高中數(shù)學(xué)北師大版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 獲獎(jiǎng)作品

模塊質(zhì)量評(píng)估(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．直線eq\f(x,3)－eq\f(y,\r(3))＝1的傾斜角的大小為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：由eq\f(x,3)－eq\f(y,\r(3))＝1，得該直線的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故傾斜角為30°.答案：A2．已知圓C：x2＋y2－4x＝0和點(diǎn)P(1，eq\r(3))，則圓C在點(diǎn)P處的切線方程為()A．x－eq\r(3)y＋2＝0 B．x－eq\r(3)y＋4＝0C．x＋eq\r(3)y－4＝0 D．x＋eq\r(3)y－2＝0解析：圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4，圓心為C(2,0)，點(diǎn)P在圓上，kPC＝eq\f(\r(3)－0,1－2)＝－eq\r(3)，所以切線的斜率為－eq\f(1,kPC)＝eq\f(1,\r(3))，故在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為y－eq\r(3)＝eq\f(1,\r(3))(x－1)，即x－eq\r(3)y＋2＝0，故選A.答案：A3．已知M，N分別是正方體AC1的棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，如圖是過M，N，A和D，N，C1的兩個(gè)截面截去兩個(gè)角后所得的幾何體，則該幾何體的主視圖為()解析：由主視圖的性質(zhì)知，幾何體的正投影為一正方形，正面有可見的一棱和背面有不可見的一棱，故選B.答案：B4．直線x－y＋1＝0與圓(x＋1)2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相切 B．直線過圓心C．直線不過圓心但與圓相交 D．相離解析：(x＋1)2＋y2＝1的圓心為(－1,0)，圓心到直線的距離：d＝eq\f(|－1＋1|,\r(2))＝0.∴直線x－y＋1＝0過圓心．答案：B5．已知m是平面α的一條斜線，點(diǎn)A?α，l為過點(diǎn)A的一條動(dòng)直線，那么下列情形中可能出現(xiàn)的是()A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α解析：如圖，l可以垂直m，且l平行α.答案：C6．若M(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是()A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析：設(shè)圓心為C，其坐標(biāo)為(1,0)，則AB⊥CM，kCM＝－1，∴kAB＝1，∴直線AB的方程為y－(－1)＝1·(x－2)，即x－y－3＝0，故選A.答案：A7．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，則棱錐S－ABC的體積為()\f(\r(3),3) B．eq\f(2\r(3),3)\f(4\r(3),3) D．eq\f(5\r(3),3)解析：由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過AB的小圓交直徑SC于D，如圖所示，設(shè)SD＝x，則DC＝4－x，此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐S－ABD和C－ABD，在△SAD和△SBD中，由已知條件可得AD＝BD＝x，又因?yàn)镾C為直徑，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DBC＝∠DAC＝45°，所以在△BDC中，BD＝4－x，所以x＝4－x，解得x＝2，所以AD＝BD＝2，所以△ABD為正三角形．所以V＝eq\f(1,3)S△ABD×4＝eq\f(4\r(3),3).答案：C8．過點(diǎn)P(－3,4)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋25＝0C．3x－4y＋4＝0 D．3x－4y＝0解析：先求出以PO(O為原點(diǎn))為直徑的圓C的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋(y－2)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2，即x2＋y2＋3x－4y＝0，再將兩圓方程相減得3x－4y＋4＝0，因?yàn)檫@條直線經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)即切點(diǎn)A，B，所以3x－4y＋4＝0就是直線AB的方程，故選C.答案：C9．已知直線l⊥平面α，直線m平面β，給出下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確命題的序號(hào)是()A．①②③ B．②③④C．①③ D．②④解析：①∵l⊥平面α，且α∥β，∴l(xiāng)⊥β.又m平面β，∴l(xiāng)⊥m.∴①正確．②若l⊥α，α⊥β，mβ，則l和m有可能平行、異面，故②不正確．這樣排除A，B，D.答案：C10．若直線y＝kx－1與曲線y＝－eq\r(1－x－22)有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(4,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．[0,1]解析：由線y＝－eq\r(1－x－22)可化為(x－2)2＋y2＝1它表示以(2,0)為圓心，1為半徑的x軸下方的半圓，直線y＝kx－1過定點(diǎn)(0，－1)，要使直線與曲線有公共點(diǎn)(如圖)，易知0≤k≤1.答案：D11．如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點(diǎn)H在()A．直線AC上B．直線AB上C．直線BC上D．△ABC內(nèi)部解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1＝B))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC⊥平面ABC1,AC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ABC1⊥平面ABC,平面ABC1∩平面ABC＝AB,C1H⊥平面ABC))?H在AB上．答案：B12．把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：由題意可知，要使三棱錐D－ABC面積最大，由于S△ABC一定，從而只需點(diǎn)D到平面ABC的距離最大便可，如圖所示，顯然當(dāng)面ABC⊥面ADC時(shí)VD－ABC最大．取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、EB，由面面垂直的性質(zhì)可知DE⊥平面ABC，即∠EBD為直線BD與平面ABC所成的線面角．由于△DEB為等腰直角三角形，所以∠DBE＝45°.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把正確答案填在題中橫線上)13．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋11＝0平行，則實(shí)數(shù)m的值是________．