注冊電氣工程師公共基礎(chǔ)高數(shù)輔導(dǎo)教案資料

注冊電氣工程師公共基礎(chǔ)(jīchǔ)輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)馬鴻雁(hóngyàn)第一頁，共157頁。高等數(shù)學(xué)考試說明：共120題，每題1分。4小時(shí)上午段：高等數(shù)學(xué)24題（24分） 普通物理12題普通化學(xué)12題 理論力學(xué)13題材料力學(xué)15題 流體力學(xué)12題計(jì)算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ) 10題電工電子(diànzǐ)技術(shù)12題 工程經(jīng)濟(jì)10題第二頁，共157頁。高等數(shù)學(xué)空間解析幾何微分學(xué)積分學(xué)無窮級數(shù)常微分方程概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(shùlǐtǒnɡjì)向量分析線性代數(shù)第三頁，共157頁。一、空間(kōngjiān)解析幾何向量代數(shù)平面直線柱面旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面二次曲面空間曲線第四頁，共157頁。一、空間(kōngjiān)解析幾何空間解析幾何是用代數(shù)的方法研究空間中幾何問題研究工具：幾何向量幾何向量：既有大小、又有方向的量稱為向量或矢量。用幾何空間中有向線段來表示(biǎoshì)的向量為幾何向量（簡稱向量）。第五頁，共157頁。幾何(jǐhé)向量（1）模：向量的大?。ㄩL度(chángdù)）、有向線段的長度(chángdù)（2）單位向量：模為1的向量（3）零向量：模為0的向量；起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，方向任意（4）負(fù)向量：大小相同，方向相反（5）自由向量：與起點(diǎn)無關(guān)的向量，我們研究的重點(diǎn)第六頁，共157頁。（一）向量(xiàngliàng)代數(shù)向量和向量坐標(biāo)的概念向量的線性運(yùn)算的概念及運(yùn)算規(guī)則向量的模、方向余弦、方向角，非零向量的單位向量向量數(shù)量積、向量積、混合積的概念、幾何物理意義及運(yùn)算規(guī)則兩向量相互(xiānghù)垂直和相互(xiānghù)平行的條件利用向量積求面積第七頁，共157頁。（一）向量(xiàngliàng)代數(shù)向量代數(shù)是建立平面方程與直線方程、以及研究它們基本性質(zhì)的工具。1、空間(kōngjiān)直角坐標(biāo)系2、向量3、向量的坐標(biāo)表達(dá)式第八頁，共157頁。1、空間(kōngjiān)直角坐標(biāo)系為了將幾何向量的加法、數(shù)乘等運(yùn)算(yùnsuàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)的代數(shù)運(yùn)算(yùnsuàn)，引入空間直角坐標(biāo)系。(1)空間兩點(diǎn)之間的距離第九頁，共157頁。1、空間(kōngjiān)直角坐標(biāo)系（2）定比分(bǐfēn)點(diǎn)公式第十頁，共157頁。2、向量(xiàngliàng)的坐標(biāo)表達(dá)式第十一頁，共157頁。2、向量(xiàngliàng)的坐標(biāo)表達(dá)式x,y,z為向量(xiàngliàng)在Ox軸、Oy軸、Oz軸正方向上的投影。