高中數(shù)學(xué)北師大版第二章平面向量 市獲獎(jiǎng)

14平面向量的基本定理時(shí)間：45分鐘滿(mǎn)分：80分班級(jí)________姓名________分?jǐn)?shù)________一、選擇題(每小題5分，共5×6＝30分)1．設(shè)a，b是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b.若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則p的值為()A．1B．2C．－2D．－1答案：D解析：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，由A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，知存在實(shí)數(shù)λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共線(xiàn)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝2,p＝－λ))，∴p＝－1.2．在矩形ABCD中，O是對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()\f(1,2)(e1＋e2)\f(1,2)(e1－e2)\f(1,2)(2e2－e1)\f(1,2)(e2－e1)答案：A解析：因?yàn)镺是矩形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝e2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(e1＋e2)，故選A.3．若向量a與b的夾角為60°，則向量－a與－b的夾角是()A．60°B．120°C．30°D．150°答案：A解析：使平面向量a，b有公共起點(diǎn)O，如圖所示，則由對(duì)頂角相等，可得向量－a與－b的夾角也是60°.4．如果a與b是一組基底，則下列不能作為基底的是()A．a(chǎn)＋b與a－bB．a(chǎn)＋2b與2a＋C．a(chǎn)＋b與－a－bD．a(chǎn)與－b答案：C解析：由已知，a與b不共線(xiàn)，根據(jù)平行四邊形法則，可知A，B，D選項(xiàng)中的兩個(gè)向量都可以作為基底，而a＋b與－a－b共線(xiàn)，不能作為基底．5．如圖，在△OAB中，P為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))，則()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)答案：D解析：由已知eq\o(BP,\s\up6(→))＝3eq\o(PA,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝3(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，整理，得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).6．設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題：①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc；④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線(xiàn)，則真命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：對(duì)于①，若向量a、b確定，因?yàn)閍－b是確定的，故總存在向量c，滿(mǎn)足c＝a－b，即a＝b＋c故正確；對(duì)于②，因?yàn)閏和b不共線(xiàn)，由平面向量基本定理知，總存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ，滿(mǎn)足a＝λb＋μc，故正確；對(duì)于③，如果a＝λb＋μc，則以|a|、|λb|、|μc|為三邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，如果b和正數(shù)μ確定，則一定存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ滿(mǎn)足a＝λb＋μc，故正確；對(duì)于④，如果給定的正數(shù)λ和μ不能滿(mǎn)足“以|a|，|λb|、|μc|為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)三角形”，這時(shí)單位向量b和c就不存在，故錯(cuò)誤．故選C.二、填空題(每小題5分，共5×3＝15分)7．設(shè)G是△ABC的重心(即三條中線(xiàn)的交點(diǎn))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→))＝________.答案：eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.解析：延長(zhǎng)AG交BC于D.∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.8．已知e1，e2是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，a＝k2e1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5k,2)))e2與b＝2e1＋3e2共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)k＝________.答案：－2或eq\f(1,3)解析：由題設(shè)，知eq\f(k2,2)＝eq\f(1－\f(5k,2),3)，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或eq\f(1,3).9．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.答案：eq\f(4,3)解析：由題意，知eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).又eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1,λ＋\f(1,2)μ＝1))，所以λ＋μ＝eq\f(4,3).三、解答題：(共35分，11＋12＋12)10．如圖，在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，試用a，b表示eq\o(MN,\s\up6(→)).解析：由eq\o(AN,\s\up6(→))＝3eq\o(NC,\s\up6(→))，知N為AC的四等分點(diǎn).eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.11．已知eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)(O不在直線(xiàn)AB上)．(1)試以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為基底表示eq\o(OP,\s\up6(→))；(2)當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，試確定點(diǎn)P的位置．解析：(1)∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))得(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→)).(2)當(dāng)λ＝eq\f(1,2)時(shí)，由(1)可知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，結(jié)合向量加法的幾何意義可知，此時(shí)點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．12．如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，AF與BD交于E，求證：E為線(xiàn)段BD的三等分點(diǎn)．解析：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.因?yàn)锳、E、F與B、D、E分別共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)λ，μ∈R，使eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝μeq\o(BD,\s\up6(→)).于是eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq