高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程 優(yōu)秀

用己知的函數(shù)模型解決問題一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）掌握函數(shù)的思想方法，即通過求出或構(gòu)造出函數(shù)來解決問題；（2）學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；（3）梳理社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。2．基礎(chǔ)預(yù)探（1）叫做一次函數(shù)；叫做二次函數(shù)；叫做指數(shù)函數(shù)；叫做對(duì)數(shù)函數(shù)；叫做冪函數(shù)。（2）指數(shù)函數(shù)的主要性質(zhì)有，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系是。二、基本知識(shí)習(xí)題化1.按復(fù)利計(jì)算，若存入銀行5萬元，年利率2%，3年后支取，則可得利息(單位:萬元)為（）.A.5(1+B.5(1+C.5(1+-5C.5(1+-52.x克a%鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變?yōu)閏%，則x與y的函數(shù)關(guān)系式為（）.A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x3.現(xiàn)有含鹽15%的鹽水400克，張老師要求將鹽水濃度變?yōu)?2%，某同學(xué)由于計(jì)算錯(cuò)誤加進(jìn)了110克水，要使?jié)舛戎匦伦優(yōu)锳、倒出10千克鹽水B、再加入10千克鹽水C、加入10千克鹽水D、再加入1411克4.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)由f（m）=（×[m]+1）元給出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整數(shù)（職[3]=3，[]=4），則從甲地到乙地通話時(shí)間為分鐘的話費(fèi)為元.5.已知鐳經(jīng)過100年，質(zhì)量便比原來減少％，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過年后的剩留量為，則的函數(shù)解析式為.三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1、函數(shù)應(yīng)用題的解題步驟求解函數(shù)應(yīng)用題，關(guān)鍵是考慮該題考查的是何種函數(shù)模型，并要注意定義域，然后建立其解析式，最后結(jié)合其實(shí)際意義作出解答。解題步驟：第一步：閱理解讀審清題意讀題主要做到逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，在此基礎(chǔ)上分析出已知是什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型一般地設(shè)自變量為，函數(shù)為，必要時(shí)引入其他相關(guān)輔助變量，用和輔助變量表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)，物理知識(shí)及其相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上講實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問題，實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型。第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果。第四步：再講所得的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答。2、建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題及注意問題（1）圖解函數(shù)建模型的過程和步驟：理論探究1：（同種函數(shù)模型不同增長(zhǎng)速度）理論探究1：（同種函數(shù)模型不同增長(zhǎng)速度）實(shí)例1（同種函數(shù)模型不同增長(zhǎng)速度）實(shí)際到生活實(shí)際到生活特殊到一般特殊到一般理論探究2理論探究2：（不同種函數(shù)模型增長(zhǎng)速度）實(shí)例2（不同種函數(shù)模型增長(zhǎng)速度）（2）解決實(shí)際問題時(shí)，要注重函數(shù)的定義域，這往往是解決最值問題的關(guān)鍵，并結(jié)合實(shí)際問題的具體意義作出正確大的解答；應(yīng)注意掌握積累一些常見的應(yīng)用題類型的解題方法和思路，如最值問題，增長(zhǎng)率利率問題，分期付款問題等，還應(yīng)逐步增強(qiáng)數(shù)字計(jì)算與近似計(jì)算的技能和技巧。四、典例導(dǎo)析1、一次函數(shù)為模型的應(yīng)用：11060200100O/元/度11060200100O/元/度⑴用電量為100度時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)為元；⑵當(dāng)時(shí)，求關(guān)于之間的函數(shù)關(guān)系式；⑶月用點(diǎn)量為260度時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)多少元？思路導(dǎo)析：根據(jù)函數(shù)模型，建立分段函數(shù)模型的解析式，特別重視定義域的書寫。解析：⑴由圖形可知，與函數(shù)關(guān)系的圖象是一條直線，因此可用一次函數(shù)知識(shí)解決，當(dāng)用電量為100度時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)為60元；⑵設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系式為，∵直線經(jīng)過點(diǎn)和，∴解得，∴關(guān)于之間的函數(shù)關(guān)系式為.⑶∵，∴將代入，解得，∴月用點(diǎn)量為260度時(shí)，應(yīng)交電費(fèi)140元.規(guī)律總結(jié)：本題是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，建立一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)性質(zhì)解題.變式練習(xí)1、電信局為了配合客戶的不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案的應(yīng)付電話費(fèi)（元）與通話施加（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示（實(shí)線部分，且MN應(yīng)付話費(fèi)（元）通話時(shí)間（分鐘）⑴若通話時(shí)間為2小時(shí)，按方案應(yīng)付話費(fèi)（元）通話時(shí)間（分鐘）⑵方案B從500分鐘以后，每分鐘收費(fèi)多少元？⑶通話時(shí)間在什么范圍內(nèi)，方案B才會(huì)比方案A優(yōu)惠？2、二次函數(shù)模型的應(yīng)用：圖1例2、某投資公司計(jì)劃投資、兩種圖1金融產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資量成正比例，其關(guān)系如圖1，產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資量的算術(shù)平方根成正圖2圖2單位：萬元）。（1）分別將、兩產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）該公司已有10萬元資金，并全部投入、兩種產(chǎn)品中，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)為多少萬元？思路導(dǎo)析:根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，最后確定公司利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)求解。解：（Ⅰ）設(shè)投資為萬元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬元．由題意設(shè)，．由圖可知，∴．又，∴．從而，．（Ⅱ）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為萬元．，令，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．答：當(dāng)產(chǎn)品投入6萬元，則產(chǎn)品投入4萬元時(shí)，該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，利潤(rùn)為萬元．規(guī)律總結(jié)：本題是把實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)圖象等給出條件，解題時(shí)要抓住圖象特征，抓住關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，確定函數(shù)解析式，求解實(shí)際問題.變式練習(xí)2、某商品在最近100天內(nèi)的價(jià)格與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是：銷售量與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是：g(t)=－t+(0≤t≤100,t∈N),求這種商品的日銷售額S(t)的最大值。3、以指、對(duì)、冪函數(shù)為模型的數(shù)學(xué)建模：例3、為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：⑴從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為.⑵據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.思路導(dǎo)析：本題為一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問題，根據(jù)一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行相應(yīng)的解答，作出作出最后的結(jié)論。解析：⑴圖中直線的斜率為，方程為，點(diǎn)在曲線上，所以，所以，因此.⑵因?yàn)樗幬镝尫胚^程中室內(nèi)藥量一直在增加，即使藥量小于毫克，學(xué)生也不能進(jìn)入教室，所以，只能當(dāng)藥物釋放完畢后，室內(nèi)藥量減少到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，即，解得.規(guī)律總結(jié)：本題是以指數(shù)函數(shù)為背景的實(shí)際應(yīng)用問題，通過利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際應(yīng)用問題，體現(xiàn)函數(shù)與方程思想，在解題時(shí)要注重實(shí)際問題對(duì)變量參數(shù)的限制條件，防止誤解錯(cuò)解.變式練習(xí)3、某地區(qū)心臟病發(fā)病人數(shù)呈上升趨勢(shì)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，從1996年到2023年的10年間每?jī)赡晟仙?023年和2023年兩年共發(fā)病815人．如果不加控制，仍按這個(gè)比例發(fā)展下去，從2023年到2023年將有多少人發(fā)病？五、隨堂練習(xí)1、某種產(chǎn)品的總成本（萬元）與產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式為且，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是（）

