高中數(shù)學(xué)人教A版3第三章統(tǒng)計案例 章末復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯提醒]1．線性回歸方程中的系數(shù)及相關(guān)指數(shù)R2，獨立性檢驗統(tǒng)計量K2公式復(fù)雜，莫記混用錯．2．相關(guān)系數(shù)r是判斷兩隨機變量相關(guān)強度的統(tǒng)計量，相關(guān)指數(shù)R2是判斷線性回歸模型擬合效果好壞的統(tǒng)計量，而K2是判斷兩分類變量相關(guān)程度的量，應(yīng)注意區(qū)分．3．在獨立性檢驗中，當(dāng)K2≥時，我們有%的把握認為兩分類變量有關(guān)，是指“兩分類變量有關(guān)”這一結(jié)論的可信度為99%而不是兩分類變量有關(guān)系的概率為99%.專題一回歸分析思想的應(yīng)用回歸分析是對抽取的樣本進行分析，確定兩個變量的相關(guān)關(guān)系，并用一個變量的變化去推測另一個變量的變化．如果兩個變量非線性相關(guān)，我們可以通過對變量進行變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問題．[例1]一個車間為了規(guī)定工時定額，需確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗，測得的數(shù)據(jù)如下表所示：零件數(shù)x/個102030405060708090100加工時間y/min627275818595103108112127(1)畫出散點圖，并初步判斷是否線性相關(guān)；(2)若線性相關(guān)，求線性回歸方程；(3)求出相關(guān)指數(shù)；(4)作出殘差圖；(5)進行殘差分析；(6)試制訂加工200個零件的用時規(guī)定．解：(1)散點圖，如圖所示：由圖可知，x，y線性相關(guān)．(2)x與y的關(guān)系可以用線性回歸模型來擬合，不妨設(shè)回歸模型為eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(a,\s\up12(^))＋eq\o(b,\s\up12(^))x.因為eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝55，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝92，0．670，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝92－eq\f(553,825)×55＝eq\f(827,15)≈.故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋.(3)利用所求回歸方程求出下列數(shù)據(jù)：yiyi－yi－－－yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－30－20－17－11－7yiyi－yi－－－yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))311162035(4)因為ei＝y(tǒng)i－yi，利用上表中數(shù)據(jù)作出殘差圖，如圖所示：(5)由散點圖可以看出x與y有很強的線性相關(guān)性，由R2的值可以看出回歸效果很好．由殘差圖也可觀察到，第2，5，9，10個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這些樣本點的過程中是否有人為的錯誤．(6)將x＝200代入回歸方程，得eq\o(y,\s\up12(^))＝189，所以可以制訂189min加工200個零件的規(guī)定．歸納升華建立回歸模型的一般步驟：(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系)；(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型，如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，選用線性回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(a,\s\up12(^))＋eq\o(b,\s\up12(^))x；(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個別數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等)，若殘差存在異常，則應(yīng)檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等；(6)依據(jù)回歸方程做出預(yù)報．[變式訓(xùn)練]某商場經(jīng)營一批進價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數(shù))元與日銷售量y臺之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：單價x/元35404550日銷售y/臺56412811(1)畫出散點圖并說明y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果有，求出線性回歸方程(方程的斜率保留一個有效數(shù)字)；(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)(1)寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測當(dāng)銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．