廣東省云浮市素龍第一中學2023年高一數(shù)學理測試題含解析

廣東省云浮市素龍第一中學2023年高一數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列不等關系中正確的是()

參考答案：D2.已知正項數(shù)列滿足：

，設數(shù)列的前項的和，則的取值范圍為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=ex+x﹣2的零點為a，函數(shù)g（x）=lnx+x﹣2的零點為b，則下列不等式中成立的是（）A．a(chǎn)＜1＜b B．a(chǎn)＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a參考答案：A【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】根據(jù)函數(shù)與方程之間的關系轉化為函數(shù)y=ex與y=2﹣x，y=lnx與y=2﹣x交點的橫坐標的大小問題，利用數(shù)形結合進行比較即可．【解答】解：由f（x）=ex+x﹣2=0得ex=2﹣x，由g（x）=lnx+x﹣2=0得lnx=2﹣x，作出計算y=ex，y=lnx，y=2﹣x的圖象如圖：∵函數(shù)f（x）=ex+x﹣2的零點為a，函數(shù)g（x）=lnx+x﹣2的零點為b，∴y=ex與y=2﹣x的交點的橫坐標為a，y=lnx與y=2﹣x交點的橫坐標為b，由圖象知a＜1＜b，故選：A．4.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在（﹣∞，0）上是增函數(shù)的是(

)A．y=x B．y=x C．y=x﹣2 D．y=x參考答案：C【考點】函數(shù)單調性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】計算題；函數(shù)的性質及應用．【分析】依次對選項中的函數(shù)判斷其奇偶性與單調性，注意函數(shù)的定義域及基本初等函數(shù)變形．【解答】解：y=x=是偶函數(shù)，在（﹣∞，0）上單調遞減；故A錯誤；y=x是奇函數(shù)，在（﹣∞，0）上單調遞增；故B錯誤；y=x﹣2是偶函數(shù)，在（﹣∞，0）上單調遞增；故C正確；y=x的定義域為（0，+∞），故D錯誤．故選C．【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調性的判斷，屬于基礎題．5.下列函數(shù)中哪個與函數(shù)相同（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A6.cos510°的值為(

)A． B．﹣ C．﹣ D．參考答案：C【考點】運用誘導公式化簡求值．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】直接利用誘導公式化簡求值即可．【解答】解：cos510°=cos（360°+150°）=cos150°=﹣cos30°=．故選：C．【點評】本題考查誘導公式的應用，三角函數(shù)的化簡求值，基本知識的考查．7.當a＞1時，在同一坐標系中，函數(shù)y=ax與y=logax的圖象是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質．【專題】作圖題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)底數(shù)與指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)單調性即可判斷．【解答】解：a＞1時，函數(shù)y=ax與y=logax的均為增函數(shù)，故選：B．【點評】本題考查的知識是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握底數(shù)與指數(shù)（對數(shù)）函數(shù)單調性的關系是解答本題的關鍵．8.

若U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2}，N＝{2，3}，則Cu(MUN)＝

(

)

A．{4}

B．{2}

C．{1，3，4}

D．{1，2，3}參考答案：A9.當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：B略10.已知，則的大小關系為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若數(shù)列{an}的前n項和為，則通項公式為__________．參考答案：【分析】利用求解，但要注意驗證n=1時是否成立.【詳解】當n=1時，；又，【點睛】本題考查利用數(shù)列前n項和求數(shù)列通項公式，屬于基礎題目，解題中需要注意利用公式求解出的通項公式需要驗證n=1時，是否滿足題目條件.

12.直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸所圍成的三角形面積是．參考答案：5【分析】求出直線與坐標軸的交點，即可求解三角形的面積．【解答】解：直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸的交點坐標為（0，﹣2），（5，0），所以直線2x﹣5y﹣10=0與坐標軸所圍成的三角形面積是：=5．故答案為：5．13.已知，則以線段為直徑的圓的方程為

