高中數(shù)學(xué)北師大版第四章函數(shù)應(yīng)用單元測(cè)試 學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)

第四章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．函數(shù)f(x)的圖像與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815022)(D)A．0 B．1C．2 D．3[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖像與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)＝0有3個(gè)實(shí)數(shù)解．2．函數(shù)y＝x的零點(diǎn)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815023)(A)A．0 B．(0,0)C．(1,0) D．1[解析]函數(shù)y＝x的零點(diǎn)是其圖像與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)0，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是點(diǎn)，故選A．3．方程lgx＋x＝0的根所在區(qū)間是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815024)(B)A．(－∞，0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,4)[解析]若lgx有意義，∴x>0，故A不正確，又當(dāng)x>1時(shí)，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正確，故選B．4．函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815025)(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]因?yàn)閒(x)與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以共有4個(gè)零點(diǎn)．5．若f(x)是一個(gè)二次函數(shù)，且滿足f(2＋x)＝f(2－x)，該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x1＋x2＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815026)(C)A．0 B．2C．4 D．無(wú)法判斷[解析]由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的圖像關(guān)于x＝2對(duì)稱．∴x1＋x2＝4.6．下圖是函數(shù)f(x)的圖像，它與x軸有4個(gè)不同的公共點(diǎn)．在下列四個(gè)區(qū)間中，存在不能用二分法求出的零點(diǎn)，則該零點(diǎn)所在的區(qū)間是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815027)(B)A．[－2，－1] B．[1,2]C．[4,5] D．[5,6][解析]在區(qū)間[1,2]上的零點(diǎn)為不變號(hào)零點(diǎn)，故不能用二分法求．7．夏季高山溫度從山腳起每升高100米，降低攝氏度，已知山頂?shù)臏囟仁菙z氏度，山腳的溫度是26攝氏度，則山的相對(duì)高度為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815028)(C)A．1750米 B．1730米C．1700米 D．1680米[解析]設(shè)從山腳起每升高x百米時(shí)，溫度為y攝氏度，根據(jù)題意得y＝26－，山頂溫度是攝氏度，代入得＝26－.∴x＝17(百米)，∴山的相對(duì)高度是1700米．8．函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815029)(B)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[解析]∵f(x)＝2x＋3x，∴f(－1)＝－eq\f(5,2)<0，f(0)＝1>0，故選B．9．已知函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，x、f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x123456f(x)－－－則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815030)(C)A．區(qū)間[1,2]和[2,3]B．區(qū)間[2,3]和[3,4]C．區(qū)間[2,3]和[3,4]和[4,5]D．區(qū)間[3,4]和[4,5]和[5,6][解析]由圖表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0.故選C．10．若方程x2＋(m－2)x＋(5－m)＝0的兩根都大于2，則m的取值范圍是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815031)(A)A．(－5，－4] B．(－∞，－4]C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4][解析]考查函數(shù)f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)，由條件知它的兩個(gè)零點(diǎn)都大于2，其圖像如圖所示．由圖可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m－2,2)>2,f2＝m＋5>0,m－22－45－m≥0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－2,m>－5，,m≥4或m≤－4，))∴－5<m≤－4.故選A．11．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]中有唯一的變號(hào)零點(diǎn)(a>0)，在用二分法尋找零點(diǎn)的過程中，依次確定了零點(diǎn)所在的區(qū)間為[0，eq\f(a,2)]，[0，eq\f(a,4)]，[0，eq\f(a,8)]，則下列說(shuō)法正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815032)(D)A．函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(a,16)]中有零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(a,16)]或[eq\f(a,16)，eq\f(a,8)]中有零點(diǎn)C．函數(shù)f(x)在區(qū)間[eq\f(a,16)，a]中無(wú)零點(diǎn)D．函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，eq\f(a,16)]或[eq\f(a,16)，eq\f(a,8)]中有零點(diǎn)，或零點(diǎn)是eq\f(a,16)[解析]由二分法的定義可知，只有D正確．12．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x.則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的集合為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815033)(D)A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}[解析]令x<0，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x(x<0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3xx≥0,－x2－3xx<0)).∴g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3x≥0,－x2－4x＋3x<0)).當(dāng)x≥0時(shí)，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.當(dāng)x<0時(shí)，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－eq\r(7)，∴函數(shù)g(x)的零點(diǎn)的集合為{－2－eq\r(7)，1,3}．第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．函數(shù)f(x)＝(x2－3)(x2－2x－3)的零點(diǎn)為±eq\r(3)，3，－1.