解：散點圖如圖所示：從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(a,\s\up12(^))＋eq\o(b,\s\up12(^))x，由題意知eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝34,eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝34－(－3)×＝.所以eq\o(y,\s\up12(^))＝－3x＋.(2)依題意有：P＝(－3x＋(x－30)＝－3x2＋－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f,6)))eq\s\up12(2)＋eq\f,12)－4845.所以當(dāng)x＝eq\f,6)≈42時，P有最大值．即預(yù)測銷售單價約為42元時，能獲得最大日銷售利潤．專題二獨立性檢驗的應(yīng)用獨立性檢驗是對兩個分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的一種案例分析方法．常用等高條形圖來直觀反映兩個分類變量之間差異的大??；利用假設(shè)檢驗求隨機變量K2的值能更精確地判斷兩個分類變量間的相關(guān)關(guān)系．[例2]為了解某市市民對政府出臺樓市限購令的態(tài)度，在該市隨機抽取了50名市民進行調(diào)查，他們月收入(單位：百元)的頻數(shù)分布及對樓市限購令的贊成人數(shù)如下表所示：月收入[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75)頻數(shù)510151055贊成人數(shù)488521將月收入不低于55的人群稱為“高收入族”，有收入低于55的人群稱為“非高收入族”．(1)已知：K2＝eq\f(（a＋b＋c＋d）（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，當(dāng)K2＜時，沒有充分的證據(jù)判定贊不贊成樓市限購令與收入高低有關(guān)；當(dāng)K2＞時，有90%的把握判斷贊成樓市限購令與收入高低有關(guān)；當(dāng)K2＞，有95%的把握判斷定贊不贊成樓市限購令與收入高低有關(guān)；當(dāng)K2＞時，有99%的把握判定贊不贊成樓市限購令與收入高低有關(guān)．根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，有多大的把握認為贊不贊成樓市限購令與收入高低有關(guān)？分類非高收入族高收入族總計贊成不贊成總計(2)現(xiàn)從月收入在[55，65)的人群中隨機抽取兩人，求所抽取的兩人中至少一人贊成樓市限購令的概率．解：(1)2×2列聯(lián)表如下表所示：分類非高收入族高收入族總計贊成25328不贊成15722總計401050K2＝eq\f(50（25×7－15×3）2,40×10×22×28)≈，故有90%的把握認為樓市限購令與收入高低有關(guān)．(2)設(shè)“從月收入在[55，65)的5人中隨機抽取2人，其中至少有1人贊成樓市限購令”為事件A，則事件A含有基本事件數(shù)為Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(2,3)＝7，從5人中任取2人所含基本事件數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＝10，因此所求概率為eq\f(7,10).歸納升華(1)判斷兩個分類變量之間是否有關(guān)系可以通過等高條形圖作粗略判斷，需要確知所作判斷犯錯誤的概率情況下，可進行獨立性檢驗，獨立性檢驗可以得到較為可靠的結(jié)論．(2)獨立性檢驗的一般步驟：①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；②根據(jù)公式計算K2的值；③比較K2與臨界值的大小關(guān)系，做出統(tǒng)計推斷．[變式訓(xùn)練]調(diào)查某醫(yī)院某段時間內(nèi)嬰兒出生的時間與性別的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)．試問能以多大把握認為嬰兒的性別與出生時間有關(guān)系？性別晚上白天總計男嬰243155女嬰82634總計325789解：由公式K2＝eq\f(（a＋b＋c＋d）（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計算得K2＝eq\f(89×（24×26－8×31）2,55×34×32×57)≈，由于K2＞，所以只有90%的把握說明嬰兒出生的時間與性別有關(guān)，故嬰兒的出生的時間與性別是相互獨立的(也可以說沒有充分的證據(jù)顯示嬰兒的性別與其出生時間有關(guān))．專題三數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想在統(tǒng)計中的應(yīng)用主要是將收集到的數(shù)據(jù)利用圖表的形式表示出來，直觀地反映變量間的關(guān)系．[例3]為了解鉛中毒病人是否有尿棕色素增加現(xiàn)象，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下，問鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別？組別陽性數(shù)陰性數(shù)總計鉛中毒病人29736對照組92837總計383573解：由上述列聯(lián)表可知，在鉛中毒病人中尿棕色素為陽性的占%，而對照組僅占%.說明他們之間有較大差別．根據(jù)列聯(lián)表作出等高條形圖由圖可知，鉛中毒病人中與對照組相比較，尿棕色素為陽性差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性存在關(guān)聯(lián)關(guān)系．歸納升華收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)是統(tǒng)計知識處理問題的兩個基本步驟，將收集到的數(shù)據(jù)利用圖表的形式整理出來，能夠直觀地