A、100臺(tái)

B、120臺(tái)

C、150臺(tái)

D、180臺(tái)2、用長(zhǎng)度為24m的材料圍一個(gè)矩形家禽養(yǎng)殖場(chǎng)，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為（

）A、3

B、4

C、6

D、123、按復(fù)利計(jì)算儲(chǔ)蓄利率，存入銀行a萬元，年利率了b%，x年后支取，本息和應(yīng)為(

）A、a(1+b%)x-1萬元

B、a(1+b%)x萬元

C、a(1+b%)x+1萬元

D、a[1+(b%)x]萬元4、有一批材料可以圍成36m的圍墻，如圖，用此材料在一邊靠墻的地方，圍在一塊矩形場(chǎng)地且中間用同樣材料隔成兩塊矩形，試求所圍矩形面積的最大值是_______。5、一種新型電子產(chǎn)品投產(chǎn)，計(jì)劃兩年后使成本降低36%，那么平均每年應(yīng)降低成本。6、某人開汽車以60km/h的度從A地到150km遠(yuǎn)處的B，在B地停留1小時(shí)后，再以50km/h的速度返回A地，把汽車離開A地的路程x(km)表示為時(shí)間t(h)(從A地出發(fā)時(shí)開始）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖像，再把車速v(km/h)表示為時(shí)間t(h)的函數(shù)，并畫出函數(shù)和圖像。六、課后作業(yè)1、我國(guó)工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1980年至2000年的20年間翻兩番，設(shè)平均每年的增長(zhǎng)率為x，則（

）

A.(1+x)19=4

B.（1+x）20=2C.(1+x)20=3

D.(1+x)2、某商品降價(jià)10%后，欲恢復(fù)原價(jià)，則應(yīng)提價(jià)（

）

A、10%

B、90%

C、11%

D、%

3、某工廠同時(shí)生產(chǎn)兩種成本不同的產(chǎn)品A和B，由于市場(chǎng)銷售情況發(fā)生變化，A產(chǎn)品連續(xù)兩次提價(jià)20%，而B產(chǎn)品連續(xù)兩次分別降低20%，結(jié)果A、B兩產(chǎn)品均以每件元的價(jià)格售出，則該廠此時(shí)同時(shí)售出A、B產(chǎn)品各1件時(shí)，比原價(jià)格售出時(shí)，它的盈虧情況是（

）

A、虧

B、盈

C、不虧不盈

D、與現(xiàn)在的價(jià)格有關(guān)4、某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，己知總收益滿足函數(shù)：

