高中數(shù)學(xué)人教A版2第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入單元測(cè)試 全國(guó)一等獎(jiǎng)

3．1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念3．復(fù)數(shù)的幾何意義1．理解復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸等概念．2．理解并掌握復(fù)數(shù)的幾何意義，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．3．理解并會(huì)求復(fù)數(shù)的模，了解復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)絕對(duì)值之間的區(qū)別和聯(lián)系．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1．復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可用點(diǎn)Z(a，b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)．對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0，0),它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0表示是實(shí)數(shù)．故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．想一想：實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)嗎？解析：對(duì)，原點(diǎn)既在實(shí)軸上，又在虛軸上，但虛軸上的點(diǎn)，除了原點(diǎn)，都表示純虛數(shù)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義想一想：復(fù)數(shù)z＝1－2i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第__________象限．解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝1－2i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是Z(1，－2)，所以復(fù)數(shù)z＝1－2i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．答案：43．復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|且|z|＝eq\r(a2＋b2)．想一想：已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)的模|z|＝1，則復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的的軌跡是________．解析：因?yàn)閨z|＝1，即eq\r(x2＋y2)＝1，所以x2＋y2＝1，所以復(fù)數(shù)z的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．答案：以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓eq\x(自)eq\x(測(cè))eq\x(自)eq\x(評(píng))1．向量a＝(1，－2)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(B)A．z＝1＋2iB．z＝1－2iC．z＝－1＋2iD．z＝－2＋i解析：∵a＝(1，－2)，∴復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(1，－2)，∴a對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z＝1－2i.2．已知復(fù)數(shù)z＝a＋eq\r(3)i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z等于(A)A．－1＋eq\r(3)iB．1＋eq\r(3)iC．－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)iD．－2＋eq\r(3)i解析：因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，eq\r(a2＋（\r(3)）2)＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋eq\r(3)i.3．兩個(gè)不相等的復(fù)數(shù)z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1與z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則a，b，c，d之間的關(guān)系為(A)A．a(chǎn)＝－c，b＝dB．a(chǎn)＝－c，b＝－dC．a(chǎn)＝c，b＝－dD．a(chǎn)≠0，b≠d解析：z1＝a＋bi的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1(a，b)，z2＝c＋di的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P2(c，d)，因?yàn)镻1與P2關(guān)于y軸對(duì)稱，所以a＝－c，b＝d.故選A.eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1．過原點(diǎn)和eq\r(3)－i對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線的傾斜角是(D)\f(π,6)B．－eq\f(π,6)\f(2π,3)\f(5π,6)解析：∵eq\r(3)－i在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是(eq\r(3)，－1)，∴tanα＝eq\f(－1－0,\r(3)－0)＝－eq\f(\r(3),3)(0≤α<π)，∴α＝eq\f(5,6)π.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(C)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，所以A(6，5)，B(－2，3)，又C為線段AB的中點(diǎn)，所以C(2，4)，所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋4i.3．當(dāng)eq\f(2,3)<m<1時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：∵eq\f(2,3)<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴點(diǎn)(3m－2，m－1)在第四象限．4．若復(fù)數(shù)3－5i，1－i和－2＋ai在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，則實(shí)數(shù)a＝5．eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．實(shí)部為5，模與復(fù)數(shù)4－3i的模相等的復(fù)數(shù)有(A)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：設(shè)z＝5＋bi(b∈R)，則|z|＝eq\r(25＋b2)，又|4－3i|＝eq\r(42＋（－3）2)＝5，∴eq\r(25＋b2)＝5，∴b＝0，故選A.6．設(shè)復(fù)數(shù)z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，則以下結(jié)論中正確的是(C)A．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B．復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方D．復(fù)數(shù)z一定是實(shí)數(shù)解析：∵z的虛部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒為正，∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方，且z一定是虛數(shù)，排除D.又z的實(shí)部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可為正、為零、為負(fù)，∴選項(xiàng)A、B不正確．7．已知復(fù)數(shù)z＝x＋2＋(y－1)i的模為2eq\r(3)，則點(diǎn)(x，y)的軌跡方程(x，y∈R)是__________．解析：由題意可得|z|＝2eq\r(3)，即eq\r(（x＋2）2＋（y－1）2)＝2eq\r(3)，化簡(jiǎn)得(x＋2)2＋(y－1)2＝12，所以點(diǎn)(x，y)的軌跡方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝12.答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝128．復(fù)數(shù)z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模為________．解析：|z|＝eq\r(（1＋cosα）2＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(4cos2\f(α,2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))).∵π<α<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<π，coseq\f(α,2)<0，∴|z|＝－coseq\f(α,2).答案：－coseq\f(α,2)9．實(shí)數(shù)m分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)(1)在x軸上方？(2)在直線x＋y＋5＝0上？解析：(1)由題意得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.(2)由題意得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m解得m＝eq\f(－3±\r(41),4).10