廣東省佛山市黃岐中學2022年高三數學理模擬試卷含解析

廣東省佛山市黃岐中學2022年高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=，若在區(qū)間（1，∞）上存在n（n≥2）個不同的數x1，x2，x3，…，xn，使得==…成立，則n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}參考答案：D【考點】分段函數的應用．【分析】由題意可知n為方程f（x）=kx的解的個數，判斷f（x）的單調性，作出y=f（x）與y=kx的函數圖象，根據圖象交點個數判斷．【解答】解：設==…=k，則方程有n個根，即f（x）=kx有n個根，f（x）=，∴f（x）在（1，）上單調遞增，在（，2）上單調遞減．當x＞2時，f′（x）=ex﹣2（﹣x2+8x﹣12）+ex﹣2（﹣2x+8）=ex﹣2（﹣x2+6x﹣4），設g（x）=﹣x2+6x﹣4（x＞2），令g（x）=0得x=3+，∴當2時，g（x）＞0，當x＞3+時，g（x）＜0，∴f（x）在（2，3+）上單調遞增，在（3+，+∞）上單調遞減，作出f（x）與y=kx的大致函數圖象如圖所示：由圖象可知f（x）=kx的交點個數可能為1，2，3，4，∵n≥2，故n的值為2，3，4．故選D．2.將函數的圖象按向量平移后得到圖象對應的函數解析式是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D圖象按向量平移，相當于先向右平移個單位，然后在向上平移1個單位。圖象向右平移個單位，得到，然后向上平移1個單位得到，選D.3.閱讀右面的程序框圖，則輸出的（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：A略4.(理科)在實數集R中定義一種運算“﹡”，具有性質：①對任意;②對任意

;③對任意則函數的最小值是A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C5.對于任意給定的實數m，直線3x+y﹣m=0與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）最多有一個交點，則雙曲線的離心率等于（） A． B． C． 3 D． 2參考答案：A6.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C7.

函數的零點所在的區(qū)間為(A)(0,1)

(B)(l,2)

(C)(2,3)

(D)(3,4)參考答案：B略8.在區(qū)間[－2,2]上任意取一個數x，使不等式成立的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】先解不等式，再根據幾何概型概率公式計算結果.【詳解】由得，所以所求概率為，選D.【點睛】(1)當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域．（3）幾何概型有兩個特點：一是無限性，二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．

9.設集合,,則

(）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是()

A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=2，且數列{}也為等差數列，則a13=．參考答案：50考點：等差數列的前n項和．專題：等差數列與等比數列．分析：由題意可得，，的值，由數列{}也為等差數列可得2=+，解方程可得d值，由等差數列的通項公式可得．解答：解：設等差數列{an}的公差為d，∵a1=2，∴=，∴=，=，∵數列{}也為等差數列，∴2=+，解得d=4，∴a13=2+12×4=50，故答案為：50．點評：本題考查等差數列的求和公式，屬基礎題12.已知函數f（x）的值域為R，則a的取值范圍為_____．參考答案：【分析】討論a的取值范圍，分別求出兩個函數的取值范圍，結合函數的值域是R，建立不等式關系進行求解即可．【詳解】當a≤0時，不滿足條件．當a＞0時，若0＜x＜2，則f（x）＝a+log2x∈（﹣∞，a+1），當x≥2時，f（x）＝ax2﹣3∈[4a﹣3，+∞），要使函數的值域為R，則4a﹣3≤a+1，得a≤，即實數a的取值范圍是（0，]，故答案為：（0，]【點睛】本題主要考查分段函數的應用，求出函數的各自的取值范圍，結合函數的值域建立不等式關系是解決本題的關鍵．分段函數分段處理，這是研究分段函數圖象和性質最核心的理念，具體做法是：分段函數的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數的奇偶性、單調性要在各段上分別論證；分段函數的最大值，是各段上最大值中的最大者。13.已知圓C過點，且圓心在x軸的負半軸上，直線被該圓所截得的弦長為，則過圓心且與直線l平行的直線方程為________.參考答案：x-y+3=014.已知點的兩側，則下列說法正確的是

