立體幾何大題

第第頁(共30頁)第第27頁（共30頁）則4(0,-2,4),B(0,-2,0),D(0,2,2),E(2g,0,0).于是麗=(-273,2,2),扇=(-2次,-2,4),麗=(-273,-2,0).設平面E4D則4(0,-2,4),B(0,-2,0),D(0,2,2),E(2g,0,0).于是麗=(-273,2,2),扇=(-2次,-2,4),麗=(-273,-2,0).設平面E4D的法向量為為二(%1,yi,zi)，則「缶1-兀+24=0,[-V3%1+y1+z1=0.取Z1=2,則％=?3,1,2),設平面BDE的法向為后=(%2,y2,z2),則產%2+丫2=0,-V3%2+y2+z2=0.取第2=1，則元2=(1,-V3,2V3).cos伍?幾〉=，3-0+1，3=顯,112V8.V164即二面角4-DE-B的平面角的余弦值為魚.423.(1)作4P1CD于點P,如圖，分別以4B,系.4P,40所在直線為％,y,z軸建立空間直角坐標則4（0,0,0），B（1。。），P（04。），D—事），。（。。2），MS。1）,'（1-9+0）,設平面0CD的法向量為五=（%,y,z）,則五?OP=0，力?。。=0,取z=V2,解得力=（0,4,72）.&y-2z=0,即2__、一返％+返&y-2z=0,即2__、一返％+返y-2z=0.22???MN〃平面OCD.(2)設AB與MD所成角為仇-AB=(1,0,0)，MD=(-應，應，-1),22...cose=睥%=匕|ab|-|md|2??.e=n，AB與MD所成角的大小為；.(3)設點B到平面OCD的距離為由則d為5B在向量力=(0,4,夜)上的投影的絕對值，由麗=(1,0,-2)，得4=臂!=2，所以點B到平面OCD的距離為j.(1)方法一：由題意可知二面角D-AC-B的平面角為ND0B,即ND0B=0.D當0=90。時，即ND0B=90。，分別取DC,BD的中點M,N,連接OM,MN,ON,???0M〃AD,MN〃BC,.ZOMN為異面直線AD與BC所成的角或其補角，在^OMN中，OM=2,MN=2,ON=V6,coszOMN=1，即異面直線AD與BC所成角的余弦值為144方法二：如圖建立空間直角坐標系O-%yz,由題意可知A(2,0,0),D(0,0,2V3),B(0,2V3,0),C(-2,0,0),.AD=(-2,0,26),BC=(-2,-2低0),??.cos(AD,BC)=4,即異面直線AD與BC所成角的余弦值為：(2)方法一：當0=60。時，即ZDOB=60。，由題意可知AC1平面DOB,ADOB為等邊三角形，

取OB的中點則有?！?平面ABC,且川7=3,.??/A,c=VCARD^即1sA4“?0//=；5人4所?4(其中4為點0到平面48°的距離)，DABCCABD3AABC3MABDd=^V13,即直線BC與平面DAB所成角的正弦值-^-713.1313方法二：如圖建立空間直角坐標系0xyz,題意可知4(2,0,0),￡)(0,V3,3),8(0,275,0),C(2,0。,AD=(2,V3,3),AB=(2,2遮,0),前=(2,273,0).設平面4BD的法向量為五=(%,y,z),2x+V3y2x+V3y+3z=0,2x+2V3y=0,即可得n=(3,V3,1),設直線BC與平面DAB所成的角為cp.貝ijsincp=\n'B￡\=%全■,|n|-|BC|13即直線BC與平面DAB所成角的正弦值-2-V13.13(1)設BE的中點為0,連接40,DO,因為4B=AE,BO=OE,所以401BE,同理。O1BE.又平面4BE1平面BCOE,平面4BEA平面BCDE=BE,所以401平面BCDE,由題意，BE2=2AB2=2DB2,所以ZB=BD=DE=a,0),不妨設04=a,以。為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系。％yz,則4(0,0,a),5(0,C(a,2a,0),D(a,0,0),E(0,a,0).a,0),所以AB=(0,—a,—a),DE=(-a,a,0),因為coslAB,DE)="竺二--a2_=—1,\AB\\DE\弋2a72a2所以AB與DE的夾角為120°,所以異面直線AB與DE所成角為60。.(2)設平面ACE的法向量為^=(.%^,2),因為AE=(0,a,—a),EC=(a,—3a,0),所以兀?AE=0,五?EC=0,所以y=z且x=3y,取y=z=1,得x=3,所以平面ACE的一個法向量為兀