勒讓德多項(xiàng)式及性質(zhì)電子教案

第三篇：特殊(tèshū)函數(shù)第二章勒讓德多項(xiàng)式第一頁，共53頁。主要(zhǔyào)內(nèi)容：勒讓德多項(xiàng)式（軸對稱問題）及性質(zhì)連帶勒讓德函數(shù)（轉(zhuǎn)動(dòng)對稱問題）球函數(shù)（一般問題）第二頁，共53頁。在分離(fēnlí)變量法一章中，我們已經(jīng)知道拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系下分離變量后得到(dédào)歐拉型常微分方程和球諧函數(shù)方程(fāngchéng)第三頁，共53頁。第四頁，共53頁。同樣(tóngyàng)若記則上述方程也可寫為下列(xiàliè)形式的階勒讓德方程(fāngchéng)第五頁，共53頁。xyzr第六頁，共53頁?！?·1勒讓德多項(xiàng)式勒讓德方程的求解勒讓德多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)、母函數(shù)(hánshù)和遞推公式勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用第七頁，共53頁。第八頁，共53頁。第九頁，共53頁。一、勒讓德方程(fāngchéng)的解：我們(wǒmen)知道：在自然邊界條件下，勒讓德方程的解為

式中

上式具有(jùyǒu)多項(xiàng)式的形式，故稱為階勒讓德多項(xiàng)式．勒讓德多項(xiàng)式也稱為第一類勒讓德函數(shù)．第十頁，共53頁。二、勒讓德多項(xiàng)式（注意(zhùyì)到1、前幾個(gè)(jǐɡè)勒讓德多項(xiàng)式:第十一頁，共53頁。勒讓德多項(xiàng)式的圖形可通過計(jì)算機(jī)仿真(fǎnɡzhēn)(如MATLAB仿真(fǎnɡzhēn))得到第十二頁，共53頁。2、勒讓德多項(xiàng)式的微分(wēifēn)表示上式通常(tōngcháng)又稱為勒讓德多項(xiàng)式的羅德里格斯（Rodrigues）表示式．3、勒讓德多項(xiàng)式的積分(jīfēn)表示根據(jù)柯西積分公式的高階導(dǎo)數(shù)，并取正方向積分有容易證明微分表示也可表示為環(huán)路積分形式

第十三頁，共53頁。為平面(píngmiàn)上圍繞并取正方向．這叫作勒讓德多項(xiàng)式的施列夫利積分(jīfēn)表示式．點(diǎn)的任一閉合(bìhé)回路，還可以進(jìn)一步表為下述拉普拉斯積分．第十四頁，共53頁?！?·2勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)(xìngzhì)第十五頁，共53頁。奇偶性：根據(jù)勒讓德多項(xiàng)式的定義(dìngyì)式，作代換容易(róngyì)得到即當(dāng)為偶數(shù)(ǒushù)時(shí)，勒讓德多項(xiàng)式為偶函數(shù)，為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)

式中記號

而因此，第十六頁，共53頁。一、勒讓德多項(xiàng)式的正交關(guān)系兩式稱為(chēnɡwéi)正交性．第十七頁，共53頁。

代入的微分(wēifēn)式得：模為：二、勒讓德多項(xiàng)式的模：

第十八頁，共53頁。三、廣義(guǎngyì)傅立葉級數(shù)由前面的分析可以(kěyǐ)看出，勒讓德多項(xiàng)式為本征函數(shù)族，（可以(kěyǐ)作為廣義傅立葉級數(shù)的基。若函數(shù)定義在區(qū)間上，或定義在區(qū)間上，則或）是正交的、完備的。第十九頁，共53頁。其中(qízhōng)系數(shù)：或第二十頁，共53頁。例題一：以勒讓德多項(xiàng)式為基本(jīběn)函數(shù)族，將函數(shù)在區(qū)間(qūjiān)（-1，+1）上進(jìn)行廣義傅立葉展開。

第二十一頁，共53頁。另一解法(jiěfǎ)：推廣(tuīguǎng)：

第二十二頁，共53頁。例題2、以勒讓德多項(xiàng)式為基本(jīběn)函數(shù)族，將函數(shù)在區(qū)間（-1，+1）上進(jìn)行(jìnxíng)廣義傅立葉展開。

4

第二十三頁，共53頁。四、解方程：要選取(xuǎnqǔ)對稱軸為球坐標(biāo)的極軸，例題(lìtí)3、在球的內(nèi)部(nèibù),求解u=0,使得滿足邊界條件解：m=0通解為：

有限值

通解為

第二十四頁，共53頁。

第二十五頁，共53頁。例題(lìtí)4：半徑為的半球，其球面(qiúmiàn)上溫度為，底面絕熱，試求這個(gè)(zhège)半球里的穩(wěn)定溫度分布。選取球心為極點(diǎn)，Z軸為極軸，Z軸為對稱軸，無關(guān)。ZXYO第二十六頁，共53頁。對定解問題解析延拓到整個(gè)(zhěnggè)球形區(qū)域x=0上滿足第二類邊界條件，是關(guān)于(guānyú)Z軸對稱的。所以邊界條件應(yīng)進(jìn)行偶延拓?；虻诙唔?，共53頁。通解(tōngjiě)為：對于(duìyú)球的內(nèi)部：

