四川專用(理)(步步高)2023年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義(題庫(kù))47解三角形應(yīng)用舉例

(四川專用〔理〕)(步步高)2023年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義(Word版題庫(kù))4一、選擇題在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一平面方向的B50°，A2，C70A3B、C間的距離為()A. 16B.17C. 18D.19解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝19.答案：D如下圖，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A，B間的距離，給定以下四組數(shù)據(jù)，不能確定A，B間距離的是( )．α，a，bC．a(chǎn)，b，γ

α，β，aD．α，β，b解析選項(xiàng)B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.C中可由余弦定理確定AB.DBA.答案Akm，結(jié)果他離動(dòng)身點(diǎn)恰好是3km，那么x的值為( )．33A. B．233

C. 32

D．33解析如下圖，設(shè)此人從A動(dòng)身，則AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得( 3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x23－3 3x＋6＝0，解得x＝3或2 3.答案C如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就能夠運(yùn)算出A、B兩點(diǎn)的距離為()A．50 2m B．50 3mC．25 2m D.25 2m2 A2 AC解析由題意，得＝35由正弦定理，得 ＝sin，AC·sin∠ACB 2

sin∠ACB∴AB＝答案A

sinB

＝ 1 ＝50 2(m)．2AB與海洋觀看站C的距離都等于akmA在C20B在觀看站C40°，則燈塔A與燈B的距離為()A．a(chǎn)kmB.2akmC．2akmD.3akm解析依題意得∠ACB＝120°，由余弦定理，得AC2＋BC2－AB2cos120°＝

2AC·BC .∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120° 12＝a2＋a2－2a2×－＝3a2，2 ∴AB＝3aD.答案D6．據(jù)華社報(bào)道，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“珍寶”在廣東饒平登陸．臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)12級(jí)以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)峻的災(zāi)難，很多大樹(shù)被大風(fēng)折45°角，樹(shù)干也傾斜為與7520距離是( )．20 6 10 6A. 3 米 B．10 6米 C. 3 米 D．20 米解析如下圖，設(shè)樹(shù)干底部為O，樹(shù)尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則AO∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知， ＝20sin60 ，

sin45°° 20 6∴AO＝3 (米)．答案A7．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，假設(shè)飛機(jī)的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，通過(guò)1min后又看到山頂?shù)母┙菫?°則山頂?shù)暮０胃叨葴?zhǔn)確到0.1km)( A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.61 5000060 解析AB＝1000×1000×＝ (m)60 AB 50000∴BC＝ ·sin30°＝ (m)．sin45°50000 3 2∴航線離山頂h＝3 2×sin75°≈11.4(km)．答案B二、填空題15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M60°方向，行駛4h后，船到B處，看到那個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為 解析：如下圖，依題意有AB＝∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，60由正弦定理得 ＝sin45°解得BM＝30 2．答案：30 2

km.

15×4＝60，在△AMB中，BMsin30°，如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是 米．解析在△105°，∠DBC＝30°，BC

＝CD ，BC

CDsin45°＝10 2.Rt＝in4°sin3° sin3°△ABC中，tan60°＝BC，AB＝BCtan60°＝10 6(米)．答案10 620231112日廣州亞運(yùn)會(huì)上進(jìn)展升旗儀式．如圖，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個(gè)座位A和最終一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°，且座位A、B的距離為10 6米，則旗桿的高度為 米．解析由題可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，AN 10 6由正弦定理得 ＝ ，解得AN＝20 3(米)，sin45°sin30°在Rt△AMN中，MN＝20 3sin60°＝30(米)．故旗桿的高度為30米．答案30如圖，在日本地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)xm到達(dá)B處覺(jué)察一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，進(jìn)展10m到達(dá)C處覺(jué)察另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°后連續(xù)前行回到動(dòng)身點(diǎn)，那么x＝ .解析由題知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴ x

＝10 .10 6

sin45°sin60°∴x＝3 m.10 6答案 3 m如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東αmB處測(cè)得該島的方位角為北偏東β該島四周n海里范疇內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船連續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件 時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危急．BM解析由題可知，在△ABM中，依照正弦定理得 ＝msin α－β

BM＝

mcosαα－β

sin 90°－α，要使該船沒(méi)有觸礁危急需滿足mcosαisβBMsin(90°－β)＝ ＞nαβsin α－βmcosαcosβ＞nsin(α－β)時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危急．答案mcosαcosβ＞nsin(α－β)三、解答題隔河看兩目標(biāo)AB，但不能到達(dá)，在岸邊先選取相距3千米的ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．解析如下圖，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝3(千米)，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.3sin75° 6＋2

sin60°

＝ 2 (千米)．在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA， 6＋2 6＋2AB2＝( 3)2＋ 2∴AB＝5(千米)．

2－2 3· cos75°＝5.22因此兩目標(biāo)A、B間的距離為5千米．14．如圖，漁船甲位于島嶼A60°方向的B處，且與島嶼A1210海里/時(shí)的速度從島嶼A動(dòng)身沿正北方向航行，假設(shè)漁船甲同時(shí)從B處動(dòng)身沿北偏東α2小時(shí)追上，現(xiàn)在到達(dá)C處．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα解析(1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．BC2＝14海里/時(shí)．∠BCA＝α，AB

3 BC .ABsin120°

α2si1°即sinα＝

＝28 ＝14.A45°的方向作勻速直線航行，速度為15 mileB

tan 1θ＝θ＝島動(dòng)身朝北偏東θ 2 mnmile/h.假設(shè)兩船能相遇，求m.m＝10 5時(shí)，求兩船動(dòng)身后多長(zhǎng)時(shí)刻距離最近，最近距離為多少nmile?解析(1)設(shè)t小時(shí)后，兩船在M處相遇，由tan

1 5 2 5θ＝2sinθ＝5，cosθ＝5，.因此sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝10.AM AB 10由正弦定理， ＝ ，∴AM＝40 sinθsin∠AMB同理得BM＝40 5.∴t 40 2 8 40 5＝ ＝，m＝ ＝15 5.3 15 23 設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P(x1，y1)，Q(x2，y2)處，則|AP|＝15 2t，|BQ|＝10 5t.由任意角三角函數(shù)的定義，可得x1＝15 2tcos45°15，y＝15 2tsin4°＝15，x2＝10 5tsinθ＝10，y＝10 Q的坐標(biāo)是(10t,20t－40)，∴|PQ|＝ －5t 2＋5t－40 2＝50t2－400t＋1600＝50 t－4 2＋800≥20 2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝4時(shí)，|PQ|取得最小值20 兩船動(dòng)身4小時(shí)時(shí)，距離最近，最近距離為20 2nmile.OO3020A處，30海里/以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛，通過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．假設(shè)期望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？30海里/時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)刻與輪船相遇，并說(shuō)明理由．思路分析第(1)問(wèn)建立航行距離與時(shí)刻的函數(shù)關(guān)系式；第(2)問(wèn)建立速度與時(shí)刻的函數(shù)關(guān)系式．解析(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S＝900t2＋400－2·30t·20·cos 90°－30°＝900t2－600t＋400＝

t－1

＋300.900 321 3故當(dāng)t＝時(shí)，Smin＝10 海里)，10 33現(xiàn)在v＝1 ＝30 3(海里/時(shí))．即小艇以3海里/時(shí)的速度航行相遇時(shí)小艇的航行距離最?。O(shè)小艇與輪船在