高中數(shù)學人教B版4第一章坐標系 第1章柱坐標系和球坐標系

柱坐標系和球坐標系1.5.1柱坐標系1.5.2球坐標系1.了解柱坐標系、球坐標系的意義，能用柱坐標系、球坐標系刻畫簡單問題中的點的位置.(重點)2.知道柱坐標、球坐標與空間直角坐標的互化關系與公式.(難點)[基礎·初探]1.柱坐標系(1)柱坐標設空間中一點M的直角坐標為(x，y，z)，M點在xOy坐標面上的投影點為M0，M0點在xOy平面上的極坐標為(ρ，θ)，如圖1-5-1所示，則三個有序數(shù)ρ，θ，z構(gòu)成的數(shù)組(ρ，θ，z)稱為空間中點M的柱坐標.在柱坐標中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z為任意實數(shù).圖1-5-1(2)空間直角坐標與柱坐標的變換公式空間點M(x，y，z)與柱坐標(ρ，θ，z)之間的變換公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,z＝z)).2.球坐標系(1)球坐標設空間中一點M的直角坐標為(x，y，z)，點M在xOy坐標面上的投影點為M0，連接OM和OM0.圖1-5-2如圖1-5-2所示，設z軸的正向與向量eq\o(OM,\s\up7(→))的夾角為φ，x軸的正向與eq\o(OM0,\s\up7(→))的夾角為θ，M點到原點O的距離為r，則由三個數(shù)r，θ，φ構(gòu)成的有序數(shù)組(r，θ，φ)稱為空間中點M的球坐標.若設投影點M0在xOy平面上的極坐標為(ρ，θ)，則極坐標θ就是上述的第二個球坐標θ.在球坐標中限定r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.(2)空間直角坐標與球坐標的變換公式空間點M(x，y，z)與球坐標(r，θ，φ)之間的變換公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ,y＝rsinφsinθ,z＝rcosφ)).[思考·探究]1.要刻畫空間一點的位置，就距離和角的個數(shù)來說有什么限制？【提示】空間點的坐標都是三個數(shù)值，其中至少有一個是距離.2.在柱坐標系中，方程ρ＝1表示空間中的什么曲面？在球坐標系中，方程r＝1分別表示空間中的什么曲面？【提示】柱坐標系中，ρ＝1表示以z軸為中心，以1為半徑的圓柱面；球坐標系中，方程r＝1表示球心在原點的單位球面.[自主·測評]1.在空間直角坐標系中，點P的柱坐標為(2，eq\f(π,4)，3)，P在xOy平面上的射影為Q，則Q點的坐標為()A.(2,0,3) B.(2，eq\f(π,4)，0)C.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，3) D.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0)【解析】由點的空間柱坐標的意義可知，選B.【答案】B2.已知點A的柱坐標為(1,0,1)，則點A的直角坐標為()A.(1,1,0) B.(1,0,1)C.(0,1,1) D.(1,1,1)【解析】x＝ρ·cosθ＝1cosθ＝1，y＝ρsinθ＝0，z＝1.【答案】B3.設點M的直角坐標為(－1，－eq\r(3)，3)，則它的柱坐標是()A.(2，eq\f(π,3)，3) B.(2，eq\f(2π,3)，3)C.(2，eq\f(4π,3)，3) D.(2，eq\f(5π,3)，3)【解析】∵ρ＝eq\r(－12＋－\r(3)2)＝2，tanθ＝eq\f(－\r(3),－1)＝eq\r(3)，∴θ＝eq\f(π,3)或eq\f(4,3)π.又∵M的直角坐標中x＝－1，y＝－eq\r(3)，∴排除θ＝eq\f(π,3)，∴θ＝eq\f(4,3)π.∴M的柱坐標為(2，eq\f(4π,3)，3).【答案】C4.設點M的直角坐標為(－1，－1,0)，則它的球坐標為()【導學號：62790006】A.(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0) B.(eq\r(2)，eq\f(5π,4)，eq\f(π,2))C.(2，eq\f(5π,4)，0) D.(2,0，eq\f(π,4))【解析】由坐標變換公式，得r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(2)，cosφ＝eq\f(z,r)＝0，∴φ＝eq\f(π,2).∵tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(5,4)π.【答案】B[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：類型一點的柱坐標與直角坐標互化設點M的直角坐標為(1,1,1)，求它的柱坐標系中的坐標.【精彩點撥】已知直角坐標系中的直角坐標化為柱坐標，利用公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z.))求出ρ，θ即可.【嘗試解答】設M的柱坐標為(ρ，θ，z)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝ρcosθ，,1＝ρsinθ，,z＝1，))解之得，ρ＝eq\r(2)，θ＝eq\f(π,4).因此，點M的柱坐標為(eq\r(2)，eq\f(π,4)，1).由直角坐標系中的直角坐標求柱坐標，可以先設出點M的柱坐標為ρ，θ，z代入變換公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z.))求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝eq\f(y,x)，求θ，在求θ的時候特別注意角θ所在的象限，從而確定θ的取值.[再練一題]1.根據(jù)下列點的柱坐標，分別求直角坐標：(1)(2，eq\f(5π,6)，3)；(2)(eq\r(2)，eq\f(π,4)，5).【解】設點的直角坐標為(x，y，z).(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，eq\f(5π,6)，3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝2cos\f(5π,6)＝－\r(3)，,y＝ρsinθ＝2sin\f(5π,6)＝1，,z＝3，))因此所求點的直角坐標為(－eq\r(3)，1,3).