xi、yj、zk為向量(xiàngliàng)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量(xiàngliàng)。第十二頁，共157頁。方向(fāngxiàng)余弦設(shè)向量與坐標(biāo)軸Ox，Oy，Oz正向的夾角分別為（角度0~ 之間），三個(gè)角決定了向量的方向。為了(wèile)方便，常用第十三頁，共157頁。方向(fāngxiàng)余弦第十四頁，共157頁。向量(xiàngliàng)在正方向上的單位向量(xiàngliàng)為方向(fāngxiàng)余弦第十五頁，共157頁。3、向量(xiàngliàng)向量的加減法數(shù)乘向量數(shù)量積向量積兩個(gè)向量平行或垂直(chuízhí)的充分必要條件第十六頁，共157頁。3、向量(xiàngliàng)(1)線性運(yùn)算1）向量的加減法:滿足交換律、結(jié)合律a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3). 2）向量與數(shù)的乘積(chéngjī)λ=（λa1，λa2，λa3），其中λ為數(shù)量，滿足結(jié)合律和分配律第十七頁，共157頁。3、向量(xiàngliàng)（2）數(shù)量(shùliàng)積設(shè)a、b是兩個(gè)向量，稱數(shù)第十八頁，共157頁。1)數(shù)量(shùliàng)積推論兩個(gè)向量的數(shù)量(shùliàng)積等于零的充要條件：a=0,或b=0或零向量垂直于任何向量。兩個(gè)向量互相垂直的充要條件：數(shù)量(shùliàng)積等于零。第十九頁，共157頁。2)數(shù)量(shùliàng)積性質(zhì)第二十頁，共157頁。3)數(shù)量積性質(zhì)(xìngzhì)注意：向量(xiàngliàng)的數(shù)量積不滿足消去律，即第二十一頁，共157頁。數(shù)量(shùliàng)積的應(yīng)用判斷(pànduàn)兩個(gè)向量是否垂直第二十二頁，共157頁。(3)向量(xiàngliàng)積第二十三頁，共157頁。向量(xiàngliàng)積的坐標(biāo)表達(dá)式第二十四頁，共157頁。向量(xiàngliàng)積的坐標(biāo)表達(dá)式第二十五頁，共157頁。1)向量(xiàngliàng)積的推論第二十六頁，共157頁。2）向量(xiàngliàng)積性質(zhì)第二十七頁，共157頁。3)向量(xiàngliàng)積性質(zhì)注意（a）不滿足(mǎnzú)交換律（b）不滿足(mǎnzú)消去律，即第二十八頁，共157頁。向量(xiàngliàng)積的應(yīng)用求與已知兩向量都垂直的向量求平行四邊形、三角形的面積判斷(pànduàn)兩向量平行第二十九頁，共157頁。（3）混合(hùnhé)積（三重?cái)?shù)積）定義(dìngyì)：第三十頁，共157頁?；旌?hùnhé)積（三重?cái)?shù)積）第三十一頁，共157頁。混合(hùnhé)積（三重?cái)?shù)積）的絕對值表示以向量(xiàngliàng)a，b，c為棱的平行六面體的體積第三十二頁，共157頁。混合(hùnhé)積（三重?cái)?shù)積）第三十三頁，共157頁?；旌?hùnhé)積（三重?cái)?shù)積）第三十四頁，共157頁。向量(xiàngliàng)代數(shù)的常見題型（1）向量的基本(jīběn)運(yùn)算（2）證明恒等式或簡化算式（3）利用向量方法求解幾何問題第三十五頁，共157頁。例題(lìtí)例1：選擇題，下列命題正確(zhèngquè)的有（）。（1）若a、b均為非零向量，則第三十六頁，共157頁。例1：選擇題，下列命題(mìngtí)正確的有（）。

