高中數(shù)學蘇教版第1章集合交集并集 蘇教版 交集并集 教案

考察集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,7}．問題1：這兩個集合有相同的元素嗎？由它們的公共元素組成的集合是什么？提示：有相同元素3,4,5，它們組成的集合是{3,4,5}．問題2：集合M＝{x|x是等腰三角形}和集合N＝{x|x是直角三角形}的公共元素組成的集合是什么？提示：{x|x是等腰直角三角形}．問題3：集合C＝{x|x>3}與集合D＝{x|x<0}的公共元素組成的集合是什么？提示：沒有公共元素，對應集合為?.交集定義一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集．符號表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}Venn圖表示如圖中陰影部分表示：在知識點一所提到的集合中．問題1：由集合A與B的所有元素組成的集合P是什么？提示：P＝{1,2,3,4,5,6,7}．問題2：由集合M與N的所有元素組成的集合Q是什么？提示：Q＝{x|x是等腰三角形或直角三角形}．問題3：由集合C與D的所有元素組成的集合R是什么？提示：{x|x>3或x<0}．并集定義一般地，由所有屬于集合A或者屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的并集符號表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}Venn圖表示如圖中陰影部分表示：設a，b∈R，且a<b名稱定義符號數(shù)軸表示閉區(qū)間{x|a≤x≤b}[a，b]半開半閉區(qū)間{x|a≤x<b}[a，b){x|a<x≤b}(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]開區(qū)間{x|a<x<b}(a，b){x|x>a}(a，＋∞){x|x<b}(－∞，b)R(－∞，＋∞)1．并集的理解“A∪B”是所有屬于A或?qū)儆贐的元素并在一起構(gòu)成的集合，所以要求“A∪B”：(1)只需把集合A、B的元素合在一起；(2)使A、B的公共元素在并集中只出現(xiàn)一次即可．2．交集的理解(1)A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素；(2)A與B的所有公共元素都屬于A∩B；(3)當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.[例1](1)(江蘇高考)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，則A∪B＝________.(2)(浙江高考改編)設集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，則A∩(?RB)＝________.[思路點撥](1)利用集合的并集定義求解；(2)可以先按集合的補集定義求出?RB，再求交集．[精解詳析](1)因為A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，所以A∪B＝{1,2,4,6}；(2)因為B＝{x|－1≤x≤3}．所以?RB＝{x|x<－1，或x>3}．作出數(shù)軸表示集合A和?RB，如圖所示．由圖可知A∩?RB＝{x|3<x<4}．[答案](1){1,2,4,6}(2){x|3<x<4}1．(四川高考改編)設集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，則A∩B＝________.解析：根據(jù)題意，集合A＝{－2}，集合B＝{2，－2}，所以A∩B＝{－2}．答案：{－2}2．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．解：如圖，∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，?UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}．∴A∩B＝{x|－2<x≤2}，(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(?UB)＝{x|2<x<3}.[例2](1)已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．(2)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∩B＝?，求a的取值范圍．[思路點撥](1)先由A∩B＝{9}知9∈A.再由2a－1＝9或a2＝9得a驗證．(2)借助于數(shù)軸分析求解．[精解詳析](1)∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.當a＝5時，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}．此時A∩B＝{－4,9}≠{9}．故a＝5舍去．當a＝3時，B＝{－2，－2,9}，不符合要求，舍去．經(jīng)檢驗可知a＝－3符合題意．(2)①若A＝?，有A∩B＝?，此時2a>a＋3，∴a>3.②若A≠?，由A∩B＝?，得如圖：∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1,a＋3≤5,2a≤a＋3))，解得－eq\f(1,2)≤a≤2.綜上所述，a的取值范圍是[－eq\f(1,a)，2]∪(3，＋∞)[一點通]解決這種題型應抓住解題的突破口．當用集合列舉法表示有限集時，應將運算結(jié)果利用交集、并集的定義轉(zhuǎn)化為元素與集合的關(guān)系，從而構(gòu)造方程或方程組求解．但要注意分類討論思想．當集合為描述法表示的不等式數(shù)集時，應利用好數(shù)軸這把工具，轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組求解，但當出現(xiàn)交集為空集的情形時，應首先討論集合中有沒有空集．這時，不等式的端點值往往是極佳的切入點．3．集合P＝{1,3，m}，Q＝{m2,1}，且P∪Q＝{1,3，m}，則實數(shù)m的值為________．解析：∵P∪Q＝{1,3，m}＝P.∴m2＝3或m2＝m.當m2＝3時，m＝±eq\r(3)這時P＝{1,3，eq\r(3)}或{1,3，－eq\r(3)}均符合題意．當m2＝m時，m＝0或1.若m＝0，則P＝{1,3,0}符合題意．若m＝1，則P＝{1,3,1}則與互異性矛盾．綜上可知，實數(shù)m的值為0，±eq\r(3).答案：0，±eq\r(3)4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}且B≠?，若A∪B＝A則m的取值范圍是________．解析：∵B≠?，∴m＋1<2m－1，即m>2.又∵A∪B＝A，∴B?A.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≤7，,m＋1≥－2，))解得－3≤m≤4，綜上得，2<m≤4.答案：(2,4]5．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0，m∈R}，當A∩B＝B時，求m的取值范圍．解：由題知，B＝{x|x<－eq\f(m,4)，m∈R}，因為A∩B＝B，所以A?B，所以由數(shù)軸(如圖)可得－eq\f(m,4)≤－2，所以m≥8，即m的取值范圍是[8，＋∞).[例3]向50名學生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人．問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？[思路點撥]把贊成A和贊成B的人分成兩個集合，利用集合的交、并運算解決．