高中數(shù)學北師大版第二章解析幾何初步單元測試學業(yè)分層測評22

學業(yè)分層測評(二十二)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．圓O1：x2＋y2＋2x＋4y＋3＝0與圓O2：x2＋y2－4x－2y－3＝0的位置關系是()A．內(nèi)切 B．外切C．相交 D．相離【解析】圓O1：(x＋1)2＋(y＋2)2＝2，圓O2：(x－2)2＋(y－1)2＝8，∴|O1O2|＝eq\r(－1－22＋－2－12)＝3eq\r(2)＝r1＋r2.【答案】B2．圓x2＋y2－2x－5＝0和圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交點為A、B，則線段AB的垂直平分線的方程為()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0【解析】圓x2＋y2－2x－5＝0化為標準方程是(x－1)2＋y2＝6，其圓心是(1,0)；圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0化為標準方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圓心是(－1,2)．線段AB的垂直平分線就是過兩圓圓心的直線，驗證可得A正確．【答案】A3．圓x2＋y2＝50與圓x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦長為()\r(5) \r(6)C．2eq\r(5) D．2eq\r(6)【解析】x2＋y2＝50與x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得兩圓公共弦所在的直線方程為2x＋y－15＝0，圓x2＋y2＝50的圓心(0,0)到2x＋y－15＝0的距離d＝3eq\r(5)，因此，公共弦長為2eq\r(5\r(2)2－3\r(5)2)＝2eq\r(5).【答案】C4．半徑長為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，則此圓的方程為()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝36【解析】設圓心坐標為(a，b)，∵半徑長為6的圓與x軸相切，且與圓x2＋(y－3)2＝1內(nèi)切，結(jié)合圖形(圖略)可得b＝6，又兩圓內(nèi)切，則兩圓圓心的距離為半徑之差，eq\r(a2＋32)＝5解得a＝±4，故所求圓的方程為(x±4)2＋(y－6)2＝36.【答案】D5．已知半徑為1的動圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9【解析】設動圓圓心為(x，y)，若動圓與已知圓外切，則eq\r(x－52＋y＋72)＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若動圓與已知圓內(nèi)切，則eq\r(x－52＋y＋72)＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.【答案】D二、填空題6．圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交點坐標為________．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1.))【答案】(－1,0)和(0，－1)7．已知兩圓相交于兩點A(1,3)和B(m,1)，且兩圓的圓心都在直線x－y＋eq\f(c,2)＝0上，則m＋c的值是________．【解析】由條件知，兩點A(1,3)和B(m,1)的垂直平分線方程就是直線x－y＋eq\f(c,2)＝0，∴AB的中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)，2))在直線x－y＋eq\f(c,2)＝0上，即eq\f(1＋m,2)－2＋eq\f(c,2)＝0，即m＋c＝3.【答案】38．已知圓O的方程是x2＋y2－2＝0，圓O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是________．【解析】圓O的圓心為O(0,0)，半徑r＝eq\r(2)；⊙O′的圓心為O′(4,0)，半徑r′＝eq\r(6).設點P(x，y)，由切線長(用勾股定理表示切線長)相等得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，即x＝eq\f(3,2)，這就是動點P的軌跡方程．【答案】x＝eq\f(3,2)三、解答題9．求圓心為(2,1)且與已知圓x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直線經(jīng)過點(5，－2)的圓的方程．【解】設所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0 ①，已知圓的方程為x2＋y2－3x＝0 ②，②－①得公共弦所在直線的方程為x＋2y－5＋r2＝0，又此直線經(jīng)過點(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.10．求過兩圓x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交點，且圓心在直線x－eq\r(3)y－6＝0上的圓的方程.【導學號：10690068】【解】法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－\r(3)，))因為點(1,eq\r(3))和(1，－eq\r(3))都在直線x＝1上，故過這兩個點的圓的圓心在x軸上，又圓心在直線x－eq\r(3)y－6＝0上，∴圓心為(6,0)，半徑r＝eq\r(6－12＋\r(3)2)＝eq\r(28)，∴圓的方程為(x－6)2＋y2＝28.法二：設所求圓的方程為：x2＋y2－4＋λ(x2＋y2－4x)＝0(λ≠－1)．整理得：x2＋y2－eq\f(4λ,1＋λ)x－eq\f(4,1＋λ)＝0，∵圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2λ,1＋λ)，0))在直線x－eq\r(3)y－6＝0上，∴eq\f(2λ,1＋λ)－6＝0，解得λ＝－eq\f(3,2)，∴所求圓的方程為x2＋y2－12x＋8＝0.[能力提升]1．點P在圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，點Q在圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，則|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．3eq\r(5)－5 D．3eq\r(5)＋5【解析】圓C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圓心為C1(4,2)；圓C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圓心為C2(－2，－1)，兩圓相離，|PQ|的最小值為|C1C2|－(r1＋r2)＝3eq\r(5)－5.【答案】C2．設兩圓C1，C2都和兩坐標軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離|C1C2|＝()A．4 B．4eq\r(2)C．8 D．8eq\r(2)【解析】∵兩圓與兩坐標軸都相切，且都經(jīng)過點(4,1)，∴兩圓圓心均在第一象限且橫、縱坐標相等．設兩圓的圓心分別為(a，a)，(b，b)，則有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b為方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的兩個根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17，∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝eq\r(a－b2＋a－b2)＝eq\r(32×2)＝8.【答案】C3．與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標準方程是________．【解析】曲線化為(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圓心C1(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離為d＝eq\f(|6＋6－2|,\r(2))＝5eq\r(2).過點C1且垂直于x＋y－2＝0的直線為y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圓的圓心C2在直線y＝x上，如圖所示，圓心C2到直線x＋y－2＝0的距離為eq\f(5\r(2)－3\r(2),2)＝eq\r(2)，則圓C2的半徑長為eq\r(2).設C2的坐標為(x0，y0)，則eq\f(|x0＋y0－2|,\r(2))＝eq\r(2)，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圓心坐標為(2,2)，所以所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝24．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直線l1過定點A(1,0)，且與圓C相切，求l1的方程；(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線l2：x＋y－2＝0上，且與圓C外切，求圓D的方程．【解】(1)①若直線l1的斜率不存在，即直線是x＝1，符合題意；②若直線l1的斜率存在，設直線l1為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由題意知，圓心(3,4)到已知直線l1的距離等于半徑2，即eq\f(|3k－4－k|,\r(k2＋1))＝2