高中數(shù)學人教A版第三章概率 學業(yè)分層測評18

學業(yè)分層測評(十八)古典概型(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．下列試驗中，屬于古典概型的是()A．種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為250mm±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測量其直徑C．拋一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶【解析】依據(jù)古典概型的特點判斷，只有C項滿足：①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同．【答案】C2．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()\f(2,3) B．eq\f(1,2)\f(1,3) D．eq\f(1,6)【解析】從A，B中各任取一個數(shù)有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6種情況，其中兩個數(shù)之和為4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).故選C.【答案】C3．四條線段的長度分別是1，3，5，7，從這四條線段中任取三條，則所取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率是()\f(1,4) B．eq\f(1,3)\f(1,2) D．eq\f(2,5)【解析】從四條長度各異的線段中任取一條，每條被取出的可能性均相等，所以該問題屬于古典概型．又所有基本事件包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四種，而能構(gòu)成三角形的基本事件只有(3，5，7)一種，所以所取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率是P＝eq\f(1,4).【答案】A4．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一個元素，則該元素是集合A∩B中的元素的概率為()\f(2,3) B．eq\f(3,5)\f(3,7) D．eq\f(2,5)【解析】A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq\f(3,7).【答案】C5．把一枚骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b，則方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一個解的概率為()\f(5,12) B．eq\f(11,12)\f(5,13) D．eq\f(9,13)【解析】點(a，b)取值的集合共有36個元素．方程組只有一個解等價于直線ax＋by＝3與x＋2y＝2相交，即eq\f(a,1)≠eq\f(b,2)，即b≠2a，而滿足b＝2a的點只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3個，故方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝3，,x＋2y＝2))只有一個解的概率為eq\f(33,36)＝eq\f(11,12).【答案】B二、填空題6．(2023·石家莊高一檢測)一只螞蟻在如圖3-2-1所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為________．圖3-2-1【解析】該樹枝的樹梢有6處，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)7．在平面直角坐標系中，從五個點：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，2)，E(2，2)中任取三個，這三點能構(gòu)成三角形的概率是________(結(jié)果用分數(shù)表示)．【解析】從五個點中任取三個點，構(gòu)成基本事件的總數(shù)為n＝10；而A，C，E三點共線，B，C，D三點共線，所以這五個點可構(gòu)成三角形的個數(shù)為10－2＝8.設(shè)“從五個點中任取三個點，這三點能構(gòu)成三角形”為事件A，則A所包含的基本事件數(shù)為m＝8，故由古典概型概率的計算公式得所求概率為P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)8．現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度(單位：m)分別為，，，，.若從中一次抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3m的概率為________.【導(dǎo)學號：28750058【解析】基本事件共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，10種情況．相差m的共有，，，兩種情況，所以P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).【答案】eq\f(1,5)三、解答題9．某商場舉行購物抽獎促銷活動，規(guī)定每位顧客從裝有編號為0，1，2，3四個相同小球的抽獎箱中，每次取出一球，記下編號后放回，連續(xù)取兩次，若取出的兩個小球號碼相加之和等于6，則中一等獎，等于5中二等獎，等于4或3中三等獎．(1)求中三等獎的概率；(2)求中獎的概率．【解】設(shè)“中三等獎”為事件A，“中獎”為事件B，從四個小球中有放回地取兩個有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16種不同的結(jié)果．(1)取出的兩個小球號碼相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7種結(jié)果，則中三等獎的概率為P(A)＝eq\f(7,16).(2)由(1)知兩個小球號碼相加之和等于3或4的取法有7種；兩個小球號碼相加之和等于5的取法有2種：(2，3)，(3，2)．兩個小球號碼相加之和等于6的取法有1種：(3，3)．則中獎概率為P(B)＝eq\f(7＋2＋1,16)＝eq\f(5,8).10．(2023·長沙聯(lián)考)某停車場臨時停車按時段收費，收費標準如下：每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元，超過1小時的部分每小時收費8元(不足1小時按1小時計算)．現(xiàn)有甲、乙兩人在該地停車，兩人停車都不超過4小時．(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為eq\f(1,3)，停車費多于14元的概率為eq\f(5,12)，求甲的停車費為6元的概率；(2)若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同，求甲、乙兩人停車費之和為28元的概率．【解】(1)設(shè)“一次停車不超過1小時”為事件A，“一次停車1到2小時”為事件B，“一次停車2到3小時”為事件C，“一次停車3到4小時”為事件D.由已知得P(B)＝eq\f(1,3)，P(C＋D)＝eq\f(5,12).又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)－eq\f(5,12)＝eq\f(1,4).所以甲的停車費為6元的概率為eq\f(1,4).(2)易知甲、乙停車時間的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16個；而“停車費之和為28元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3個，所以所求概率為eq\f(3,16).[能力提升]1．從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是()\f(4,9) B．eq\f(1,3)\f(2,9) D．eq\f(1,9)【解析】個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個位數(shù)與十位數(shù)中必有一個奇數(shù)一個偶數(shù)，所以可以分兩類：(1)當個位為奇數(shù)時，有5×4＝20(個)，符合條件的兩位數(shù)．(2)當個位為偶數(shù)時，有5×5＝25(個)，符合條件的兩位數(shù)．因此共有20＋25＝45(個)符合條件的兩位數(shù)，其中個位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個，所以所求概率為P＝eq\f(5,45)＝eq\f(1,9).【答案】D2．(2023·廣東高考)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品，現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()A． B．C． D．1【解析】記3件合格品為a1，a2，a3，2件次品為b1，b2，則任取2件構(gòu)成的基本事件空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10個元素．記“恰有1件次品”為事件A，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6個元素．故其概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝.【答案】B3．(2023·南陽高一檢測)若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m，n作為點P的坐標，則點P落在圓x2＋y2＝16上或其內(nèi)部的概率是________．【解析】連續(xù)擲兩次骰子，得到點數(shù)m，n記作P(m，n)，共有36種情況，其中點P(m，n)落在圓x2＋y2＝16上或其內(nèi)部的情況有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8種情況，所以P＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).【答案】eq\f(2,9)4．(2023·山東高考)某中學調(diào)查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(1)從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加上述一個社團的概率；(2)在既參加書法社團又參加演講 社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．【解】(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人，故至少參加上述一個社團的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機選1名同學，該同學至少參加上述一個社團的概率為P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{A1，B1