；參考答案：略14.若不等式恒成立，則的范圍__________．參考答案：見解析設．∴是關于遞增數(shù)列，∴，∴．15.已知log163=m，則用m表示log916=．參考答案：【考點】對數(shù)的運算性質．【分析】利用對數(shù)的性質、運算法則、換底公式直接求解．【解答】解：∵log163=m，∴l(xiāng)og916===．故答案為：．【點評】本題考查對數(shù)式化簡求值，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數(shù)的性質、運算法則、換底公式的合理運用．16.如圖是一正方體的表面展開圖.B、N、Q都是所在棱的中點.則在原正方體中：①MN與CD異面；②MN∥平面PQC；③平面MPQ⊥平面CQN；④EQ與平面AQB形成的線面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值為.其中真命題的序號是______.參考答案：①②④【分析】將正方體的表面展開圖還原成正方體，利用正方體中線線、線面以及面面關系，以及直線與平面所成角的定義和二面角的定義進行判斷.【詳解】根據(jù)條件將正方體進行還原如下圖所示：對于命題①，由圖形可知，直線與異面，命題①正確；對于命題②，、分別為所在棱的中點，易證四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，命題②正確；對于命題③，在正方體中，平面，由于四邊形為平行四邊形，，平面.、平面，，.則二面角所成的角為，顯然不是直角，則平面與平面不垂直，命題③錯誤；對于命題④，設正方體的棱長為2，易知平面，則與平面所成的角為，由勾股定理可得，，在中，，即直線與平面所成線面角的正弦值為，命題④正確；對于命題⑤，在正方體中，平面，且，平面.、平面，，，所以，二面角的平面角為，在中，由勾股定理得，，由余弦定理得，命題⑤錯誤.故答案為：①②④.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面關系的判斷以及線面角、二面角的計算，判斷時要從空間中有關線線、線面、面面關系的平行或垂直的判定或性質定理出發(fā)進行推導，在計算空間角時，則應利用空間角的定義來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.17.已知a+a﹣1=3，則a+a=．參考答案：【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．【分析】利用a+a=，即可得出．【解答】解：∵a＞0，∴a+a==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．（1）當x∈[0，]時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；（2）若x∈[﹣，]，求函數(shù)g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1的值域．參考答案：【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質．【分析】（1）首先，結合輔助角公式，化簡函數(shù)解析式，然后，利用降冪公式進行處理即可，然后，結合正弦函數(shù)的單調性和周期進行求解；（2）首先，化簡函數(shù)g（x）的解析式，然后，結合所給角度的范圍，換元法進行轉化為二次函數(shù)的區(qū)間最值問題進行求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2﹣2．=[2sin（x+）]2﹣2=4sin2（x+）﹣2=2[1﹣cos（2x+）]﹣2=﹣2cos（2x+），∴f（x）=﹣2cos（2x+），可以令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，∴kπ﹣≤x≤+kπ，∵x∈[0，]，∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間[0，]．（2）g（x）=f2（x）﹣f（x+）﹣1=×4cos2（2x+）+2cos[2（x+）+]﹣1=2cos2（2x+）+2cos（2x++）﹣1=2cos2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=2﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）﹣1=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1∴g（x）=﹣2sin2（2x+）﹣2sin（2x+）+1令sin（2x+）=t，∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x≤，∴≤2x+≤，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴t∈[﹣，1]，∴y=﹣2t2﹣2t+1，t∈[﹣，1]，=﹣2（t+）2+1+=﹣2（t+）2+，∴最大值為，最小值為﹣3．∴值域為[﹣3，]．【點評】本題重點考查了三角公式、輔助角公式、降冪公式、兩角和與差的三角公式等知識，屬于中檔題．19.已知函數(shù).（1）求證：f(x)是R上的奇函數(shù)；（2）求的值；（3）求證：f(x)在[－1,1]上單調遞增，在[1,+∞)上單調遞減；（4）求f(x)在[－1,+∞)上的最大值和最小值；（5）直接寫出一個正整數(shù)n，滿足．參考答案：（1）證明見解析；（2）0；（3）證明見解析；（4）最大值，最小值；（5）答案不唯一，具體見解析.【分析】（1）利用奇偶性的定義證明即可；（2）代值計算即可得出的值；（3）任取，作差，通分、因式分解后分和兩種情況討論的符號，即可證明出結論；（4）利用（3）中的結論可求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（5）可取滿足的任何一個整數(shù)，利用函數(shù)的單調性和不等式的性質可推導出成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱，且，因此，函數(shù)是上的奇函數(shù)；（2）；（3）任取，.當時，，，，則；當時，，，，則.因此，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；（4）由于函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，函數(shù)取最大值，即；當時，，所以，當時，函數(shù)取最小值，即.綜上所述，函數(shù)在上的最大值為，最小值為；（5）由于函數(shù)在上單調遞減，當時，，所以，滿足任何一個整數(shù)均滿足不等式.可取，滿足條件.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性的證明、利用單調性求最值，同時也考查了函數(shù)值的計算以及函數(shù)不等式問題，考查分析問題和解決問題能力，屬于中等題.20.求值：（1）（2）sin45°cos15°﹣cos45°sin15°．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)；根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)學模型法；三角函數(shù)的圖像與性質．【分析】（1）化根式為分數(shù)指數(shù)冪，然后結合對數(shù)的運算性質化簡求值；（2）直接利用兩角差的正弦得答案．【解答】解：（1）==9﹣25+9+2=﹣5；（2）sin45°cos15°﹣cos45°sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=．【點評】本題考查根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化及化簡運算，考查了兩角和與差的正弦，是基礎的計算題．21.設函數(shù)（且）是定義域為R的奇函數(shù).（1）求k的值；（2）若，不等式對恒成立，求實數(shù)t的最小值.參考答案：解：（1）是定義在上的奇函數(shù)，對于任意的實數(shù)恒成立，即對于任意的實數(shù)恒成立，.（2）由（1）知，因為，所以，解得或（舍去），故任取且，則由指數(shù)函數(shù)的單調性知，故函數(shù)是上的減函數(shù)，由函數(shù)為奇函數(shù)且單調遞減，知，即在上恒成立則，即實數(shù)的最小值是2.22.已知函數(shù)f（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）若y=f（x）的圖象經(jīng)過點(，2)，求實數(shù)a的值；（Ⅱ）若f（x）＞0，求x的取值范圍．參考答案：【考點】指、對數(shù)不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點，代入點