高中數(shù)學(xué)人教B版1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3章32

3.2.3導(dǎo)數(shù)的四則運算法則1．掌握導(dǎo)數(shù)的和、差、積、商的四則運算法則．(重點)2．會利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理導(dǎo)數(shù)的四則運算法則閱讀教材P89～P90例1上面內(nèi)容，完成下列問題．導(dǎo)數(shù)的運算法則設(shè)兩個函數(shù)f(x)，g(x)可導(dǎo)，則和的導(dǎo)數(shù)[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)差的導(dǎo)數(shù)[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)積的導(dǎo)數(shù)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)商的導(dǎo)數(shù)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，則f′(a)＝2a＋2x(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝－eq\f(f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．()(3)運用法則求導(dǎo)時，不用考慮f′(x)，g′(x)是否存在．()【答案】(1)×(2)√(3)×[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑問2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑問3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小組合作型]利用求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝eq\f(x＋3,x2＋3)；(4)y＝xsinx－eq\f(2,cosx)；(5)y＝eq\f(\r(x5)＋\r(x7)＋\r(x9),\r(x))；(6)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2).【導(dǎo)學(xué)號：25650114】【精彩點撥】解答本題可先確定式子的形式，再用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和四則運算法則求解．【自主解答】(1)y′＝(x·tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f(sinxcosx＋x,cos2x).(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(3)y′＝eq\f(x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′,x2＋32)＝eq\f(－x2－6x＋3,x2＋32).(4)y′＝(xsinx)′－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosx)))′＝sinx＋xcosx－eq\f(2sinx,cos2x).(5)∵y＝eq\f(\r(x5)＋\r(x7)＋\r(x9),\r(x))＝x2＋x3＋x4，∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.(6)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)sinx))′＝x′－eq\f(1,2)(sinx)′＝1－eq\f(1,2)cosx.1．當(dāng)函數(shù)解析式比較復(fù)雜時，求其導(dǎo)數(shù)一般先對函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕喿冃?，?2)(5)(6)．2．正確理解和掌握導(dǎo)數(shù)四則運算法則和公式的結(jié)構(gòu)特征是準(zhǔn)確進(jìn)行求導(dǎo)運算的前提．[再練一題]1．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)f(x)＝(x2＋7x－5)sinx；(2)f(x)＝eq\f(x3＋cotx,lnx)；(3)f(x)＝eq\f(2sinx＋x－2x,\r(3,x2))；(4)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x)).【解】(1)f′(x)＝(x2＋7x－5)′sinx＋(x2＋7x－5)·(sinx)′＝(2x＋7)sinx＋(x2＋7x－5)cosx.(2)f′(x)＝eq\f(x3＋cotx′lnx－x3＋cotxlnx′,ln2x)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(1,sin2x)))xlnx－x3－cotx,xln2x).(4)y＝eq\f(1＋\r(x)2,1－x)＋eq\f(1－\r(x)2,1－x)＝eq\f(21＋x,1－x)＝eq\f(4,1－x)－2，y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－x)－2))′＝eq\f(－41－x′,1－x2)＝eq\f(4,1－x2).求曲線的切線方程求曲線y＝f(x)＝x＋eq\r(x)在點(1,2)處的切線在x軸上的截距.【導(dǎo)學(xué)號：25650115】【精彩點撥】解答本題可先運用求導(dǎo)法則求出y′，進(jìn)而求出y′|x＝1，再用點斜式寫出切線方程，令y＝0，求出x的值，即為切線在x軸上的截距．【自主解答】∵y＝f(x)＝x＋eq\r(x)＝x＋xeq\f(1,2)，∴f′(x)＝1＋eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,2\r(x))，∴f′(1)＝eq\f(3,2)，∴函數(shù)y＝x＋eq\r(x)在點(1,2)處的切線方程為y－2＝eq\f(3,2)(x－1)，即3x－2y＋1＝0.令y＝0，解得x＝－eq\f(1,3)，∴切線在x軸上的截距為－eq\f(1,3).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可直接得到曲線上某一點處的切線的斜率．需注意直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征．當(dāng)問題中涉及相切但未出現(xiàn)切點坐標(biāo)時要設(shè)出切點坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件求出切點坐標(biāo)．[再練一題]2．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝alnx，a∈R.若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程．【解】f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))，g′(x)＝eq\f(a,x)(x>0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)＝alnx，,\f(1,2\r(x))＝\f(a,x)，))解得a＝eq\f(e,2)，x＝e2，∴兩條曲線交點的坐標(biāo)為(e2，e)．切線的斜率為k＝f′(e2)＝eq\f(1,2e)，∴切線的方程為y－e＝eq\f(1,2e)(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.[探究共研型]導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用探究利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以解決哪些問題？【提示】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離、面積相關(guān)的幾何的最值問題．解題時可先利用圖象分析取最值時的位置情況，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義準(zhǔn)確計算．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,a)－1(a≥0)的圖象在x＝1處的切線為l，求l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值．【精彩點撥】求f′(x)求f(x)在x＝1處的切線方程求切線在兩軸上的截距建立面積S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式求面積的最值【自主解答】∵f′(x)＝eq\f(2x,a)，∴f′(1)＝eq\f(2,a).又∵f(1)＝eq\f(1,a)－1，∴f(x)在x＝1處的切線l的方程是：y－eq\f(1,a)＋1＝eq\f(2,a)(x－1)．∴l(xiāng)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)－1))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋2))≥eq\f(1,4)×(2＋2)＝1.當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,a)，即a＝1時，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積最小，最小值為1.1．本題屬于導(dǎo)數(shù)綜合題，使用了建模的思想，建立面積函數(shù)，并應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值．2．利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離、面積有關(guān)的最值問題．這種題目往往使用函數(shù)與方程的思想，而解題的切入點是確定切點，求切線方程．[再練一題]3．點P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離.【導(dǎo)學(xué)號：25650116】【解】根據(jù)題意，設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(x0，y0)，該切點即為與y＝x距離最近的點，則在點(x0，y0)處的切線斜率為1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點到直線的距離公式得最小距離為eq\f(\r(2),2).1．下列四組函數(shù)中導(dǎo)數(shù)相等的是()A．f(x)＝1與f(x)＝xB．f(x)＝sinx與f(x)＝－cosxC．f(x)＝1－cosx與f(x)＝－sinxD．f(x)＝1－2x2與f(x)＝－2x2＋3【解析】由求導(dǎo)公式及運算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，與f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等．故選D.【答案】D2．曲線y＝f(x)＝xlnx在點x＝1處的切線方程為()A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝x－1 D．y＝x＋1【解析】∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋1，故切線斜率為k＝y(tǒng)′|x＝1＝1.又∵切點坐標(biāo)為(1,0)，∴切線方程為y＝x－1.【答案】C3．已知y＝sinx－cosx，則y′＝________.【解析】y′＝(sinx－cosx)′＝(sinx)′－(cosx)′＝cosx＋sinx.【答案】cosx＋sinx4．在曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，斜率最小的切線方程為________．【解析】由y′＝k＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)＝3(x＋1)2＋3≥3，故kmin＝3，設(shè)切點(x0，y0)，此時x0＝－1，y0＝－14，∴切線方程為y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.【答案】3x－y－11＝05．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(2)f(x)＝eq\f(lnx＋2x,x2).【導(dǎo)學(xué)號：25650117】【解】(1)f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(2)f′(x)＝eq\b\lc\