，其中x是儀器的月產(chǎn)量。

(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？（總收益=總成本+利潤(rùn)）6、假設(shè)國(guó)家收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格是120元/擔(dān)，其中征稅標(biāo)準(zhǔn)為每100元征8元（叫做稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8％）．計(jì)劃可收購(gòu)m萬擔(dān)，為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定稅率降低x個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)計(jì)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)．（1）寫出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后不低于原計(jì)劃的78％，試確定x的范圍．用己知的函數(shù)模型解決問題一、課前準(zhǔn)備2．基礎(chǔ)預(yù)探（1），，，（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，且所有的指數(shù)函數(shù)都經(jīng)過定點(diǎn)二、基本知識(shí)習(xí)題化1.解析：由題意得，三后支取為萬元。2.解析：克的鹽水中含鹽克，即即，整理得y=x，故選B3.解：依據(jù)題意：400克含鹽15%的鹽水中水的質(zhì)量=400（1-15%）=340鹽的質(zhì)量=400×15%=60克，加了110克水后，總質(zhì)量為要想使鹽水濃度變成12%，則鹽水的質(zhì)量應(yīng)該等于=60/12%=500克如果要加入鹽使?jié)舛戎匦伦優(yōu)?2%，可設(shè)加入x克鹽，那么由題意可得出：解得：故選D．4.解：由[m]是大于或等于m的最小整數(shù)可得[]=6．所以f（）=×（×[]+1）=×4=．5.解：由題意可得，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x=100時(shí)，y=%=，所以。四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)1、解析：由圖可知，則這兩種方案的應(yīng)付話費(fèi)與通話時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別為：，⑴通話2小時(shí)，兩種方案的話費(fèi)分別為116元、168元.⑵由元，所以，方案B從500分鐘以后，每分鐘的收費(fèi)為元.⑶由圖可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，，即當(dāng)通話時(shí)間在時(shí)，方案B較方案A優(yōu)惠.2、解：因?yàn)?，所以⑴?dāng)，從而可知當(dāng)；⑵，當(dāng)t=40時(shí)，。綜上可得，。答：在最近的100天內(nèi)，這種商品的日銷售額的最大值為。3、解：設(shè)第x個(gè)兩年心臟病發(fā)病人數(shù)為y，a為第一個(gè)兩年間發(fā)病人數(shù)，根據(jù)題意，得y=a(1＋2%)，顯然a=815，即y=815(1＋2%)(xN*)，2023年到2023年發(fā)病人數(shù)x=2時(shí)的值，那么總計(jì)發(fā)病人數(shù)為815(1＋2%)＋815(1＋2%)≈1680(人)．五、隨堂練習(xí)1、解：由題設(shè)，產(chǎn)量x臺(tái)時(shí)，總售價(jià)為25x；欲使生產(chǎn)者不虧本時(shí)，必須滿足總售價(jià)大于等于總成本，即25x≥3000+，即+5x-3000≥0，x2+50x-30000≥0，解之得x≥150或x≤-200（舍去）．故欲使生產(chǎn)者不虧本，最低產(chǎn)量是150臺(tái)．應(yīng)選C．2、解：設(shè)隔墻的長(zhǎng)為x（0＜x＜6），矩形面積為y，，∴當(dāng)x=3時(shí)，y最大．故選A．3、按復(fù)利計(jì)算儲(chǔ)蓄利率，存入銀行a萬元，年利率了b%，x年后支取，本息和應(yīng)為(

）A、a(1+b%)x-1萬元

B、a(1+b%)x萬元

C、a(1+b%)x+1萬元

D、a[1+(b%)x]萬元答案：B4、解：設(shè)寬為xm，則長(zhǎng)為，記面積為m2

則，當(dāng)時(shí)，，所以，所圍成的面積的最大值為5、一種新型電子產(chǎn)品投產(chǎn)，計(jì)劃兩年后使成本降低36%，那么平均每年應(yīng)降低成本。答案：20%

6、解：汽車離開A地的距離x（km)與時(shí)間t(h)之間的關(guān)系式是：

它的圖像如圖2-28(1)所示速度v(km/h)與時(shí)間th的函數(shù)關(guān)系式是:

它的圖像如圖2-28(2)所示。六、課后作業(yè)1、答案D2、解析：由題意得，設(shè)應(yīng)提價(jià)為，則，所以，故D3、解析：設(shè)A、B兩種產(chǎn)品的價(jià)格分別為a、b，則A提價(jià)后售價(jià)為，B降價(jià)后售價(jià)為，且A和B現(xiàn)在是相同的價(jià)格，則得到，售出A、B兩種產(chǎn)品各一件比原價(jià)售出A、B兩種各一件的盈虧情況為利用得，代入得，即同時(shí)售出A、B兩種產(chǎn)品各一件此原價(jià)售出A、B兩種產(chǎn)品各一件的盈虧情況為虧。4、解答：(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20000+100x，從而

(2)當(dāng)0≤x≤40