高中數(shù)學(xué)人教A版3第二章隨機(jī)變量及其分布單元測試 公開課獎

2.3第一課時離散型隨機(jī)變量的均值一、課前準(zhǔn)備1．課時目標(biāo)(1)理解離散型隨機(jī)變量的均值的定義；(2)能熟練應(yīng)用離散型隨機(jī)變量的均值公式求值；(3)能熟練應(yīng)用二項分布、兩點(diǎn)分布、超幾何分布的均值公式求值.2．基礎(chǔ)預(yù)探1．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X……P……則稱_______________________為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.2.兩點(diǎn)分布：若X服從兩點(diǎn)分布，則EX＝__________.3.二項分布：若隨機(jī)變量X服從二項分布，即，則___________.4.超幾何分布：若隨機(jī)變量X服從N，M，n的超幾何分布，故=___________.二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值的關(guān)系隨機(jī)變量的均值反映的是離散型隨機(jī)變量的平均取值水平．隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個隨機(jī)變量，它隨樣本抽取的不同而變化.對于簡單隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值．2.求隨機(jī)變量的均值的步驟①分析隨機(jī)變量的特點(diǎn)，若為兩點(diǎn)分布、二項分布、超幾何分布模型，則直接套用公式；②否則，根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量，分析隨機(jī)變量的取值；③列出分布列；④利用離散型隨機(jī)變量的均值公式求解．3.試驗次數(shù)對隨機(jī)變量的均值有沒有影響假設(shè)隨機(jī)試驗進(jìn)行了ｎ次，其中出現(xiàn)了次，出現(xiàn)了次，…，出現(xiàn)了次；故X出現(xiàn)的總值為＋＋…＋.因此ｎ次試驗中，X出現(xiàn)的均值，即＝.由此可以看出，試驗次數(shù)對隨機(jī)變量的均值沒有影響.三、典例導(dǎo)析題型一離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天分別生產(chǎn)出了1件、2件次品，而質(zhì)檢部每天要從生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查，若發(fā)現(xiàn)有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過.（Ⅰ）求第一天通過檢查的概率；（Ⅱ）求前兩天全部通過檢查的概率；（Ⅲ）若廠內(nèi)對車間生產(chǎn)的產(chǎn)品采用記分制：兩天全不通過檢查得0分，通過1天、2天分別得1分、2分，求該車間在這兩天內(nèi)得分X的數(shù)學(xué)期望．思路導(dǎo)析：先利用古典概型的知識求的第一二天通過檢查的概率；再利用相互獨(dú)立事件的概率乘法便可求的前兩天全部通過檢查的概率；列出X可能的取值，求出其分布列便可利用公式求X的均值．解：（I）因為隨意抽取4件產(chǎn)品檢查是隨機(jī)事件，而第一天有9件正品．所以，第一天通過檢查的概率為． （II）同（I），第二天通過檢查的概率為．因第一天，第二天是否通過檢查相互獨(dú)立所以，兩天全部通過檢查的概率為： ．（Ⅲ）記該車間在這兩天內(nèi)得分X的值分別為0，1，2，所以，，． 因此，．方法規(guī)律：求一般離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，需先找出隨機(jī)變量X的可能取值，求出X中每個值的概率，然后利用定義求期望．變式訓(xùn)練：甲、乙兩人分別獨(dú)立參加某高校自主招生面試，若甲、乙能通過面試的概率都是，則面試結(jié)束后通過的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是()．A． B． C． D．題型二常見離散型分布模型的數(shù)學(xué)期望例2根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3，設(shè)各車主購買保險相互獨(dú)立（I）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；（Ⅱ）X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)，求X的期望.思路導(dǎo)析：由題意可知A、B是互斥的，故可利用互斥事件的概率公式求解．（II）顯然符合二項分布模型，故可直接利用公式得到均值．解：記A表示事件：該地的1位車主購買甲種保險；B表示事件：該地的1位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C表示事件：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種；D表示事件：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；（I） （II）因為，所以期望 方法規(guī)律：隨機(jī)變量如服從二點(diǎn)分布、二項分布、超幾何分布，求其數(shù)學(xué)期望時可直接套用公式求解，回避繁瑣的求分布列計算過程．變式訓(xùn)練：某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機(jī)變量X表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望_____（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.題型三數(shù)學(xué)期望的實際應(yīng)用例3某班將要舉行籃球投籃比賽，比賽規(guī)則是：每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次.在A區(qū)每進(jìn)一球得2分，不進(jìn)球得0分；在B區(qū)每進(jìn)一球得3分，不進(jìn)球得0分，得分高的選手勝出.已知參賽選手甲在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進(jìn)球的概率分別為和，如果選手甲以在A、B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)，問選手甲應(yīng)該選擇哪個區(qū)投籃？