（2）第三十七頁，共157頁。例1：選擇題，下列命題(mìngtí)正確的有（）。（3）第三十八頁，共157頁。例1：選擇題，下列(xiàliè)命題正確的有（）。（4）C第三十九頁，共157頁。例1：選擇題，下列(xiàliè)命題正確的有（）。(5)B第四十頁，共157頁。例1：選擇題，下列命題(mìngtí)正確的有（）。(6)A第四十一頁，共157頁。例2：選擇題，下列(xiàliè)向量為單位向量的有(CD)。第四十二頁，共157頁。解題(jiětí)思路（1）兩個(gè)(liǎnɡɡè)向量a、b平行的判別法：第四十三頁，共157頁。（2）兩個(gè)向量a、b垂直(chuízhí)的判別法第四十四頁，共157頁。（3）判共線(ɡònɡxiàn)第四十五頁，共157頁。（4）判共面第四十六頁，共157頁。（5）計(jì)算(jìsuàn)面積、體積第四十七頁，共157頁。例3：第四十八頁，共157頁。例4第四十九頁，共157頁。例5第五十頁，共157頁。例6第五十一頁，共157頁。（二）平面(píngmiàn)平面的方程平面的法線向量(xiàngliàng)平面與平面相互平行、垂直的條件平面與平面的夾角點(diǎn)到平面的距離求平面的方程第五十二頁，共157頁。（二）平面(píngmiàn)1、平面的方程（1）點(diǎn)法式法線向量(xiàngliàng)：如果一非零向量(xiàngliàng)垂直于一平面，該向量(xiàngliàng)稱為該平面的法線向量(xiàngliàng)。第五十三頁，共157頁。（1）點(diǎn)法式(fǎshì)n=(A，B，C)為平面的法向量過點(diǎn)(x0，y0，z0)以n為法方向(fāngxiàng)的平面方程為：A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)=0。第五十四頁，共157頁。(2)一般(yībān)式平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0，法線向量：n=(A，B，C) 。特殊(tèshū)的平面方程：如1）3x+4y+5z=0(D=0)，一個(gè)通過原點(diǎn)的平面。2）4x+3y-12=0法線向量：n=(4，3，0)法線向量n在z軸上的投影為零，因此n垂直于z軸，平面平行于z軸。3）z=2過點(diǎn)(0,0,2)且平行于xOy面的平面。第五十五頁，共157頁。（3）截距式如果(rúguǒ)一平面與x,y,z三軸分別交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三點(diǎn)，則平面的截距式方程為a,b,c分別為平面在x,y,z軸上的截距。第五十六頁，共157頁。(4)特殊(tèshū)平面1）Ax+By+Cz=0過原點(diǎn)的平面(píngmiàn)2）Ax+By+D=0平行于Z軸的平面(píngmiàn)Ax+Cz+D=0平行于Y軸的平面(píngmiàn)By+Cz+D=0平行于X軸的平面(píngmiàn)3)Ax+By=0過Z軸的平面(píngmiàn)Ax+Cz=0過Y軸的平面(píngmiàn)By+Cz=0過X軸的平面(píngmiàn)第五十七頁，共157頁。(4)特殊(tèshū)平面4)Cz+D=0平行(píngxíng)于XOY坐標(biāo)面的平面Ax+D=0平行(píngxíng)于YOZ坐標(biāo)面的平面By+D=0平行(píngxíng)于ZOX坐標(biāo)面的平面5)x=0YOZ坐標(biāo)面y=0ZOX坐標(biāo)面z=0XOY坐標(biāo)面三元一次方程所表示的圖形是平面第五十八頁，共157頁。2、有關(guān)(yǒuguān)平面的問題平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法線(fǎxiàn)向量平面2：A2x+B2y+C2z+D2=0，法線(fǎxiàn)向量第五十九頁，共157頁。（1）兩平面(píngmiàn)的夾角兩平面的法線向量(xiàngliàng)的夾角為兩平面的夾角。夾角通常指銳角。第六十頁，共157頁。（2）兩平面相互(xiānghù)垂直兩平面相互(xiānghù)垂直即法線向量相互(xiānghù)垂直，即法線向量的點(diǎn)積為零。兩平面相互(xiānghù)平行的充要條件：

