高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點直線平面之間的位置關(guān)系單元測試【省一等獎】

第二章空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系測試題一、選擇題（本大題共12題，每小題5分，共60分）1.已知平面α內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面β平行，那么（）A．α∥β B．α與β相交 C．α與β重合 D．α∥β或α與β相交2.兩條直線a，b滿足a∥b，b，則a與平面的關(guān)系是()∥與相交 與不相交 3.對于命題：①平行于同一直線的兩個平面平行；②平行于同一平面的兩個平面平行；③垂直于同一直線的兩直線平行；④垂直于同一平面的兩直線平行.其中正確的個數(shù)有()A.1個B.2個C.3個D.4個4.經(jīng)過平面外兩點與這個平面平行的平面 （）A．只有一個 B．至少有一個 C．可能沒有 D．有無數(shù)個5.過三棱柱的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面平行的直線共有（）A.3條B.4條C.5條D.6條6.a，b是兩條異面直線，下列結(jié)論正確的是（）A.過不在a，b上的任一點P，可作一個平面與a，b平行B.過不在a，b上的任一點P，可作一條直線與a，b相交C.過不在a，b上的任一點P，可作一條直線與a，b都平行D.過a可以并且只可以作一平面與b平行7.是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A． B． C． D．8.如圖1，正四面體的棱長均為，且平面于A，點B，C，D均在平面外，且在平面同一側(cè)，則點B到平面的距離是（）A．B．C．D．圖1圖29.如圖2，已知六棱錐的底面是正六邊形，，則下列結(jié)論正確的是Ａ.Ｂ.平面C.直線∥平面Ｄ.10.點P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為 （）A．30°B．45° C．60° D．90°11.已知二面角的大小為，為空間中任意一點，則過點且與平面和平面所成的角都是的直線的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．512.在正四棱柱中，頂點到對角線和到平面的距離分別為和，則下列命題中正確的是（）A．若側(cè)棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為B．若側(cè)棱的長小于底面的邊長，則的取值范圍為C．若側(cè)棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為D．若側(cè)棱的長大于底面的邊長，則的取值范圍為二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.給出下列命題:①過平面外一點有且僅有一個平面與已知平面垂直；②過直線外一點有且僅有一個平面與已知直線平行；③過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線垂直；④過平面外一點有且僅有一條直線與已知平面垂直.其中正確命題的個數(shù)為.14.已知平面，，，直線，滿足：，∩＝,∩＝，.由上述條件可推出的結(jié)論有_______.①；②；③；④.15如圖3，△ABC和△DBC所在兩平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,則AD與平面BCD所成的角為.16在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與過點A，E，C的平面的位置關(guān)系是.三、解答題（本大題共6小題，共70分）CBAA1B1C1D17.(10分)CBAA1B1C1D(1)；(2)平面．ABB1CC1ABB1CC1A1MN垂直，，，分別是，的中點．（1）證明：；（2）判斷直線和平面的位置關(guān)系，并加以證明．ABCDA1B1C1D1EF19.ABCDA1B1C1D1EF(1)求證：平面⊥平面；(2)如果，一個動點從點出發(fā)在正方體的表面上依次經(jīng)過棱,,,,上的點，最終又回到點，指出整個路線長度的最小值并說明理由.20.(12分)如圖7，四棱錐S—ABCD的底面是邊長為的菱形，且，點E是SC上的點，且（1）求證：對任意的，都有；（2）若平面BED，求直線SA與平面BED所成角的大小.21.(12分)某廠根據(jù)市場需求開發(fā)折疊式小凳，如圖8所示.凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細(xì)鋼管.考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設(shè)計小凳應(yīng)滿足：①凳子高度為，②三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面.（1）若凳面是邊長為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節(jié)點分細(xì)鋼管上下兩段的比值（精確到）；（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為，節(jié)點分細(xì)鋼管上下兩段之比為.