。（寫出所有正確結論的序號）

①；

②若O為坐標原點，點為鈍角；

③有最小值，無最大值；

④；

⑤存在正實數M，使恒成立。參考答案：④⑤15.任給實數定義

設函數，若是公比大于的等比數列，且，則[

參考答案：e16.不共線向量，滿足，且，則與的夾角為．參考答案：【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【分析】設與的夾角為θ，利用兩個向量垂直的性質，兩個向量數量積的定義，求得cosθ的值，可得θ的值．【解答】解：設與的夾角為θ，∵不共線向量，滿足，且，則θ∈（0，π），∴（﹣2）=﹣2=﹣2||?||cosθ=﹣2cosθ=0，∴cosθ=，∴θ=，故答案為：．17.已知函數（），若函數在區(qū)間上是單調減函數，則的最小值是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)小明家訂了一份報紙，寒假期間他收集了每天報紙送達時間的數據，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．(Ⅰ)根據圖中的數據信息，寫出眾數；(Ⅱ)小明的父親上班離家的時間在上午之間，而送報人每天在時刻前后半小時內把報紙送達(每個時間點送達的可能性相等)．①求小明的父親在上班離家前能收到報紙(稱為事件)的概率；②求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報紙的天數的數學期望．參考答案：(1)眾數是頻率分布直方圖中頻率最高的時間段的中點，所以

……2分(2)①設報紙送達時間為，則小明父親上班前能取到報紙等價于，………………4分

如圖可知，

事件A對應的區(qū)域為圖中陰影梯形AECD，所有基本事件對應區(qū)域為矩形ABCD，……………….......................5分

，………………..........................6分

所求事件A的概率為………………...................…8分

②服從二項分布......……………..…10分

故(天)….........................…12分19.（本小題滿分14分）已知函數.（1）若曲線在處的切線為，求的值；（2）設，，證明：當時，的圖象始終在的圖象的下方；（3）當時，設，（為自然對數的底數），表示導函數，求證：對于曲線上的不同兩點，，，存在唯一的，使直線的斜率等于．參考答案：(1)，此時，又，所以曲線在點處的切線方程為，由題意得，，.

………3分（2）則在單調遞減，且當時，即，當時，的圖像始終在的圖象的下方.

……………

7分（3）

由題，.∵，∴，∴，即，

………9分設,則是關于的一次函數，故要在區(qū)間證明存在唯一性，只需證明在上滿足.下面證明之：，，為了判斷的符號，可以分別將看作自變量得到兩個新函數，討論他們的最值：，將看作自變量求導得，是的增函數，∵，∴；………..11分同理：，將看作自變量求導得，是的增函數，∵，∴；∴，

∴函數在內有零點，……………..13分又，函數在是增函數，∴函數在內有唯一零點，從而命題成立.

……14分20.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2=4和動直線l：x=my+1．（1）證明：不論m為何值時，直線l與圓C都相交；（2）若直線l與圓C相交于A，B，點A關于軸x的對稱點為A1，試探究直線A1B與x軸是否交于一個定點？請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（1）圓C：x2+y2=4和動直線l：x=my+1聯(lián)立方程組，利用判別式進行判斷即可．（2）直線l與圓C相交于A，B，設出A，B坐標，利用韋達定理建立關系，求解直線A1B方程，令y=0求解x的值s是一個定值即可．【解答】證明：（1）由題意，圓C：x2+y2=4和動直線l：x=my+1聯(lián)立方程組，消去x，可得：（m2+1）y2+2my﹣3=0，由判別式△=4m2+12（m2+1）=16m2+12＞0∴不論m為何值時，直線l與圓C都相交；解：（2）直線l與圓C相交于A，B，設A坐標為（x1，y1），B坐標為（x2，y2），點A關于軸x的對稱點為A1，∴A′的坐標為（x1，﹣y1）直線A1B方程為：y+y2=（x﹣x2）由（1）可得：（m2+1）y2+2my﹣3=0，那么：，同理，消去y，可得：（m2+1）x2﹣2x+1﹣4m2=0那么：，，令直線A1B方程：y+y2=（x﹣x2）中的y=0，解得：x=是一個定值常數．故得直線A1B與x軸交于一個定點為（，0）．21.在中，內角所對的邊長分別為，，，.求sinC和b的值.參考答案：解：