解析：由條件可知，eq\f(3,6)＝eq\f(4,m)≠eq\f(－3,11)，解得m＝8.答案：814．一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體沿其棱的中點(diǎn)截去部分后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：依題意可知該幾何體的直觀圖如圖所示，其體積為23－2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(23,3).答案：eq\f(23,3)15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＝1，則eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍為________．解析：令k＝eq\f(y－－2,x－－1)，則k可看作圓x2＋y2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(－1，－2)的連線的斜率．連線的方程為y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，由直線與圓有公共點(diǎn)的條件得，圓心到直線的距離d＝eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))≤1，解得k≥eq\f(3,4).所以eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))16．已知平面上一點(diǎn)M(5,0)，若直線上存在點(diǎn)P，使|PM|＝4，則稱該直線為“點(diǎn)M相關(guān)直線”，下列直線中是“點(diǎn)M相關(guān)直線”的是________．(只填序號(hào))①y＝x＋1②y＝2③4x－3y＝0④y＝2x＋1解析：點(diǎn)M(5,0)到直線y＝x＋1的距離為eq\f(|5＋1－0|,\r(2))＝3eq\r(2)＞4不合題意；點(diǎn)M(5,0)到直線y＝2的距離為2＜4合題意；點(diǎn)M(5,0)到直線4x－3y＝0的距離為4合題意；點(diǎn)M(5,0)到直線y＝2x＋1的距離為eq\f(|10＋1－0|,\r(5))＞4不合題意．答案：②③三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)(1)求經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，且與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成等腰三角形的直線l的方程；(2)求滿足(1)中條件的直線l與y軸圍成的三角形的外接圓的方程．解析：(1)設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1且|a|＝|b|，①又∵P(1,2)在直線l上，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，②由①②解得a＝3，b＝3或a＝－1，b＝1，∴直線l的方程為x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.(2)∵(1)中所求得的兩條直線互相垂直，∴y軸被兩條直線截得的線段即是所求圓的直徑且所求圓經(jīng)過P點(diǎn)．設(shè)圓心為(0，b)，又x＋y－3＝0和x－y＋1＝0在y軸上的截距分別為3和1，則1＋(b－2)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－1,2)))2＝r2，解得b＝2，r＝1.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－2)2＝1.18．(本小題滿分12分)如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD.(1)求證：BC⊥平面PAB；(2)過CD作一平面交平面PAB于EF，求證：CD∥EF.證明：(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD?PA⊥BC,四邊形ABCD為矩形?BC⊥AB,PA∩AB＝A))?BC⊥平面PAB.(2)∵CD∥AB，AB?平面PAB，CD?平面PAB，∴CD∥平面PAB.又平面CDEF∩平面PAB＝EF，∴CD∥EF.19．(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)證明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝eq\r(6)，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積．解析：(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.因?yàn)镃A＝CB，所以O(shè)C⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB.因?yàn)镺C∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)C＝OA1＝eq\r(3).又A1C＝eq\r(6)，則A1C2＝OC2＋OAeq\o\al(2,1)，故OA1⊥OC.因?yàn)镺C∩AB＝O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面積S△ABC＝eq\r(3)，故三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝S△ABC·OA1＝3.20．(本小題滿分12分)已知矩形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，AB邊所在直線方程為3x－4y－4＝0，點(diǎn)Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))在AD所在直線上．(1)求AD所在直線的方程；(2)求矩形ABCD的外接圓C1的方程．解析：(1)∵AB所在直線方程為3x－4y－4＝0，且AD與AB垂直，∴直線AD的斜率為－eq\f(4,3).又點(diǎn)N在AD所在直線上，∴直線AD的方程為y－eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3)(x＋1)，即4x＋3y＋3＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y－4＝0,4x＋3y＋3＝0))，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，－1)．又兩條對(duì)角線交于點(diǎn)M，∴M為矩形ABCD的外接圓的圓心，而|MA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2＋－1－02)＝eq\f(\r(5),2)，∴外接圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq\f(5,4).21．(本小題滿分13分)如圖，在三棱錐S－ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為棱AC、SA、SC的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面ABC；(2)若SA＝SC，BA＝BC，求證：平面SBD⊥平面ABC.證明：(1)∵EF是△SAC的中位線，∴EF∥AC.又∵EF?平面ABC，AC平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2