12A1A2+B1B2+C1C2=0第六十一頁，共157頁。（3）兩平面相互(xiānghù)平行兩平面相互平行(píngxíng)即法線向量平行(píngxíng)，兩平面平行(píngxíng)的充要條件：12第六十二頁，共157頁。（4）兩平面相互(xiānghù)重合兩平面(píngmiàn)重合的充要條件：1與2重合第六十三頁，共157頁。（5）點(diǎn)到平面(píngmiàn)的距離點(diǎn)(x1，y1，z1)到平面(píngmiàn)Ax+By+Cz+D=0的距離為第六十四頁，共157頁。（三）直線(zhíxiàn)直線方程(fāngchéng)和直線的方向向量直線與直線、直線與平面相互垂直、平行的條件直線與直線、直線與平面的夾角求直線的方程(fāngchéng)第六十五頁，共157頁。（三）直線(zhíxiàn)1、

直線的方程(fāngchéng)方向向量：如果以非零向量s(a,b,c)平行于一條已知直線，向量s稱為該直線的方向向量。直線上的任一向量都平行于該直線的方向向量。第六十六頁，共157頁。（1）直線的標(biāo)準(zhǔn)(biāozhǔn)式（點(diǎn)向式或?qū)ΨQ式）方程過點(diǎn)(x0，y0，z0)以s(a,b,c)為方向向量的直線(zhíxiàn)方程是:第六十七頁，共157頁。特殊(tèshū)情況第六十八頁，共157頁。（2）參數(shù)(cānshù)式方程設(shè)則得直線(zhíxiàn)的參數(shù)方程為第六十九頁，共157頁。（3）一般(yībān)式方程兩平面(píngmiàn)的交線為一直線，即直線的一般方程為：第七十頁，共157頁。（4）兩點(diǎn)式過點(diǎn)與的直線(zhíxiàn)方程為：第七十一頁，共157頁。2、直線(zhíxiàn)與直線(zhíxiàn)之間的關(guān)系直線(zhíxiàn)L1：方向向量直線(zhíxiàn)L2：方向向量第七十二頁，共157頁。（1）兩直線(zhíxiàn)相互平行相互(xiānghù)平行的充要條件：L1L2即第七十三頁，共157頁。（2）兩直線相互(xiānghù)垂直相互(xiānghù)垂直的充要條件：即a1a2+b1b2+c1c2=0第七十四頁，共157頁。（3）兩直線(zhíxiàn)的夾角兩直線(zhíxiàn)的夾角θ（一般為銳角）滿足：第七十五頁，共157頁。3、直線(zhíxiàn)與平面的位置關(guān)系直線(zhíxiàn)L1：方向向量平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0，

法方向第七十六頁，共157頁。(1)直線(zhíxiàn)與平面的夾角直線與平面的夾角(jiājiǎo)θ滿足第七十七頁，共157頁。(2)直線與平面(píngmiàn)平行直線與平面(píngmiàn)平行的充要條件：L11第七十八頁，共157頁。(3)直線(zhíxiàn)與平面垂直直線(zhíxiàn)與平面垂直的充要條件：L11第七十九頁，共157頁。例題(lìtí)：例7已知兩點(diǎn)A(1,-1,2)和B(3.1,1)，求向量的方向(fāngxiàng)余弦。解 ={3-1，1-（-1），1-2}={2，2，-1}，設(shè)的方向(fāngxiàng)角為則

第八十頁，共157頁。例8求通過點(diǎn)P（2,-1,-1),Q（1,2,3）且垂直于平面(píngmiàn)2x+3y-5z+6=0的平面(píngmiàn)方程。解 ，已知平面(píngmiàn)的法矢量

取所求平面(píngmiàn)為：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即：9x-y+3z-16=0第八十一頁，共157頁。直線(zhíxiàn)與平面的解題思路1、下列問題可轉(zhuǎn)化為利用點(diǎn)法式確定(quèdìng)平面方程：1）過兩條相交直線，確定(quèdìng)一個(gè)平面。取兩條相交直線的兩個(gè)方向向量的叉乘向量為所求平面的法線向量，在兩條相交直線上任取一點(diǎn)作為所求點(diǎn)，利用點(diǎn)法式。第八十二頁，共157頁。直線與平面(píngmiàn)的解題思路2）過兩條平行直線，確定一個(gè)(yīɡè)平面。在兩條平行直線上各任取一點(diǎn)第八十三頁，共157頁。直線與平面的解題(jiětí)思路3）過一條直線(zhíxiàn)與直線(zhíxiàn)外一點(diǎn)，確定一個(gè)平面。第八十四頁，共157頁。直線與平面的解題(jiětí)思路

