高中數(shù)學(xué)北師大版第二章函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 第2章_第1頁
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第二章§3A級基礎(chǔ)鞏固1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,2)上是增加的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814320)(B)A.y=3-x B.y=x2+1C.y=eq\f(1,x) D.y=-|x|[解析]A,C,D在(0,+∞)上都是減少的,只有y=x2+1是在(0,2)上增加的.2.若函數(shù)y=5x2+mx+4在區(qū)間(-∞,-1]上是減少的,在區(qū)間[-1,+∞)上是增加的,則m=eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814321)(C)A.2 B.-2C.10 D.-10[解析]函數(shù)y=5x2+mx+4的圖像為開口向上對稱軸是x=-eq\f(m,10)的拋物線,要使函數(shù)y=5x2+mx+4在區(qū)間(-∞,-1]上是減少的,在區(qū)間[-1,+∞)上是增加的,則-eq\f(m,10)=-1,∴m=10.3.函數(shù)y=(k+2)x+1在(-∞,+∞)上是增函數(shù),則k的范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814322)(D)A.{k|k≥-2} B.{k|k≤-2}C.{k|k<-2} D.{k|k>-2}[解析]由題意結(jié)合一次函數(shù)的圖像可知k+2>0,即k>-2.4.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a,b),且對其內(nèi)任意實(shí)數(shù)x1,x2均有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0,則f(x)在(a,b)上是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814323)(B)A.增加的 B.減少的C.不增不減 D.既增又減[解析]∵(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1-x2<0,,fx1-fx2>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1-x2>0,,fx1-fx2<0.))即當(dāng)x1<x2時,f(x1)>f(x2)或當(dāng)x1>x2時,f(x1)<f(x2).不論哪種情況,都說明f(x)在(a,b)上是減少的.5.函數(shù)f(x)=2-eq\f(3,x)在區(qū)間[1,3]上的最大值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814324)(D)A.2 B.3C.-1 D.1[解析]容易判斷f(x)在區(qū)間[1,3]上是增加的,所以在區(qū)間[1,3]上的最大值是f(3)=1.6.函數(shù)f(x)=2x2-3|x|的遞減區(qū)間是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814325)(D)A.[eq\f(3,4),+∞)B.(-∞,-eq\f(3,4)]C.[-eq\f(3,4),0]和[eq\f(3,4),+∞)D.(-∞,-eq\f(3,4)]和[0,eq\f(3,4)][解析]作出f(x)=2x2-3|x|=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2-3x,x≥0,,2x2+3x,x<0))的圖像,由圖像易知選D.7.如圖所示,已知函數(shù)y=f(x)的圖像,則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__(-∞,-eq\f(3,2)),(0,+∞)\x(導(dǎo)學(xué)號00814326)[解析]根據(jù)單調(diào)減函數(shù)的概念與其圖像形狀可知:函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-eq\f(3,2)),(0,+∞).8.f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),則不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\f(8,3)<x≤4))\x(導(dǎo)學(xué)號00814327)[解析]依題意,由不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,-2x+8≥0,,x>-2x+8))解得eq\f(8,3)<x≤4.9.利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)=eq\f(x,x-1)在x∈[2,4]是單調(diào)遞減函數(shù),并求函數(shù)的值域.eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814328)[證明]在[2,4]上任取x1,x2且x1<x2,則∴f(x1)-f(x2)=eq\f(x1,x1-1)-eq\f(x2,x2-1)=eq\f(x2-x1,x1-1x2-1)∵2≤x1<x2≤4,∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)是在[2,4]上的減函數(shù).