高中數(shù)學(xué)人教A版3第三章統(tǒng)計(jì)案例 章末復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯(cuò)提醒]1．線性回歸方程中的系數(shù)及相關(guān)指數(shù)R2，獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K2公式復(fù)雜，莫記混用錯(cuò)．2．相關(guān)系數(shù)r是判斷兩隨機(jī)變量相關(guān)強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)量，相關(guān)指數(shù)R2是判斷線性回歸模型擬合效果好壞的統(tǒng)計(jì)量，而K2是判斷兩分類變量相關(guān)程度的量，應(yīng)注意區(qū)分．3．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，當(dāng)K2≥時(shí)，我們有%的把握認(rèn)為兩分類變量有關(guān)，是指“兩分類變量有關(guān)”這一結(jié)論的可信度為99%而不是兩分類變量有關(guān)系的概率為99%.專題一回歸分析思想的應(yīng)用回歸分析是對(duì)抽取的樣本進(jìn)行分析，確定兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，并用一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化．如果兩個(gè)變量非線性相關(guān)，我們可以通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)問(wèn)題．[例1]一個(gè)車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下表所示：零件數(shù)x/個(gè)102030405060708090100加工時(shí)間y/min627275818595103108112127(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并初步判斷是否線性相關(guān)；(2)若線性相關(guān)，求線性回歸方程；(3)求出相關(guān)指數(shù)；(4)作出殘差圖；(5)進(jìn)行殘差分析；(6)試制訂加工200個(gè)零件的用時(shí)規(guī)定．解：(1)散點(diǎn)圖，如圖所示：由圖可知，x，y線性相關(guān)．(2)x與y的關(guān)系可以用線性回歸模型來(lái)擬合，不妨設(shè)回歸模型為eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(a,\s\up12(^))＋eq\o(b,\s\up12(^))x.因?yàn)閑q\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝55，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝92，0．670，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝92－eq\f(553,825)×55＝eq\f(827,15)≈.故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝＋.(3)利用所求回歸方程求出下列數(shù)據(jù)：yiyi－yi－－－yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－30－20－17－11－7yiyi－yi－－－yi－eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))311162035(4)因?yàn)閑i＝y(tǒng)i－yi，利用上表中數(shù)據(jù)作出殘差圖，如圖所示：(5)由散點(diǎn)圖可以看出x與y有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，由R2的值可以看出回歸效果很好．由殘差圖也可觀察到，第2，5，9，10個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這些樣本點(diǎn)的過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤．(6)將x＝200代入回歸方程，得eq\o(y,\s\up12(^))＝189，所以可以制訂189min加工200個(gè)零件的規(guī)定．歸納升華建立回歸模型的一般步驟：(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；(2)畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系)；(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型，如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，選用線性回歸方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(a,\s\up12(^))＋eq\o(b,\s\up12(^))x；(4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差過(guò)大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等)，若殘差存在異常，則應(yīng)檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等；(6)依據(jù)回歸方程做出預(yù)報(bào)．[變式訓(xùn)練]某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品，在市場(chǎng)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x(x取整數(shù))元與日銷(xiāo)售量y臺(tái)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x/元35404550日銷(xiāo)售y/臺(tái)56412811(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖并說(shuō)明y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果有，求出線性回歸方程(方程的斜率保留一個(gè)有效數(shù)字)；(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P元，根據(jù)(1)寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測(cè)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)x為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)．