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815034)[解析]令f(x)＝0，得x＝±eq\r(3)，或x＝3，或x＝－1.14．用一根長(zhǎng)為12m的細(xì)鐵絲彎折成一個(gè)矩形的鐵框架，則能彎成的框架的最大面積是9m2\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815035)[解析]設(shè)框架的一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為(6－x)m.設(shè)框架面積為ym2，則y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9(0<x<6)，ymax＝9(m2)．15．已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且在(－∞，0)內(nèi)的零點(diǎn)有2023個(gè)，則f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815036)[解析]因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，且在(－∞，0)內(nèi)有2023個(gè)零點(diǎn)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性知，在(0，＋∞)內(nèi)也有2023個(gè)零點(diǎn)，又x∈R，所以f(0)＝0，因此共4025個(gè)零點(diǎn)．16．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0,2x－6＋lnx，x>0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815037)[解析]當(dāng)x≤2，令x2－2＝0，得x＝－eq\r(2)；當(dāng)x>0時(shí)，令2x－6＋lnx＝0，即lnx＝6－2x，在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝6－2x與y＝lnx的圖像如圖所示．由圖像可知，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y＝6－2x與y＝lnx的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．三、解答題(本大題共6個(gè)小題，滿分70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)求函數(shù)y＝x3－7x＋6的零點(diǎn).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815038)[解析]∵x3－7x＋6＝(x3－x)－(6x－6)＝x(x2－1)－6(x－1)＝x(x＋1)(x－1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)，∴由x3－7x＋6＝0即(x－1)(x－2)(x＋3)＝0得x1＝－3，x2＝1，x3＝2.∴函數(shù)y＝x3－7x＋6的零點(diǎn)為－3,1,2.18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋m的零點(diǎn)都在區(qū)間(0,2)內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的范圍.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815039)[解析]由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f0>0，,f2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－4m≥0,m>0,4－2＋m>0))，解得0<m≤eq\f(1,4).所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，eq\f(1,4)]．19．(本小題滿分12分)(濟(jì)南一中月考，有改動(dòng))判斷方程x3－4x－2＝0在區(qū)間[－2,0]內(nèi)實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815040)[解析]設(shè)f(x)＝x3－4x－2，則f(x)的圖像是連續(xù)曲線，而f(－2)＝－2<0，f(0)＝－2<0，若取區(qū)間[－2,0]內(nèi)一點(diǎn)－1，得f(－1)＝1>0，取x＝3，得f(3)＝13>0，因此函數(shù)f(x)滿足f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(3)<0，∴f(x)分別在[－2，－1)、(－1,0)，(0,3)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又∵x3－4x－2＝0最多有3個(gè)根，∴方程x3－4x－2＝0在區(qū)間[－2,0]內(nèi)有2個(gè)實(shí)數(shù)根．20．(本小題滿分12分)某公司從2023年的年產(chǎn)值100萬(wàn)元，增加到10年后2023年的500萬(wàn)元，如果每年產(chǎn)值增長(zhǎng)率相同，則每年的平均增長(zhǎng)率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝，ln10＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815041)[解析]設(shè)每年年增長(zhǎng)率為x，則100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得10·lg(1＋x)＝lg5，∴l(xiāng)g(1＋x)＝eq\f(lg5,10)＝eq\f(1,10)(lg10－lg2)＝eq\f,10).又∵lg(1＋x)＝eq\f(ln1＋x,ln10)，∴l(xiāng)n(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.∴l(xiāng)n(1＋x)＝eq\f,10)×ln10＝eq\f,10)×＝＝%.又由已知條件：ln(1＋x)≈x得x≈%.故每年的平均增長(zhǎng)率約為%.21．(本小題滿分12分)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸恒有一個(gè)交點(diǎn)，且只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815042)[解析]若實(shí)數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)f(3)≤0即可．f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－eq\f(1,5)或a≥1.檢驗(yàn)：(1)當(dāng)f(－1)＝0時(shí)a＝1，所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1.(2)當(dāng)f(3)＝0時(shí)a＝－eq\f(1,5)，此時(shí)f(x)＝x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5).令f(x)＝0，即x2－eq\f(13,5)x－eq\f(6,5)＝0.解得，x＝－eq\f(2,5)或x＝3.方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－eq\f(1,5).綜上所述，a∈(－∞，－eq\f(1,5))∪(1，＋∞)．22．(本小題滿分12分)某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE(如圖所示)上劃出一塊長(zhǎng)方形地面建造一幢公寓，問：如何設(shè)計(jì)才能使公寓占地面積最大？求出最大面積(尺寸單位：m).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)00815043)[分析]解答本題可先進(jìn)行分類討論，在各種情況下列出函數(shù)關(guān)系式并求最值，然后比較得到所求解的情況．[解析]如圖所示，設(shè)計(jì)長(zhǎng)方形公寓分三種情況：(1)當(dāng)一頂點(diǎn)在BC上時(shí)，只有在B點(diǎn)時(shí)長(zhǎng)方形BCDB1面積最大，∴S1＝SBCDB1＝5600m2(2)當(dāng)一頂點(diǎn)在EA邊上時(shí)，只有在A點(diǎn)時(shí)長(zhǎng)方形AA1DE的面積最大，∴S2＝SAA1DE＝6000m2(3)當(dāng)一頂點(diǎn)在AB邊上時(shí)，設(shè)該點(diǎn)為M，則可構(gòu)造長(zhǎng)方形MNDP，并補(bǔ)出長(zhǎng)方形OCDE.設(shè)MQ＝x(0≤x≤20)，∴MP＝PQ－MQ＝80－x.又OA＝20，OB＝30，則eq\f(OA,OB)＝eq\f(MQ,QB)，∴eq\f(2,3)＝eq\f(x,QB)，∴QB＝eq\f(