代入邊界條件得：

展開(zhǎnkāi)為廣義傅立葉級數(shù)。第二十八頁，共53頁?？梢?kěyǐ)導(dǎo)出：

比較(bǐjiào)系數(shù)得：

第二十九頁，共53頁。例題5、在勻強(qiáng)電場中，放入一均勻介質(zhì)(jièzhì)球（原來不帶電），場強(qiáng)為，球的半徑(bànjìng)為，介電常數(shù)(jièdiànchánɡshù)為，試求解介質(zhì)球內(nèi)外的場強(qiáng)。解：選取球心為極點(diǎn)，極點(diǎn)，平行于即：Z軸為對稱軸，由于介質(zhì)球的極化，球面上產(chǎn)生了束縛電荷。的直線為Z軸。無關(guān)。場強(qiáng)在球面上不連續(xù)。在球面上無意義。所以，球內(nèi)外電勢要通過銜接條件連接。第三十頁，共53頁。1、設(shè)球內(nèi)電勢(diànshì)為：，滿足(mǎnzú)：2、設(shè)球外電勢(diànshì)為：，滿足：第三十一頁，共53頁。比較(bǐjiào)系數(shù)得：第三十二頁，共53頁。3、銜接條件：①電勢(diànshì)在球面上連續(xù)。

②電位移矢量(shǐliàng)的法向分量在球面(qiúmiàn)上連續(xù)

4、解方程：代入銜接條件：第三十三頁，共53頁。比較(bǐjiào)系數(shù)得：第三十四頁，共53頁。解出：

其中(qízhōng)與零電勢(diànshì)的選取有關(guān)。第三十五頁，共53頁。5、求場強(qiáng)：球內(nèi)場強(qiáng)：可以看出，球內(nèi)場強(qiáng)沿原方向(fāngxiàng)也是勻強(qiáng)電場。只是場強(qiáng)削弱了。一般(yībān)情況

球內(nèi)極化(jíhuà)強(qiáng)度：為常數(shù)，所以，球的極化是均勻的。球外場強(qiáng)：

為勻強(qiáng)電場。

第三十六頁，共53頁。五、母函數(shù)(hánshù)1、定義：設(shè)在單位球北極(běijí)放置正電荷，求球內(nèi)外(nèiwài)任意點(diǎn)解：

取球心為極點(diǎn)，Z軸為極軸。球內(nèi)外任一點(diǎn)的電勢關(guān)于Z軸對稱。球內(nèi)外電勢滿足：

（無源場）無關(guān)。的電勢。xyz通解為：第三十七頁，共53頁。⑴球內(nèi)電勢(diànshì)：第三十八頁，共53頁。取球內(nèi)任一點(diǎn)(yīdiǎn)：則M點(diǎn)的電勢(diànshì)為：，它到電荷(diànhè)的距離為d，第三十九頁，共53頁。其中(qízhōng)：叫的母函數(shù)(hánshù)。第四十頁，共53頁。⑵球外電勢(diànshì)：第四十一頁，共53頁。對于(duìyú)任一點(diǎn)：第四十二頁，共53頁。母函數(shù)(hánshù)：對于(duìyú)半徑為R的球，母函數(shù)為：第四十三頁，共53頁。2、應(yīng)用(yìngyòng)

⑴在點(diǎn)正電荷放置接地的導(dǎo)體球，球的半徑為a，球心(qiúxīn)與電荷相距為，求解(qiújiě)靜電場。的電場中，解：取球心O為極點(diǎn)，極軸通過點(diǎn)電荷，電勢滿足：

（無源場）無關(guān)。通解為：第四十四頁，共53頁。無導(dǎo)體球時(shí)：任一點(diǎn)(yīdiǎn)電勢為：由于導(dǎo)體的存在，導(dǎo)體球上產(chǎn)生靜電感應(yīng)(jìngdiàngǎnyìng)電荷，它引起的電勢變化為第四十五頁，共53頁。對于(duìyú)定解問題：第四十六頁，共53頁。代入邊界(biānjiè)：引入母函數(shù)(hánshù)：時(shí)第四十七頁，共53頁。比較(bǐjiào)系數(shù)得：其中(qízhōng)：

第四十八頁，共53頁。按照母函數(shù)(hánshù)的定義：物理(wùlǐ)意義：相當(dāng)于某個(gè)(mǒuɡè)點(diǎn)電荷

電場中的靜電勢。位置在極軸上，距球心的距離為

。因?yàn)樗?/p>

即，點(diǎn)電荷在球內(nèi)。

第四十九頁，共53頁。結(jié)論(jiélùn)：導(dǎo)體球外的靜電場，好像似存在一個(gè)點(diǎn)電荷，叫原來那個(gè)點(diǎn)電荷的電像。⑵利用(lìyòng)母函數(shù)求：球內(nèi)：

兩邊(liǎngbiān)求導(dǎo)得：第五十頁，共53頁。同