4）過一條(yītiáo)直線垂直于一個(gè)已知平面，確定一個(gè)平面。第八十五頁，共157頁。2、下列問題可轉(zhuǎn)化為利用標(biāo)準(zhǔn)式確定直線方程：1）過一點(diǎn)且與一已知平面(píngmiàn)垂直的直線方程。只需將平面(píngmiàn)的法線向量作為所求直線的方向向量。直線與平面的解題(jiětí)思路第八十六頁，共157頁。直線與平面的解題(jiětí)思路2）過一點(diǎn)(yīdiǎn)且與兩條相交直線都垂直的直線方程。只需將兩條直線的方向向量作叉乘，將叉乘向量作為所求直線的方向向量。第八十七頁，共157頁。3）過一點(diǎn)且與一已知平面平行(píngxíng)，與一已知直線相交的直線方程。第八十八頁，共157頁。例9選擇題第八十九頁，共157頁。例9選擇題第九十頁，共157頁。例9選擇題第九十一頁，共157頁。例9選擇題第九十二頁，共157頁。（四）曲面(qūmiàn)旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面的概念(gàiniàn)旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面的方程第九十三頁，共157頁。（四）曲面(qūmiàn)曲面方程F(x,y,z)=0曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該方程；不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足該方程。滿足以上兩個(gè)條件(tiáojiàn)，該方程稱為曲面方程。第九十四頁，共157頁。曲面(qūmiàn)研究的兩個(gè)基本問題1）已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)，建立這曲面的方程；——旋轉(zhuǎn)曲面2）已知坐標(biāo)x,y和z間的一個(gè)方程時(shí)，研究(yánjiū)這方程所表示的曲面的形狀?！?，二次曲面第九十五頁，共157頁。1、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面定義：一條平面曲線繞其平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周(yīzhōu)所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。如：xOy平面內(nèi)一段方程為的曲線C，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周(yīzhōu)得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)面，該旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 第九十六頁，共157頁。1、旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)曲面例10第九十七頁，共157頁。2、柱面定義：平行(píngxíng)于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面，定曲線C為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫做柱面的母線。如果曲面方程中F(x,y,z)=0缺少一個(gè)變元，則稱其為柱面方程。柱面的母線與所缺變元同名的坐標(biāo)軸平行(píngxíng)。如F(x,y)=0為母線平行(píngxíng)于z軸的柱面方程；F(y,z)=0為母線平行(píngxíng)于x軸的柱面方程；F(x,z)=0為母線平行(píngxíng)于y軸的柱面方程。第九十八頁，共157頁。2、柱面第九十九頁，共157頁。3、二次曲面三元二次方程所表示(biǎoshì)的曲面叫做二次曲面。平面稱為一次曲面。截痕法：利用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，觀察其截痕的形狀。第一百頁，共157頁。特殊(tèshū)的二次曲面1）球面方程：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2，球心(qiúxīn)：(a，b，c)，半徑：R2）橢球面：第一百零一頁，共157頁。特殊(tèshū)的二次曲面3）單葉雙曲面方程(fāngchéng)：4）雙葉雙曲面方程(fāngchéng)：第一百零二頁，共157頁。特殊(tèshū)的二次曲面5）橢圓拋物面方程(fāngchéng)：（p,q同號）6）雙曲拋物面方程(fāngchéng)： （p,q同號） 第一百零三頁，共157頁。例11選擇題(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)與yOz平面(píngmiàn)的距離為4個(gè)單位，且與定點(diǎn)A(5,2,-1)的距離為3個(gè)單位，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）。A圓柱面；B平面(píngmiàn)x=4上的圓；C平面(píngmiàn)x=4上的橢圓D橢圓柱面第一百零四頁，共157頁。例11選擇題(2)以曲線L為母線(mǔxiàn)，以O(shè)z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程為（）。第一百零五頁，共157頁。例11選擇題(3)xOy平面上曲線(qūxiàn)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所得曲面方程是（）。第一百零六頁，共157頁。例11選擇題(4)方程表示(biǎoshì)（）。A雙曲柱面與平面x=2交線；B雙曲柱面；C雙葉雙曲面；D單葉單曲面第一百零七頁，共157頁。例11選擇題(5)方程表示(biǎoshì)（）。A：xOz平面上曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；B：xOz平面上曲線z-a=x繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；C：xOz平面上曲線z-a=y繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；D：xOz平面上曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面.第一百零八頁，共157頁。（五）空間(kōngjiān)曲線空間曲線的方程(fāngchéng)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程(fāngchéng)第一百零九頁，共157頁。(五)空間(kōngjiān)曲線1、空間曲線可以看作是兩個(gè)曲面的交線。1)一般(yībān)式：2)參數(shù)方程：若將空間曲線L上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù)：第一百一十頁，共157頁。（五）空間(kōngjiān)曲線2、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線L消去(xiāoqù)z后得而方程表示的曲線包含空間曲線在xOy面上的投影。第一百一十一頁，共157頁。2、空間曲線在坐標(biāo)(zuòbiāo)面上的投影為母線(mǔxiàn)平行于z軸的柱面以空間曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面為關(guān)于(guānyú)xOy面的投影柱面，投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線在xOy面上的投影曲線，簡稱投影。第一百一十二頁，共157頁。