(2)∵(ρ，θ，z)＝(eq\r(2)，eq\f(π,4)，5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝\r(2)cos\f(π,4)＝1，,y＝ρsinθ＝\r(2)sin\f(π,4)＝1，,z＝5.))故所求點的直角坐標為(1,1,5).類型二將點的球坐標化為直角坐標已知點M的球坐標為(2，eq\f(3,4)π，eq\f(3,4)π)，求它的直角坐標.【精彩點撥】eq\x(球坐標)eq\o(→,\s\up14(x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，),\s\do14(z＝rcosφ))eq\x(直角坐標)【嘗試解答】設點的直角坐標為(x，y，z).∵(r，θ，φ)＝(2，eq\f(3,4)π，eq\f(3,4)π)，∴x＝2sineq\f(3,4)πcoseq\f(3,4)π＝2×eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(\r(2),2))＝－1，y＝2sineq\f(3,4)πsineq\f(3,4)π＝2×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝1，z＝2coseq\f(3,4)π＝2×(－eq\f(\r(2),2))＝－eq\r(2).因此點M的直角坐標為(－1,1，－eq\r(2)).1.根據(jù)球坐標系的意義以及與空間直角坐標系的聯(lián)系，首先要明確點的球坐標(r，θ，φ)中角φ，θ的邊與數(shù)軸Oz，Ox的關系，注意各自的限定范圍，即0≤θ<2π，0≤φ≤π.2.化點的球坐標(r，θ，φ)為直角坐標(x，y，z)，需要運用公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ.))轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的求值與運算.[再練一題]2.若“例2”中點M的球坐標改為M(3，eq\f(5π,3)，eq\f(5π,6))，試求點M的直角坐標.【解】設M的直角坐標為(x，y，z).∵(r，θ，φ)＝(3，eq\f(5π,3)，eq\f(5π,6))，x＝rsinφcosθ＝3sineq\f(5π,6)coseq\f(5π,3)＝eq\f(3,4)，y＝rsinφsinθ＝3sineq\f(5π,6)sineq\f(5π,3)＝－eq\f(3\r(3),4)，z＝rcosφ＝3coseq\f(5π,6)＝－eq\f(3\r(3),2).∴點M的直角坐標為(eq\f(3,4)，－eq\f(3\r(3),4)，－eq\f(3\r(3),2)).類型三空間點的直角坐標化為球坐標已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的邊長為1，棱AA1的長為eq\r(2)，如圖1-5-3所示，建立空間直角坐標系Axyz，Ax為極軸，求點C1的直角坐標和球坐標.圖1-5-3【精彩點撥】先確定C1的直角坐標，再根據(jù)空間直角坐標系與球坐標系的聯(lián)系，計算球坐標.【嘗試解答】點C1的直角坐標為(1,1，eq\r(2)).設C1的球坐標為(r，θ，φ)，其中r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝r·cosφ，∴r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(12＋\r(2)2＋12)＝2.由z＝rcosφ，∴cosφ＝eq\f(\r(2),2)，φ＝eq\f(π,4).又tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(π,4)，從而點C1的球坐標為(2，eq\f(π,4)，eq\f(π,4)).1.由直角坐標化為球坐標時，我們可以選設點M的球坐標為(r，θ，φ)，再利用變換公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ.))求出r，θ，φ.2.利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝eq\f(y,x)，cosφ＝eq\f(z,r).特別注意由直角坐標求球坐標時，應首先看明白點所在的象限，準確取值，才能無誤.[再練一題]3.若本例中條件不變，求點C的柱坐標和球坐標.【解】易知C的直角坐標為(1,1,0).設點C的柱坐標為(ρ，θ，0)，球坐標為(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π.(1)由于ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).又tanθ＝eq\f(y,x)＝1，∴θ＝eq\f(π,4).因此點C的柱坐標為(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0).(2)由r＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(12＋12＋0)＝eq\r(2).∴cosφ＝eq\f(z,r)＝0，∴φ＝eq\f(π,2).故點C的球坐標為(eq\r(2)，eq\f(π,2)，eq\f(π,4)).[真題鏈接賞析](教材P21練習T2)設點M的柱坐標為(2，eq\f(π,6)，7)，求它的直角坐標.在柱坐標系中，點M的柱坐標為(2，eq\f(2,3)π，eq\r(5))，則|OM|＝________.【命題意圖】本題主要考查柱坐標系的意義，以及點的位置刻畫.【解析】設點M的直角坐標為(x，y，z).由(ρ，θ，z)＝(2，eq\f(2,3)π，eq\r(5))知x＝ρcosθ＝2coseq\f(2,3)π＝－1，y＝2sineq\f(2,3)π＝eq\r(3).因此|OM|＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(－12＋\r(3)2＋\r(5)2)＝3.【答案】3我還有這些不足：(