解：散點(diǎn)圖如圖所示：從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(a,\s\up12(^))＋eq\o(b,\s\up12(^))x，由題意知eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝，eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))＝34,eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\o(\s\up7(—),\s\do3(y))－eq\o(b,\s\up12(^))eq\o(\s\up7(—),\s\do3(x))＝34－(－3)×＝.所以eq\o(y,\s\up12(^))＝－3x＋.(2)依題意有：P＝(－3x＋(x－30)＝－3x2＋－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f,6)))eq\s\up12(2)＋eq\f,12)－4845.所以當(dāng)x＝eq\f,6)≈42時(shí)，P有最大值．即預(yù)測(cè)銷(xiāo)售單價(jià)約為42元時(shí)，能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)．專題二獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)分類變量間是否存在相關(guān)關(guān)系的一種案例分析方法．常用等高條形圖來(lái)直觀反映兩個(gè)分類變量之間差異的大??；利用假設(shè)檢驗(yàn)求隨機(jī)變量K2的值能更精確地判斷兩個(gè)分類變量間的相關(guān)關(guān)系．[例2]為了解某市市民對(duì)政府出臺(tái)樓市限購(gòu)令的態(tài)度，在該市隨機(jī)抽取了50名市民進(jìn)行調(diào)查，他們?cè)率杖?單位：百元)的頻數(shù)分布及對(duì)樓市限購(gòu)令的贊成人數(shù)如下表所示：月收入[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75)頻數(shù)510151055贊成人數(shù)488521將月收入不低于55的人群稱為“高收入族”，有收入低于55的人群稱為“非高收入族”．(1)已知：K2＝eq\f(（a＋b＋c＋d）（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，當(dāng)K2＜時(shí)，沒(méi)有充分的證據(jù)判定贊不贊成樓市限購(gòu)令與收入高低有關(guān)；當(dāng)K2＞時(shí)，有90%的把握判斷贊成樓市限購(gòu)令與收入高低有關(guān)；當(dāng)K2＞，有95%的把握判斷定贊不贊成樓市限購(gòu)令與收入高低有關(guān)；當(dāng)K2＞時(shí)，有99%的把握判定贊不贊成樓市限購(gòu)令與收入高低有關(guān)．根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，有多大的把握認(rèn)為贊不贊成樓市限購(gòu)令與收入高低有關(guān)？分類非高收入族高收入族總計(jì)贊成不贊成總計(jì)(2)現(xiàn)從月收入在[55，65)的人群中隨機(jī)抽取兩人，求所抽取的兩人中至少一人贊成樓市限購(gòu)令的概率．解：(1)2×2列聯(lián)表如下表所示：分類非高收入族高收入族總計(jì)贊成25328不贊成15722總計(jì)401050K2＝eq\f(50（25×7－15×3）2,40×10×22×28)≈，故有90%的把握認(rèn)為樓市限購(gòu)令與收入高低有關(guān)．(2)設(shè)“從月收入在[55，65)的5人中隨機(jī)抽取2人，其中至少有1人贊成樓市限購(gòu)令”為事件A，則事件A含有基本事件數(shù)為Ceq\o\al(2,5)－Ceq\o\al(2,3)＝7，從5人中任取2人所含基本事件數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＝10，因此所求概率為eq\f(7,10).歸納升華(1)判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系可以通過(guò)等高條形圖作粗略判斷，需要確知所作判斷犯錯(cuò)誤的概率情況下，可進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，獨(dú)立性檢驗(yàn)可以得到較為可靠的結(jié)論．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；②根據(jù)公式計(jì)算K2的值；③比較K2與臨界值的大小關(guān)系，做出統(tǒng)計(jì)推斷．[變式訓(xùn)練]調(diào)查某醫(yī)院某段時(shí)間內(nèi)嬰兒出生的時(shí)間與性別的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)．試問(wèn)能以多大把握認(rèn)為嬰兒的性別與出生時(shí)間有關(guān)系？性別晚上白天總計(jì)男嬰243155女?huà)?2634總計(jì)325789解：由公式K2＝eq\f(（a＋b＋c＋d）（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)計(jì)算得K2＝eq\f(89×（24×26－8×31）2,55×34×32×57)≈，由于K2＞，所以只有90%的把握說(shuō)明嬰兒出生的時(shí)間與性別有關(guān)，故嬰兒的出生的時(shí)間與性別是相互獨(dú)立的(也可以說(shuō)沒(méi)有充分的證據(jù)顯示嬰兒的性別與其出生時(shí)間有關(guān))．專題三數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用主要是將收集到的數(shù)據(jù)利用圖表的形式表示出來(lái)，直觀地反映變量間的關(guān)系．[例3]為了解鉛中毒病人是否有尿棕色素增加現(xiàn)象，分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下，問(wèn)鉛中毒病人和對(duì)照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有無(wú)差別？組別陽(yáng)性數(shù)陰性數(shù)總計(jì)鉛中毒病人29736對(duì)照組92837總計(jì)383573解：由上述列聯(lián)表可知，在鉛中毒病人中尿棕色素為陽(yáng)性的占%，而對(duì)照組僅占%.說(shuō)明他們之間有較大差別．根據(jù)列聯(lián)表作出等高條形圖由圖可知，鉛中毒病人中與對(duì)照組相比較，尿棕色素為陽(yáng)性差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性存在關(guān)聯(lián)關(guān)系．歸納升華收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)知識(shí)處理問(wèn)題的兩個(gè)基本步驟，將收集到的數(shù)據(jù)利用圖表的形式整理出來(lái)，能夠直觀地