例12選擇題第一百一十三頁，共157頁。二、微分學(xué)極限連續(xù)(liánxù)導(dǎo)數(shù)微分偏導(dǎo)數(shù)全微分導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用第一百一十四頁，共157頁。（一）極限(jíxiàn)極限的概念無窮大、無窮小的概念極限的四則運(yùn)算法則(fǎzé)兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限等價(jià)無窮小簡化極限運(yùn)算第一百一十五頁，共157頁。（一）極限(jíxiàn)1、定義數(shù)列的極限：如果(rúguǒ)對于任意給定的ε>0，總存在正整數(shù)N當(dāng)n>N時(shí)，恒有 <ε成立，則稱常數(shù)a為數(shù)列當(dāng)n趨于無窮時(shí)的極限。記為

第一百一十六頁，共157頁。1、定義(dìngyì)函數(shù)的極限(jíxiàn)左極限(jíxiàn)、右極限(jíxiàn)見輔導(dǎo)教材第一百一十七頁，共157頁。2、極限(jíxiàn)的性質(zhì)

1)若>0(或<0)，則必存在的某鄰域，在該鄰域內(nèi)任何異于的點(diǎn)x處，恒有f(x)>0(或<0).2)若f(x)≥0（或≤0），且，則必有A≥0（或≤0）。3)f(x)在處極限存在的充要條件是f(x)在處的左極限和右極限都存在且相等(xiāngděng)，三個(gè)值相同。第一百一十八頁，共157頁。3、極限(jíxiàn)的四則運(yùn)算

