高中數(shù)學人教A版1第一章常用邏輯用語命題及其關(guān)系 階段質(zhì)量評估

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．10種 B．20種C．25種 D．32種解析：5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有25＝32種，故選D.答案：D2．甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有()A．36種 B．48種C．96種 D．192種解析：不同的選修方案共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)＝96種．故選C.答案：C3．已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：(1＋x)5中的Ceq\o\al(2,5)x2項與Ceq\o\al(1,5)x項分別與(1＋ax)中的常數(shù)項1與一次項ax的乘積之和為展開式中含x2的項，即Ceq\o\al(2,5)x2＋Ceq\o\al(1,5)x·ax＝5x2，∴a＝－1.故選D.答案：D4．從編號1，2，3，…，10，11的11個球中，取出5個球，使這5個球的編號之和為奇數(shù)，其取法種數(shù)為()A．236 B．328C．462 D．2640解析：分三類.第一類，取5個編號為奇數(shù)的小球，共有Ceq\o\al(5,6)=6種取法；第二類，取3個編號為奇數(shù)的小球，再取2個編號為偶數(shù)的小球，共有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)=200種取法；第三類，取1個編號為奇數(shù)的小球，再取4個編號為偶數(shù)的小球，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(4,5)=30種取法；根據(jù)分類加法記數(shù)原理，所以共有6+200+30=236種取法.答案：A5．張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種解析：第一步，將兩位爸爸排在兩端有2種排法；第二步，將兩個小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個位置上有2Aeq\o\al(3,3)種排法，故總的排法有2×2×Aeq\o\al(3,3)＝24種，故選B.答案：B6．由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成無重復(fù)數(shù)字且奇偶數(shù)字相間的六位數(shù)的個數(shù)有()A．72種 B．60種C．48種 D．52種解析：只考慮奇偶相間，則有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)種不同的排法，其中，在首位的有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種不符合題意，所以共有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝60種．故選B.答案：B7．已知3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)，則x等于()A．6 B．13C．6或13 D．12解析：由排列數(shù)公式可將原方程化為eq\f(3×8！,8－x！)＝eq\f(4×9！,10－x！)，化簡可得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13.又因為x≤8且x－1≤9，則x≤8且x∈N*，故x＝6.答案：A8．如圖，要給①，②，③，④四塊區(qū)域分別涂上五種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．320 B．160C．96 D．60解析：不同的涂色方法種數(shù)為5×4×4×4＝320種．答案：A9．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則A．5 B．6C．7 D．8解析：由二項式系數(shù)的性質(zhì)知：二項式(x＋y)2m的展開式中二項式系數(shù)最大有一項Ceq\o\al(m,2m)＝a，二項式(x＋y)2m＋1Ceq\o\al(m,2m＋1)＝Ceq\o\al(m＋1,2m＋1)＝b，因此13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，∴13·eq\f(2m！,m！m！)＝eq\f(7·2m＋1！,m！m＋1！)，即13＝eq\f(72m＋1,m＋1)，∴m＝6.故選B.答案：B10．2023年世界杯參賽球隊共32支，現(xiàn)分成8個小組進行單循環(huán)賽，決出16強(各組的前2名小組出線)，這16個隊按照確定的程序進行淘汰賽，決出8強，再決出4強，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進行的總場數(shù)為()A．64 B．72C．60 D．56解析：先進行單循環(huán)賽，有8Ceq\o\al(2,4)＝48場，再進行第一輪淘汰賽，16個隊打8場，再決出4強，打4場，再分2組打2場決出勝負，兩勝者打1場決出冠、亞軍，兩負者打1場決出三、四名，共舉行：48＋8＋4＋2＋1＋1＝64場．故選A.答案：A11．(2023·襄陽市高二調(diào)研)對于二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，4位同學做出了4種判斷：①存在n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項；②對任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項；③對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項；④存在n∈N*，使展開式中有x的一次項．上述判斷中正確的是()A．①與③ B．②與③C．②與④ D．①與④解析：二項式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))n－r·(x3)r＝Ceq\o\al(r,n)x4r－n,0≤r≤n，r∈N，n∈N*.若展開式中存在常數(shù)項，則4r－n＝0，顯然若n為4的倍數(shù)則展開式中有常數(shù)項，若n不是4的倍數(shù)，則展開式中沒有常數(shù)項，故①正確②錯誤．若展開式中存在一次項，則有4r－n＝1，r＝eq\f(n＋1,4)，若n＝4k＋3(k∈N)，則r∈N*即此時展開式中有一次項，否則沒有一次項，故③錯誤，④正確，故選D.答案：D\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))n展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是()A．180 B．90C．45 D．360解析：只有第六項二項式系數(shù)最大，則n＝10，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r(x))10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))r＝2rCeq\o\al(r,10)x5－eq\f(5,2)r，令5－eq\f(5,2)r＝0，得r＝2，∴T3＝4Ceq\o\al(2,10)＝180.故選A.答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確答案填在題中橫線上)13．紹興臭豆腐聞名全國，一外地學者來紹興旅游，買了兩串臭豆腐，每串3顆(如圖)．規(guī)定：每串臭豆腐只能自左向右一顆一顆地吃，且兩串可以自由交替吃．請問：該學者將這兩串臭豆腐吃完，有________種不同的吃法．(用數(shù)字作答)解析：如圖所示，先吃A的情況，共有10種，如果先吃D情況相同，共有20種．答案：2014．某乒乓球隊有9名隊員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在挑選5名隊員參加比賽，種子選手都必須在內(nèi)，那么不同的選法共有________．解析：不同的選法共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35(種)．答案：35種15．二項式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)解析：(x＋y)5的展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－ryr，令r＝3，得含x2y3的項的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)＝10.