高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3．3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)18

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十八)極大值與極小值(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、填空題1.函數(shù)y＝2－x2－x3的極大值為_(kāi)_______；極小值為_(kāi)_______.【解析】∵y′＝－2x－3x2＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－eq\f(2,3).函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))，(0，＋∞)上都遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))上遞增，所以函數(shù)的極大值為f(0)＝2，極小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(50,27).【答案】2eq\f(50,27)2.函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx(x＞0)的極小值為_(kāi)_______.【解析】∵f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx(x＞0)，∴f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x).由f′(x)＝0解得x＝2.當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù).∴x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx的極小值為f(2)＝1＋ln2.【答案】1＋ln23.若函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1處取得極值，則a＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830086】【解析】f′(x)＝eq\f(x2＋2x－a,x＋12)(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1處取得極值，則f′(1)＝0，解得a＝3.【答案】34.已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖3-3-6所示，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于________.圖3-3-6【解析】由圖象可知f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,0)與(2,0)，x1，x2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的兩根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).【答案】eq\f(8,3)5.函數(shù)y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的極大值為_(kāi)_____.【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.當(dāng)－2＜x＜－1時(shí)，y′＞0；當(dāng)－1＜x＜2時(shí)，y′＜0.所以當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為5，無(wú)極小值.【答案】56.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋c，其導(dǎo)函數(shù)圖象如圖3-3-7所示，則函數(shù)f(x)的極小值是________.圖3-3-7【解析】由函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上遞減，在(0,2)上遞增，所以函數(shù)f(x)在x＝0時(shí)取得極小值c.【答案】c7.若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】令f(x)＝0得a＝3x－x3，于是y＝a和y＝3x－x3有3個(gè)不同交點(diǎn)，畫(huà)出y＝3x－x3的圖象即可解決.結(jié)合下圖，可知－2＜a＜2.【答案】－2＜a＜28.如果函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖3-3-8所示，給出下列判斷：圖3-3-8①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))內(nèi)單調(diào)遞增；②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))內(nèi)單調(diào)遞減；③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；④當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極小值；⑤當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有極大值.則上述判斷中正確的是________(填序號(hào)).【解析】從圖象知，當(dāng)x∈(－3，－2)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))內(nèi)不單調(diào)，同理，函數(shù)y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))內(nèi)也不單調(diào)，故①②均不正確；當(dāng)x∈(4,5)時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增，故③正確；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右兩側(cè)的附近分別有f′(x)＞0與f′(x)＜0，所以當(dāng)x＝2時(shí)函數(shù)y＝f(x)取得極大值，而在x＝－eq\f(1,2)的左、右兩側(cè)的附近均有f′(x)＞0，所以x＝－eq\f(1,2)不是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，即④⑤均不正確.故填③.【答案】③二、解答題9.求函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)－2的極值.【解】函數(shù)的定義域?yàn)椤?x)＝eq\f(2x2＋1－4x2,x2＋12)＝－eq\f(2x－1x＋1,x2＋12)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)極小值極大值由表可知，當(dāng)x＝－1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(－1)＝－3.當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(1)＝－1.10.已知函數(shù)y＝ax3＋bx2，當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)有極大值3.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)y的極小值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830087】【解】(1)y′＝3ax2＋2bx，當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝3a＋2b＝0，又因?yàn)閥＝a＋b＝3，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝0，,a＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝9.))(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1.∴當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)y取得極小值0.[能力提升]1.若函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵函數(shù)f(x)有極大值和極小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)2.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________.【解析】∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依題意，函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故f(1)f(3)＜0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)＜0，∴0＜abc＜4，∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③正確.【答案】②③3.若函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋3a在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)b【解析】f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則有0＜b＜1.當(dāng)0＜x＜b時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)b＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0，符合題意.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是0＜b＜1.【答案】0＜b＜14.設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R.(1)當(dāng)m＝e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；(2)當(dāng)m≤0時(shí)，確定函數(shù)g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解】(1)由題設(shè)，當(dāng)m＝e時(shí)，f(x)＝lnx＋eq\f(e,x)，則f′(x)＝eq\f(x－e,x2)，∴當(dāng)x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，∴x＝e時(shí)，f(x)取得極小值f(e)＝lne＋eq\f(e,e)＝2，∴f(x)的極小值為2.(2)由題設(shè)g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)＝eq\f(1,x)－eq\f(m,x2)－eq\f(x,3)(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－eq\f(1,3)x3＋x(x＞0).設(shè)φ(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x(