確定三根細(xì)鋼管的長度（精確到）(12分)如圖9所示，在邊長為12的正方形AA'A1'A1中，點B，C在線段AA'上，且AB＝3，BC＝4，作BB1圖109ABC圖109ABCA1B1C1PQ圖9ABCA'A1B1C1A1'PQ5.取中點，直線分別為都與平面平行.6.如圖所示，在直線a上任取一點P，過P作b′∥b，則a∩b′=P.那么a與b′確定一個平面α.因為b∥b′，b′α，bα，所以b∥α.所以過a可以作一個平面α與b平行.假設(shè)還可作一平面β與b平行，則α∩β=a，b∥α，b∥β，所以a∥b.這與a、b異面相矛盾，即假設(shè)不成立.所以只有一個平面α.綜上所述，過a有且只有一個平面與b平行.故選D.7.均為直線，其中平行，可以相交也可以異面，故A不正確；m，n⊥α則同垂直于一個平面的兩條直線平行；選D8．取AD的中點M，易證平面，故平面平面，平面到平面的距離為，即為B到平面的距離.9.因AD與AB不相互垂直，排除A；作于，因平面平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB與BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜線，故排除C，故選擇D.10.將圖形補(bǔ)成一個正方體如圖，則PA與BD所成角等于BC′與BD所成角即∠DBC′．在等邊三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA與BD所成角為60°．12.設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為，過作.在中，，由三角形面積關(guān)系得設(shè)在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故為點到平面的距離，在中，又由三角形面積關(guān)系得于是，于是當(dāng)，所以，所以二、填空題個14.②④15.45°∥平面AEC提示：13.①②③錯誤,④正確.14.因為∩＝，所以l∈，l∈，又因為，∩＝，，所以l⊥，所以.故填②④.15.作AO⊥CB的延長線，連接OD，則OD即為AD在平面BCD上的射影，因為AO=OD=a,所以∠ADO=45°.16.連接AC，BD相交于一點O，連接OE，AE，EC.因為四邊形ABCD為正方形，所以DO＝BO.而DE＝D1E，所以EO為△DD1B的中位線，所以EO∥D1B,所以BD1∥平面AEC.三、解答題17.證明:（1）因為三棱柱是正三棱柱，所以平面，又平面，所以.CBAA1B1C1DECBAA1B1C1DE因為，所以平面，又因為平面，所以．(2)連接交于點，再連接．因為四邊形為矩形，所以為的中點，又因為為的中點，所以.又平面，平面，所以平面．18.證明：(1)因為平面，又平面，所以．由條件，即，且，所以平面．又平面，所以．（2）平面，證明如下：設(shè)的中點為，連接，．因為，分別是，的中點，所以．又=，，所以．所以四邊形是平行四邊形．所以．因為平面，平面，所以平面．19.（1）證明:因為在正方體中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1.又因為在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1.又因為B1D1平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．(2)最小值為.如圖，將正方體六個面展開成平面圖形，從圖中F到F，兩點之間線段最短，而且依次經(jīng)過棱BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA上的中點，所求的最小值為.20解：（1）連結(jié)BD，AC，設(shè)BD與AC交于O.由底面是菱形，得，O為BD中點， 又，面SAC.又面SAC，（2）取SC的中點F，連結(jié)OF，OE， 與平面EDB所成的角就是SA與平面EDB所成的角. 平面BED，面BED，E為垂足，為所求角.在等腰中，， 得底邊SB上的高為，.所以在所以在中，即直線SA與平面BED所成角為21解：（1）設(shè)△的重心為，連結(jié).由題意，得.設(shè)細(xì)鋼管上下兩段之比為.已知凳子高度為.則.因為節(jié)點與凳面三角形重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行.所以就是與平面所成的角，亦即.，解得.即節(jié)點分細(xì)鋼管上下兩段的比值約為.（2）設(shè)，.設(shè)△的重心為，則，由節(jié)點分細(xì)鋼管上下兩段之比為，可知.設(shè)過點的細(xì)鋼管分別為，則，，所以對應(yīng)于三點的三根細(xì)鋼管長度分別為，和.22.（1）證明:在正方形AA'A1'A1中，因為A'C＝AA'－AB－BC＝5，所以三棱柱ABC－A1B1C1的底面三角形ABC的邊AC＝5．因為AB＝3，BC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2．所以AB⊥BC．因為四邊形AA'A1'A1為正方形，BB1//AA1，所以AB⊥BB1．而BC∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1．(2)解：因為AB⊥平面BCC1B1，所以AB為四棱錐A－BCQP的高．因為四邊形BCQP為直角梯形，且BP＝AB＝3，CQ＝AB＋BC＝7，所以梯形BCQP的面積為SBCQP＝eq\f(1,2)(BP＋CQ)×BC＝20．所以四棱錐A－BCQP的體積VA－BCQP＝eq\f(1,3)SBCQP