第一百一十九頁，共157頁。4、夾逼準(zhǔn)則(zhǔnzé)和重要極限1）若，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有。應(yīng)用(yìngyòng)：重要極限一第一百二十頁，共157頁。4、夾逼準(zhǔn)則(zhǔnzé)和重要極限2）單調(diào)有界的數(shù)列（或函數(shù)(hánshù)）必有極限。應(yīng)用：重要極限二第一百二十一頁，共157頁。5、無窮(wúqióng)小量、無窮(wúqióng)大量1)無窮小量：如果(rúguǒ),則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→(x→）時(shí)為無窮小量（無窮?。?。2)無窮小量的性質(zhì)有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量；無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。第一百二十二頁，共157頁。5、無窮(wúqióng)小量、無窮(wúqióng)大量第一百二十三頁，共157頁。5、無窮(wúqióng)小量、無窮(wúqióng)大量無窮大量：如果當(dāng)x→（x→）,對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值無限(wúxiàn)增大，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→（x→）時(shí)為無窮大量（無窮大）。第一百二十四頁，共157頁。例題(lìtí)例2.1選擇題(1)下列命題中正確的有（）。數(shù)列的極限A.當(dāng)n越大時(shí),un-A越小,則數(shù)列{un}必定(bìdìng)以A為極限；B.當(dāng)n越大時(shí)，un-A越小，則數(shù)列{un}必定(bìdìng)以A為極限；C.當(dāng)n越大時(shí)，un-A越接近于零，則數(shù)列{un}必定(bìdìng)以A為極限；D.對于任意給定的ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，僅有有限多項(xiàng)不滿足un-A<ε，則數(shù)列{un}必定(bìdìng)以A為極限第一百二十五頁，共157頁。例2.1選擇題（2）函數(shù)(hánshù)極限第一百二十六頁，共157頁。例2.1選擇題（3）無窮小下列命題中正確(zhèngquè)的有（）。A.無窮小量是個(gè)絕對值很小很小的數(shù)；B.無窮大量是個(gè)絕對值很大很大的數(shù)；C.x為無窮小量；D.0為無窮小量。第一百二十七頁，共157頁。例2.1選擇題(4)第一百二十八頁，共157頁。例2.1選擇題(5)設(shè)，則當(dāng)x0時(shí)（）。A.y為無窮(wúqióng)小量；B.y為無窮(wúqióng)大量；C.y不為無窮(wúqióng)小量，但為無界變量；D.y存在極限，但極限不為0。第一百二十九頁，共157頁。例2.1選擇題（6）下列等式(děngshì)中成立的是（）。第一百三十頁，共157頁。例2.1選擇題（7）當(dāng)x0時(shí)，下列(xiàliè)變量（）為x的等價(jià)無窮小量。第一百三十一頁，共157頁。例2.1選擇題（8）變量(biànliàng)在過程為（）時(shí)為無窮大量。A.x0;B.x1;C.x-1;D.x第一百三十二頁，共157頁。6、求極限(jíxiàn)的方法1）利用公式和極限的四則運(yùn)算。2）如果函數(shù)為分式，分母的極限為零，分子(fēnzǐ)的極限不為零，則由無窮大量與無窮小量的關(guān)系可知原式的極限為無窮大量。第一百三十三頁，共157頁。6、求極限(jíxiàn)的方法3）函數(shù)為分式，且分母與分子的極限都為零時(shí)(línɡshí)，約公因子；否則進(jìn)行代數(shù)或三角恒等變形。4）第一百三十四頁，共157頁。6、求極限(jíxiàn)的方法5）利用兩個(gè)重要極限6）利用夾逼準(zhǔn)則(zhǔnzé)7）利用左右極限8）利用無窮小量的性質(zhì)，利用等價(jià)無窮小代換第一百三十五頁，共157頁。例2.2求極限(jíxiàn)第一百三十六頁，共157頁。例2.3求極限(jíxiàn)第一百三十七頁，共157頁。（二）連續(xù)(liánxù)連續(xù)的定義連續(xù)性的三個(gè)要素間斷(jiànduàn)點(diǎn)的定義判別間斷(jiànduàn)點(diǎn)的類型利用函數(shù)連續(xù)性求極限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一百三十八頁，共157頁。1、連續(xù)(liánxù)的定義見書第6頁在某一點(diǎn)(yīdiǎn)連續(xù)、左連續(xù)、右連續(xù)第一百三十九頁，共157頁。2、連續(xù)(liánxù)的三要素函數(shù)(hánshù)f(x)在一點(diǎn)處連續(xù)的條件是：（1）有定義；

（2）存在；（3）。第一百四十頁，共157頁。3、間斷(jiànduàn)點(diǎn)只要不滿足連續(xù)性三要素中的任一條,則f(x)在處就不連續(xù)，不連續(xù)的點(diǎn)就稱函數(shù)(hánshù)的間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)分成以下兩類：第一類間斷點(diǎn)：是f（x）的間斷點(diǎn)，但及均存在；第二類間斷點(diǎn)：不是第一類的間斷點(diǎn)。第一百四十一頁，共157頁。第一類間斷(jiànduàn)點(diǎn)1）若、均存在(cúnzài)但不相等，則稱這種間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)；2）若及均存在(cúnzài)而且相等，則稱這種間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn)。第一百四十二頁，共157頁。4、初等(chūděng)函數(shù)的連續(xù)性一切初等(chūděng)函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的第一百四十三頁，共157頁。5、閉區(qū)間(qūjiān)上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)上連續(xù)，則