[精解詳析]贊成A的人數(shù)為50×eq\f(3,5)＝30，贊成B的人數(shù)為30＋3＝33，如圖．記50名學生組成的集合為U，贊成A的學生全體為集合A，贊成B的學生全體為集合B.設對A、B都贊成的學生人數(shù)為x，則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為eq\f(x,3)＋1，贊成A而不贊成B的人數(shù)為30－x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33－x.依題意(30－x)＋(33－x)＋x＋(eq\f(x,3)＋1)＝50，解得x＝21.所以對A、B都贊成的學生有21人，都不贊成的有8人．[一點通]集合命題中的實際應用問題主要是涉及集合中元素個數(shù)問題，先對實際問題進行分析，抽象建立集合模型，轉(zhuǎn)化為集合問題，運用集合知識進行求解，然后將數(shù)學問題翻譯成實際問題的解進行檢驗，從而使問題得以解決，其中用Venn圖進行分析，往往可將問題直觀化、形象化，使問題簡捷、準確地獲解．6．某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為________．解析：將文字語言翻譯成數(shù)學語言，借助于Venn圖解決問題．設兩項運動都喜愛的人數(shù)為x人．畫出Venn圖(如右圖)，得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30，解得x＝3.即喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為15－3＝12.答案：127．在開秋季運動會時，某班共有28名同學參加比賽，其中有15人參加徑賽，有8人參加田賽，有14人參加球類比賽，同時參加田賽和徑賽的有3人，同時參加徑賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田賽和球類比賽的有多少人？只參加徑賽的同學有多少人？解：設參加徑賽的為集合A，參加田賽的為集合B，參加球類比賽的為集合C，同時參加田賽和球類比賽的人數(shù)為x，根據(jù)題意畫出Venn圖，如圖所示．由題意得9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28，解得x＝3.即同時參加田賽和球類比賽的共有3人，只參加徑賽的人為9人．1．交集的相關(guān)性質(zhì)(1)A∩A＝A，即一個集合與其本身的交集是其本身．(2)A∩?＝?，即一個集合與空集的交集是空集．(3)A∩B＝B∩A，即兩個集合的交集滿足交換律．(4)A∩B?A，A∩B?B，即兩個集合的交集是其中任一集合的子集．(5)A∩B＝A?A?B，A∩B＝B?B?A.2．并集的相關(guān)性質(zhì)(1)A∪A＝A，即一個集合與其本身的并集是其本身．(2)A∪?＝A，即一個集合與空集的并集是其本身．(3)A∪B＝B∪A，即兩個集合的并集滿足交換律(由并集的定義可得)．(4)A?A∪B，B?A∪B，即一個集合是其與任一集合并集的子集．(5)A∪B＝A?B?A，A∪B＝B?A?B.(6)A∩B?(A∪B)．課時達標訓練（四）一、填空題1．(江蘇高考)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，則A∩B＝________.解析：由題意得A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}．2．(浙江高考改編)設集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則S∩T＝________.解析：根據(jù)集合的交集的定義，結(jié)合數(shù)軸可得：S∩T＝{x|－2<x≤1}．答案：{x|－2<x≤1}3．(新課標卷Ⅰ改編)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，則A∩B＝________.解析：因為A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，所以B＝{1,4,9,16}，則A∩B＝{1,4}．答案：{1,4}4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x>4}，那么集合A∩(?UB)等于________．解析：由題意可得，?UB＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(?UB)＝{x|－1≤x≤3}．答案：{x|－1≤x≤3}5．設集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，則k的取值范圍是________．解析：因為N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－eq\f(k,2)}，且M∩N≠?，所以－eq\f(k,2)≥－3?k≤6.答案：(－∞，6]6．(山東高考改編)已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩?UB＝________.解析：由U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中一定有元素3，沒有元素4，所以A∩?UB＝{3}．答案：{3}二、解答題7．已知x∈R，集合A＝{－3，x2，x＋1}，B＝{x－3,2x－1，x2＋1}，如果A∩B＝{－3}，求A∪B.解：∵A∩B＝{－3}，∴x－3＝－3或2x－1＝－3或x2＋1＝－3.①x－3＝－3時，x＝0.這時A＝{－3,0,1}，B＝{－3，－1,1}，∴A∩B＝{－3,1}，與題意不符合．②當2x－1＝－3時，x＝－1.這時A＝{－3,1,0}，B＝{－4，－3,2}，與題意相符，且A∪B＝{0,1,2，－3，－4}．③當x2＋1＝－3時無解．故A∪B＝{0,1,2，－3，－4}．8．設A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{eq\f(1,2)}，求A∪B.解：∵A∩B＝{eq\f(1,2)}，∴eq\f(1,2)∈A且eq\f(1,2)∈B，∴eq\f(1,2)是方程2x2－px＋q＝0與6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0的根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)p＋q＝0，,\f(3,2)＋p＋2×\f(1,2)＋5＋q＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝－4，,p＝－7.))∴A＝{－4，eq\f(1,2)}，B＝{eq\f(1,2)，eq\f(1,3)}．∴A∪B＝{－4，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)}．9．設集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求a，b，c的值．解：因為A∩B＝{－3}，所以－3∈A，且－3∈B，將x＝－3代入方程x2＋ax－12＝0中，得a＝－1，從而A＝{－3，4}．又A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，A≠B，所以B＝{－3}．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＋－3＝－b，,－3×－3＝c，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝9.))故a＝－1，b＝6，c＝9.一、集合的含義與表示集合的含義一般地，把研究的確定對象稱為元素，把一些元素的總體稱作集合元素的特征①確定性；②互異性；③無序性元素與集合若a屬于集合A記作a∈A；若a不屬于集合A，記作a?A.特殊的數(shù)集自然數(shù)集—N