思路導(dǎo)析：顯然，選手甲投籃的進(jìn)球數(shù)服從二項分布，從而可利用公式分別求出選手甲在兩個區(qū)得分的期望，從而選擇在那個區(qū)投籃．解：設(shè)選手甲在A區(qū)投兩次籃的進(jìn)球數(shù)為，則，故，則選手甲在A區(qū)投籃得分的期望為.設(shè)選手甲在B區(qū)投籃的進(jìn)球數(shù)為，則，故，則選手甲在B區(qū)投籃得分的期望為.因為，所以選手甲應(yīng)該選擇A區(qū)投籃.方法規(guī)律：數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，利用數(shù)學(xué)期望可以解決實際問題中質(zhì)量的好壞、產(chǎn)量的高低等問題．變式訓(xùn)練：一軟件開發(fā)商開發(fā)一種新的軟件，投資50萬元，開發(fā)成功的概率為0.9，若開發(fā)不成功，則只能收回10萬元的資金，若開發(fā)成功，投放市場前，召開一次新聞發(fā)布會，召開一次新聞發(fā)布會不論是否成功都需要花費(fèi)10萬元，召開新聞發(fā)布會成功的概率為0.8，若發(fā)布成功則可以銷售100萬元，否則將起到負(fù)面作用只能銷售60萬元，而不召開新聞發(fā)布會則可以銷售75萬元.（1）求軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布的概率.（2）求開發(fā)商盈利的最大期望值.四、隨堂練習(xí)1．隨機(jī)變量，則()．A．３B．１ C．3 D．２2．已知隨機(jī)變量滿足，則等于（）．A．0.3B．0.6C．0.7D．13.某陶瓷廠為了提高產(chǎn)品的質(zhì)量，鼓勵工人嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，制定了獎懲4.已知X的分布列為則EX=____________．5．一種投骰子的游戲規(guī)則是：交一元錢可擲一次骰子，若骰子朝上的點(diǎn)數(shù)是1，則中獎4元；若點(diǎn)數(shù)是2或3，則中獎1元；若點(diǎn)數(shù)為4或5或6，則無獎，某人投擲一次，那么他賺錢金額的期望為.6.假定每人生日在各個月份的機(jī)會是相等的，求3個人中生日在第一季度的平均人數(shù).五、課后作業(yè)1．設(shè)隨機(jī)變量等于（）．A．0.1B．0.2C．0.3D．0.42.甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，表示甲機(jī)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，表示乙機(jī)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時間的考查，、的分布列分是X0l23P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判斷A．甲比乙質(zhì)量好B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同D．無法判定3．考察一種耐高溫材料的一個重要指標(biāo)是看其是否能夠承受600度的高溫．現(xiàn)有一種這樣的材料，已知其能夠承受600度高溫的概率是0.7，若令隨機(jī)變量，則的均值為____________．4．從編號為1，2，3，4，5的五個大小完全相同的小球中隨機(jī)取出3個，用表示其中編號為奇數(shù)的小球的個數(shù)，則.5.某城市有甲、乙、丙三個旅游景點(diǎn)，一位游客游覽這三個景點(diǎn)的概率分別是0.4、0.5、0.6，且游客是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響，用表示該游客離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值．求的分布列及均值.6.在某電視節(jié)目的一次有獎競猜活動中，主持人準(zhǔn)備了、兩個相互獨(dú)立的問題，并且宣布：幸運(yùn)觀眾答對問題可獲獎金元，答對問題可獲獎金元，先答哪個題由觀眾自由選擇，但只有第一個問題答對，才能再答第二題，否則終止答題．若你被選為幸運(yùn)觀眾，且假設(shè)你答對問題、的概率分別為、．（Ⅰ）記先回答問題獲得的獎金數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的取值分別是多少？（Ⅱ）你覺得應(yīng)先回答哪個問題才能使你獲得更多的獎金？請說明理由．參考答案2.3第一課時離散型隨機(jī)變量的均值2．基礎(chǔ)預(yù)探1.2.ｐ3.np4.三、典例導(dǎo)析例1變式訓(xùn)練答案：A解析：X的可能取值為0，1，2，則，，所以．例2變式訓(xùn)練答案：解析：隨機(jī)變量X服從N=7，M=2，n=2的超幾何分布，故=．例3變式訓(xùn)練解：（1）設(shè)A=“軟件開發(fā)成功”，B=“新聞發(fā)布會召開成功”，則“軟件成功開發(fā)且成功在發(fā)布會上發(fā)布”的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.（2）設(shè)不召開新聞發(fā)布會盈利為X，則X的可能取值為萬元、25萬元，故其盈利的期望值是(萬元)；開發(fā)成功且新聞發(fā)布會成功的概率為，開發(fā)成功新聞發(fā)布會不成功的概率為．設(shè)召開新聞發(fā)布會盈利為Y，則Y的可能取值萬元、50萬元、10萬元、萬元，故其盈利的期望值（萬元）．故開發(fā)商應(yīng)該召開新聞發(fā)布會，且盈利的最大期望是24.8萬元.四、隨堂練習(xí)1．答案：B解析：因為，所以．2．答案：A解析：根據(jù)題意隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，所以．3..4.答案：3解析：.5．答案：0解析:設(shè)賺錢金額為X元，則X的可能取值為3，0，，所以6.解：由題意知每人在第一季度的概率為，又得3人中生日在第一季度的人數(shù)為，則～B(3,)，所以,因此，第一季度的平均人數(shù)為.五、課后作業(yè)1．答案：D解析：因為，所以．2.答案：A解析：因為=0.6；．所以，說明平均來看，甲的次品數(shù)要少．3．答案：0.7解析：依題意服從兩點(diǎn)分布，其分布列為X100.70.3所以的均值是=0.7．4．答案：解析：隨機(jī)變量服從N=5，M=3，n=3的超幾何分布，故.5.解析：分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”、“客人游覽丙景點(diǎn)”為事件．由已知可知