高中數(shù)學(xué)北師大版1第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第4章2

第四章§2一、選擇題(每小題5分，共20分)1．函數(shù)f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值分別是()A．f(1)f(2) B．f(2)f(5)C．f(1)f(5) D．f(5)f(2)解析：f′(x)＝2x－4，令f′(x)＝2x－4＝0，∴x＝2.f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(5)＝6，∴最大值f(5)，最小值f(2)．答案：D2．已知正四棱錐S－ABCD中，SA＝2eq\r(3)，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．3解析：設(shè)底面中心為O，令高為h，則AO＝eq\r(12－h(huán)2).AB＝eq\r(2)AO＝eq\r(2)·eq\r(12－h(huán)2).體積V＝eq\f(1,3)×2×h(12－h(huán)2)＝－eq\f(2,3)h3＋8h.V′＝－2h2＋8，令V′＞0得0＜h＜2，V′＜0得h＞2，當(dāng)0＜h＜2時，函數(shù)遞增，h＞2時，函數(shù)遞減．當(dāng)h＝2時，V取極大值，也是最大值．答案：C3．函數(shù)y＝eq\f(lnx,x)的最大值為()A．e－1 B．eC．e2 D．eq\f(10,3)解析：令y′＝eq\f(lnx′x－lnx·x′,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)＝0，得x＝e.當(dāng)x>e時，y′<0；當(dāng)0＜x＜e時，y′>0，y極大值＝f(e)＝eq\f(1,e)，在定義域內(nèi)只有一個極值，所以ymax＝eq\f(1,e).答案：A4．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件解析：因y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，當(dāng)0<x≤9時，y′≥0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x>9時，y′<0，f(x)為減函數(shù)，∴當(dāng)x＝9時，y有最大值．故選C.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．函數(shù)y＝xex的最小值為________．解析：y′＝(x＋1)ex＝0，x＝－1.當(dāng)x<－1時，y′<0；當(dāng)x>－1時，y′>0.∴ymin＝f(－1)＝－eq\f(1,e).答案：－eq\f(1,e)6．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在區(qū)間[－2，－1]上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是________．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，則x＝eq\f(m,2)，由題設(shè)得eq\f(m,2)∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4.(1)求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間[－3,4]上的最大值和最小值．解析：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)eq\f(28,3)－eq\f(4,3)從上表看出，當(dāng)x＝－2時，函數(shù)有極大值，且極大值為eq\f(28,3)，而當(dāng)x＝2時，函數(shù)有極小值，且極小值為－eq\f(4,3).(2)f(－3)＝eq\f(1,3)×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝eq\f(1,3)×43－4×4＋4＝eq\f(28,3)，與極值點的函數(shù)比較，得函數(shù)在區(qū)間[－3,4]上的最大值是eq\f(28,3)，最小值是－eq\f(4,3).8．已知f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，當(dāng)x∈[－1,2]時，f(x)＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解析：∵f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，∴f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，∴x＝1或x＝－eq\f(2,3).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(2,3)))時，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))時，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1,2)時，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，∴當(dāng)x＝－eq\f(2,3)時，f(x)取得極大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝5＋eq\f(22,27)；當(dāng)x＝1時，f(x)取得極小值f(1)＝eq\f(7,2).又f(－1)＝eq\f(11,2)，f(2)＝7，∴f(x)在x∈[－1,2]上的最大值為f(2)＝7.∴要使f(x)＜m恒成立，需f(x)max＜m，即m＞7.∴所求實數(shù)m的取值范圍是(7，＋∞)．eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元．距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋eq\r(x))x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y值最??？解析：(1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\s\up4(\f(1,2))＝eq\f(m,2x2)(xeq\s\up7(\f(3,2))－512)．令f′(x)＝0，得xeq\s\up7(\f(3,2))＝512，所以x＝64.當(dāng)0＜x＜64時，