答案：1016．在(x－eq\r(2))2008的二項展開式中，含x的奇次冪的項之和為S，當x＝eq\r(2)時S＝________.解析：設(shè)(x－eq\r(2))2023＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2008x2008當x＝eq\r(2)時，有a0＋a1·eq\r(2)＋a2·(eq\r(2))2＋…＋a2008·(eq\r(2))2008＝0①當x＝－eq\r(2)時，有a0－a1·eq\r(2)＋a2·(eq\r(2))2－…－a2007(eq\r(2))2007＋a2008(eq\r(2))2008＝(2eq\r(2))2008②①－②得2[a1·eq\r(2)＋a3·(eq\r(2))3＋a5·(eq\r(2))5＋…＋a2007(eq\r(2))2007]＝－23012，∴x＝eq\r(2)時，S＝a1·eq\r(2)＋a3·(eq\r(2))3＋…＋a2007·(eq\r(2))2007＝－23011.答案：－23011三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)某單位職工義務(wù)獻血，在體檢合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人．(1)從中任選1人去獻血，有多少種不同的選法？(2)從四種血型的人中各選1人去獻血，有多少種不同的選法？解析：從O型血的人中選1人有28種不同的選法，從A型血的人中選1人有7種不同的選法，從B型血的人中選1人有9種不同的選法，從AB型血的人中選1人有3種不同的選法．(1)任選1人去獻血，即無論選哪種血型的哪一個人，這件“任選1人去獻血”的事情都能完成，所以由分類加法計數(shù)原理知，共有28＋7＋9＋3＝47種不同的選法．(2)要從四種血型的人中各選1人，即要在每種血型的人中依次選出1人后，這件“各選1人去獻血”的事情才完成，所以由分步乘法計數(shù)原理知，共有28×7×9×3＝5292種不同的選法．18．(本小題滿分12分)有6個球，其中3個一樣的黑球，紅、白、藍球各1個，現(xiàn)從中取出4個球排成一列，共有多少種不同的排法？解析：分三類：(1)若取1個黑球，和另三個球，排4個位置，有Aeq\o\al(4,4)＝24種；(2)若取2個黑球，從另三個球中選2個排4個位置，2個黑球是相同的，自動進入，不需要排列，即有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36種；(3)若取3個黑球，從另三個球中選1個排4個位置，3個黑球是相同的，自動進入，不需要排列，即有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)＝12種；綜上，共有24＋36＋12＝72種不同的排法．19．(本小題滿分12分)解方程：(1)Ceq\o\al(x＋1,13)＝Ceq\o\al(2x－3,13)；(2)Ceq\o\al(x－2,x＋1)＋Ceq\o\al(x－3,x＋2)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3).解析：(1)由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，∴x＝4或x＝5，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＋1≤13,0≤2x－3≤13,x∈N*))得2≤x≤8且x∈N*，∴原方程的解為x＝4或x＝5.(注：上述求解過程中的不等式組可以不解，直接把x＝4或x＝5代入檢驗，這樣運算量小得多)(2)原方程可化為Ceq\o\al(x－2,x＋3)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3)，即Ceq\o\al(5,x＋3)＝eq\f(1,10)Aeq\o\al(3,x＋3)，∴eq\f(x＋3！,5！x－2！)＝eq\f(x＋3！,10·x！)，∴eq\f(1,120x－2！)＝eq\f(1,10·xx－1·x－2！).∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3(舍去)，經(jīng)檢驗，x＝4是原方程的解．20．(本小題滿分12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))n的展開式的各項系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(3,b)－\f(1,\r(5b))))5展開式中的常數(shù)項，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))n展開式中含a－1的項的二項式系數(shù)．解析：設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(3,b)－\f(1,\r(5b))))5的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(4eq\r(3,b))5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(5b))))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(5))))r·45－rCeq\o\al(r,5)·beq\f(10－5r,6)(r＝0,1,2,3,4,5)．若它為常數(shù)項，則eq\f(10－5r,6)＝0，∴r＝2，代入上式，∴T3＝27.即常數(shù)項是27，從而可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))n中n＝7，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))7二項展開式的通項公式知，含a－1的項是第4項，其二項式系數(shù)是35.21．(本小題滿分13分)三個女生和五個男生排成一排．(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？(5)甲必須在乙的右邊，可有多少種不同的排法？解析：(1)因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起共有六個元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)種不同排法．對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有Aeq\o\al(3,3)種不同的排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(3,3)＝4320種不同的排法．(2)要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空位，這樣共有四個空位，加上兩端兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰．由于五個男生排成一排有Aeq\o\al(5,5)種不同的排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓三個女生插入都有Aeq\o\al(3,6)種方法，因此共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,6)＝14400種不同的排法．(3)方法一：因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選五個男生中的兩個，有Aeq\o\al(2,5)種排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有Aeq\o\al(6,6)種排法，所以共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400種不同的排法．方法二：三個女生和五個男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)種不同的排法，從中去掉女生排在首位的Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(7,7)種排法和女生排在末位的Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(7,7)種排法，但這樣兩端都是女生的排法在去掉女生排在首位的情況時被去掉一次，在去掉女生在末位的情況時又被去掉一次，所以還需加上一次，由于兩端都是女生有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(6,6)＝14400種不同的排法．(4)方法一：因為只要求兩端不能都排女生，所以如果首位排了男生，則末位就不再受條件限制了，這樣可有Aeq\o\al(1,5)A