∴f(x)min=f(4)=eq\f(4,3),f(x)max=f(2)=2,因此,函數(shù)的值域?yàn)閇eq\f(4,3),2].10.已知函數(shù)f(x)=eq\r(x+1).eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814329)(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)求證:函數(shù)f(x)在定義域上是增加的;(3)求函數(shù)f(x)的最小值.[解析](1)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值需滿足x+1≥0,解得x≥-1,所以函數(shù)f(x)的定義域是[-1,+∞).(2)證明:設(shè)-1≤x1<x2,則Δx=x2-x1>0,f(x1)-f(x2)=eq\r(x1+1)-eq\r(x2+1)=eq\f(\r(x1+1)-\r(x2+1)\r(x1+1)+\r(x2+1),\r(x1+1)+\r(x2+1))=eq\f(x1+1-x2+1,\r(x1+1)+\r(x2+1))=eq\f(x1-x2,\r(x1+1)+\r(x2+1)).∵-1≤x1<x2,∴x1-x2<0,eq\r(x1+1)≥0,eq\r(x2+1)>0.∴f(x1)<f(x2),即Δy=f(x2)-f(x1)>0,∴函數(shù)f(x)在定義域上是增加的.(3)∵函數(shù)f(x)在定義域[-1,+∞)上是增加的,∴f(x)≥f(-1)=0,即函數(shù)f(x)的最小值是0.B級素養(yǎng)提升1.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),則eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814330)(D)A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(aC.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)[解析]∵a2+1-a=(a-eq\f(1,2))2+eq\f(3,4)>0,∴a2+1>a,又∵函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),∴f(a2+1)<f(a).2.已知y=f(x)是R上的增函數(shù),令F(x)=f(1-x)-f(3+x),則F(x)在R上是eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814331)(B)A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增加后減少D.先減少后增加[解析]設(shè)任意的x1,x2∈R,且x1<x2,則F(x2)-F(x1)=f(1-x2)-f(3+x2)-f(1-x1)+f(3+x1)=f(1-x2)-f(1-x1)+f(3+x1)-f(3+x2)因?yàn)閤1<x2,所以1-x1>1-x2,3+x2>3+x1,所以F(x2)-F(x1)<0,即F(x)在R上是減函數(shù).3.設(shè)函數(shù)f(x)滿足:對任意的x1、x2∈R都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,則f(-3)與f(-π)的大小關(guān)系是_f(-3)>f(-π)\x(導(dǎo)學(xué)號00814332)[解析]由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函數(shù)f(x)為增函數(shù),又-3>-π,∴f(-3)>f(-π).4.若f(x)=x2-2(1+a)x+2在(-∞,4]上是減少的,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_a≥\x(導(dǎo)學(xué)號00814333)[解析]∵函數(shù)f(x)=x2-2(1+a)x+2的對稱軸為x=1+a,∴要使函數(shù)在(-∞,4]上是減少的,應(yīng)滿足1+a≥4,∴a≥3.5.利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=eq\f(x+2,x+1)在(-1,+∞)上是減少的.eq\x(導(dǎo)學(xué)號00814334)[解析]設(shè)x1>x2>-1,則Δx=x2-x1<0,Δy=y(tǒng)1-y2=eq\f(x1+2,x1+1)-eq\f(x2+2,x2+1)=eq\f(x2-x1,x1+1x2+1)∵x1>x2>-1,x1+1>0,x2+1>0,Δx=x2-x1<0.∴eq\f(x2-x1,x1+1x2+1)<0.Δy=y(tǒng)1-y2<0.∴y=eq\f(x+2,x+1)在(-1,+∞)上是減少的.6.函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),對任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=\x(導(dǎo)學(xué)號00814335)(1)求f(2)的值;(2)解不等式f(m-2)≤3.[解析](1)∵f(4)=f(2+2)=2f(2)∴f(2)=3.(2)由f(m-2)≤3,得f(m-2)≤f(2).∵f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m-2≥2,m-2>0)),解得m≥4.∴不等式的解集為{m|m≥4}.C級能力拔高已知f(x)的定義域?yàn)镽,且有f(-x)=f(x),而且在(0,+∞)上是減少的,判斷在(-∞,0)上是增加的還是減少的,并加以證明.eq\x

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