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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.2.執(zhí)行下面的程序框圖,若輸出的的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是()A. B. C. D.3.已知函數(shù),將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)保持不變;再把所得圖象向上平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,若,則的值可能為()A. B. C. D.4.若為過橢圓中心的弦,為橢圓的焦點(diǎn),則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.605.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì),平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診,其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種6.在條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.27.已知為銳角,且,則等于()A. B. C. D.8.是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知集合,,則()A. B.C. D.10.已知,則()A.5 B. C.13 D.11.等比數(shù)列中,,則與的等比中項(xiàng)是()A.±4 B.4 C. D.12.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù)滿約束條件,則的最大值為___________.14.在正方體中,為棱的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且,則異面直線與所成角的余弦值為__________.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足,則數(shù)列的通項(xiàng)_______.16.若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為,,若,則該雙曲線的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,點(diǎn)是線段的中點(diǎn),,求的面積.18.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:19.(12分)如圖,已知拋物線:與圓:()相交于,,,四個(gè)點(diǎn),(1)求的取值范圍;(2)設(shè)四邊形的面積為,當(dāng)最大時(shí),求直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).20.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若函數(shù),若對于任意的,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過定點(diǎn),且與定直線相切(其中a為常數(shù),且).記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線?(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,過點(diǎn)P作曲線C的切線,切點(diǎn)為A,若過點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M,N兩點(diǎn),則是否存在直線m,使得?若存在,求出直線m斜率的取值范圍;若不存在,請說明理由.22.(10分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.(1)求的值;(2)填寫下面列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長的計(jì)算,計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、B【解析】
根據(jù)程序框圖,逐步執(zhí)行,直到的值為63,結(jié)束循環(huán),即可得出判斷條件.【詳解】執(zhí)行框圖如下:初始值:,第一步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第二步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第三步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第四步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第五步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第六步:,此時(shí)要輸出,結(jié)束循環(huán);故,判斷條件為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查完善程序框圖,只需逐步執(zhí)行框圖,結(jié)合輸出結(jié)果,即可確定判斷條件,屬于常考題型.3、C【解析】
利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡,然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為,可得函數(shù)的值域?yàn)?,結(jié)合條件,可得出、均為函數(shù)的最大值,于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍,由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù),將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,得的圖象;再把所得圖象向上平移個(gè)單位,得函數(shù)的圖象,易知函數(shù)的值域?yàn)?若,則且,均為函數(shù)的最大值,由,解得;其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo),的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍,且.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換,同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題,解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.4、D【解析】
先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時(shí),此時(shí)面積最大,再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,則的面積為,當(dāng)最大時(shí),的面積最大,由圖象可知,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí),此時(shí)的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以的面積的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.5、B【解析】
根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分配問題,解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于常考題型.6、B【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最值點(diǎn),再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),有最大值為,即,故..當(dāng),即時(shí)等號成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.7、C【解析】
由可得,再利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,,所以,所?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生對三角函數(shù)式化簡求值公式的靈活運(yùn)用的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,該點(diǎn)位于第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運(yùn)算可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
先化簡復(fù)數(shù),再求,最后求即可.【詳解】解:,,故選:C【點(diǎn)睛】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.11、A【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得,即可得出.【詳解】設(shè)與的等比中項(xiàng)是.
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,.
∴與的等比中項(xiàng)
故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對于甲,;對于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯(cuò)誤;對于甲,方差.5,對于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計(jì)算能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、8【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件,畫出可行域,圖中陰影部分為可行域.又目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸上的截距,由圖可知當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)截距最大,故的最大值為8.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.14、【解析】
根據(jù)題意畫出幾何題,建立空間直角坐標(biāo)系,寫個(gè)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫出幾何圖形,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系:設(shè)正方體的棱長為1,則所以所以,所以異面直線與所成角的余弦值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角的求法,利用空間向量求異面直線夾角,屬于中檔題.15、【解析】
先求得時(shí);再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得;由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.16、2【解析】
由題得,再根據(jù)求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線求離心率的問題.屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理的邊化角公式,結(jié)合兩角和的正弦公式,即可得出的值;(2)由題意得出,兩邊平方,化簡得出,根據(jù)三角形面積公式,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)由正弦定理得即即在中,,所以(2)因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn),所以兩邊平方得由得整理得,解得或(舍)所以的面積【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的邊化角公式,三角形的面積公式,屬于中檔題.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)分三種情況去絕對值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當(dāng)時(shí),取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,∴.令,.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當(dāng)時(shí),.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法,屬中檔題.本題主要考查了絕對值不等式的求解,以及不等式的恒成立問題,其中解答中根據(jù)絕對值的定義,合理去掉絕對值號,及合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵,著重考查分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.19、(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】
將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程,拋物線與圓有四個(gè)交點(diǎn)需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.不妨設(shè)拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達(dá)式,令,由及知,對關(guān)于的面積函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),判斷其單調(diào)性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時(shí)的值,進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)聯(lián)立拋物線與圓的方程消去,得.由題意可知在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.所以解得,所以的取值范圍為.(2)根據(jù)(1)可設(shè)方程的兩個(gè)根分別為,(),則,,,,且,,所以直線、的方程分別為,,聯(lián)立方程可得,點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?所以,令,則,所以,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即當(dāng)時(shí),四邊形的面積取得最大值,因?yàn)?點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以當(dāng)四邊形的面積取得最大值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線相關(guān)的最值問題;考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和知識的綜合運(yùn)用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.20、(1)(2)【解析】
(1)將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用絕對值三角不等式,求得的取值范圍,根據(jù)分段函數(shù)解析式,求得的取值范圍,結(jié)合題意列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1),由得或或;解得.故所求解集為.(2),即.由(1)知,所以,即.∴,∴.【點(diǎn)睛】本小題考查了絕對值不等式,絕對值三角不等式和函數(shù)最值問題,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想.21、(1),拋物線;(2)存在,.【解析】
(1)設(shè),易得,化簡即得;(2)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得,要使,只需.聯(lián)立直線m與拋物線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決.【詳解】(1)設(shè),由題意,得,化簡得,所以動圓圓心Q的軌跡方程為,它是以F為焦點(diǎn),以直線l為準(zhǔn)線
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