s\up12(2))).當(dāng)R＝eq\f(3－\r(3),4)時，V有最小值，∴當(dāng)R＝r＝eq\f(3－\r(3),4)時，體積之和有最小值.[再練一題]5.已知一個圓錐的底面半徑為R，高為h，在圓錐內(nèi)部有一個高為x的內(nèi)接圓柱.(1)畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面；(2)求圓柱的側(cè)面積；(3)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？【解】(1)圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面如圖所示.(2)設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r，它的側(cè)面積S＝2πr·x，因?yàn)閑q\f(r,R)＝eq\f(h－x,h)，所以r＝R－eq\f(R,h)·x，所以S＝2πRx－eq\f(2πR,h)·x2，即圓柱的側(cè)面積S是關(guān)于x的二次函數(shù)，S＝－eq\f(2πR,h)x2＋2πRx.(3)因?yàn)镾的表達(dá)式中x2的系數(shù)小于0，所以這個二次函數(shù)有最大值，這時圓柱的高x＝－eq\f(2πR,－2·\f(2πR,h))＝eq\f(h,2)，即當(dāng)圓柱的高是已知圓錐的高的一半時，它的側(cè)面積最大.1.若空間中n個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A.至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于5【解析】n＝2時，可以；n＝3時，為正三角形，可以；n＝4時，為正四面體，可以；n＝5時，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對角線長與邊長相等，不可能.【答案】B2.如圖1-10，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是()圖1-10π ππ π【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的eq\f(1,4)，得到的幾何體如圖.設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3－eq\f(1,8)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(28,3)π，解得R＝2.因此它的表面積為eq\f(7,8)×4πR2＋eq\f(3,4)πR2＝17π.故選A.【答案】A3.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面.下列說法正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥αD.若m∥α，m⊥n，則n⊥α【解析】A選項(xiàng)m、n也可以相交或異面，C選項(xiàng)也可以n?α，D選項(xiàng)也可以n∥α或n與α相交.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選B.【答案】B4.某工件的三視圖如圖1-11所示.現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)，則原工件材料的利用率為()eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(材料利用率＝\f(新工件的體積,原工件的體積)))圖1-11\f(8,9π) \f(8,27π)\f(24\r(2)－13,π) \f(8\r(2)－13,π)【解析】由三視圖知原工件為一圓錐，底面半徑為1，母線長為3，則高為eq\r(32－12)＝2eq\r(2)，設(shè)其內(nèi)接正方體的棱長為x，則eq\f(\r(2)x,2)＝eq\f(2\r(2)－x,2\r(2))，∴x＝eq\f(2\r(2),3).∴V新工件＝x3＝eq\f(16\r(2),27).又V原工件＝eq\f(1,3)π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3)，∴eq\f(V新工件,V原工件)＝eq\f(\f(16