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文檔簡介
廣東省佛山市黃岐中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f(x)=,若在區(qū)間(1,∞)上存在n(n≥2)個不同的數(shù)x1,x2,x3,…,xn,使得==…成立,則n的取值集合是()A.{2,3,4,5} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{2,3,4}參考答案:D【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.【分析】由題意可知n為方程f(x)=kx的解的個數(shù),判斷f(x)的單調(diào)性,作出y=f(x)與y=kx的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象交點個數(shù)判斷.【解答】解:設(shè)==…=k,則方程有n個根,即f(x)=kx有n個根,f(x)=,∴f(x)在(1,)上單調(diào)遞增,在(,2)上單調(diào)遞減.當(dāng)x>2時,f′(x)=ex﹣2(﹣x2+8x﹣12)+ex﹣2(﹣2x+8)=ex﹣2(﹣x2+6x﹣4),設(shè)g(x)=﹣x2+6x﹣4(x>2),令g(x)=0得x=3+,∴當(dāng)2時,g(x)>0,當(dāng)x>3+時,g(x)<0,∴f(x)在(2,3+)上單調(diào)遞增,在(3+,+∞)上單調(diào)遞減,作出f(x)與y=kx的大致函數(shù)圖象如圖所示:由圖象可知f(x)=kx的交點個數(shù)可能為1,2,3,4,∵n≥2,故n的值為2,3,4.故選D.2.將函數(shù)的圖象按向量平移后得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:D圖象按向量平移,相當(dāng)于先向右平移個單位,然后在向上平移1個單位。圖象向右平移個單位,得到,然后向上平移1個單位得到,選D.3.閱讀右面的程序框圖,則輸出的(
)
A.
B.
C.
D.
參考答案:A略4.(理科)在實數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“﹡”,具有性質(zhì):①對任意;②對任意
;③對任意則函數(shù)的最小值是A.1
B.2
C.3
D.4參考答案:C5.對于任意給定的實數(shù)m,直線3x+y﹣m=0與雙曲線﹣=1(a>0,b>0)最多有一個交點,則雙曲線的離心率等于() A. B. C. 3 D. 2參考答案:A6.已知集合,,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C7.
函數(shù)的零點所在的區(qū)間為(A)(0,1)
(B)(l,2)
(C)(2,3)
(D)(3,4)參考答案:B略8.在區(qū)間[-2,2]上任意取一個數(shù)x,使不等式成立的概率為(
)A. B. C. D.參考答案:D【分析】先解不等式,再根據(jù)幾何概型概率公式計算結(jié)果.【詳解】由得,所以所求概率為,選D.【點睛】(1)當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時,應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時,關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找,有時需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.(3)幾何概型有兩個特點:一是無限性,二是等可能性.基本事件可以抽象為點,盡管這些點是無限的,但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的,因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率.
9.設(shè)集合,,則
()A.
B.
C.
D.參考答案:C10.若某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值是()
A.
B.
C.
D.參考答案:D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=2,且數(shù)列{}也為等差數(shù)列,則a13=.參考答案:50考點:等差數(shù)列的前n項和.專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:由題意可得,,的值,由數(shù)列{}也為等差數(shù)列可得2=+,解方程可得d值,由等差數(shù)列的通項公式可得.解答:解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a1=2,∴=,∴=,=,∵數(shù)列{}也為等差數(shù)列,∴2=+,解得d=4,∴a13=2+12×4=50,故答案為:50.點評:本題考查等差數(shù)列的求和公式,屬基礎(chǔ)題12.已知函數(shù)f(x)的值域為R,則a的取值范圍為_____.參考答案:【分析】討論a的取值范圍,分別求出兩個函數(shù)的取值范圍,結(jié)合函數(shù)的值域是R,建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)a≤0時,不滿足條件.當(dāng)a>0時,若0<x<2,則f(x)=a+log2x∈(﹣∞,a+1),當(dāng)x≥2時,f(x)=ax2﹣3∈[4a﹣3,+∞),要使函數(shù)的值域為R,則4a﹣3≤a+1,得a≤,即實數(shù)a的取值范圍是(0,],故答案為:(0,]【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用,求出函數(shù)的各自的取值范圍,結(jié)合函數(shù)的值域建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.分段函數(shù)分段處理,這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念,具體做法是:分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集,分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證;分段函數(shù)的最大值,是各段上最大值中的最大者。13.已知圓C過點,且圓心在x軸的負(fù)半軸上,直線被該圓所截得的弦長為,則過圓心且與直線l平行的直線方程為________.參考答案:x-y+3=014.已知點的兩側(cè),則下列說法正確的是
。(寫出所有正確結(jié)論的序號)
①;
②若O為坐標(biāo)原點,點為鈍角;
③有最小值,無最大值;
④;
⑤存在正實數(shù)M,使恒成立。參考答案:④⑤15.任給實數(shù)定義
設(shè)函數(shù),若是公比大于的等比數(shù)列,且,則[
參考答案:e16.不共線向量,滿足,且,則與的夾角為.參考答案:【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角.【分析】設(shè)與的夾角為θ,利用兩個向量垂直的性質(zhì),兩個向量數(shù)量積的定義,求得cosθ的值,可得θ的值.【解答】解:設(shè)與的夾角為θ,∵不共線向量,滿足,且,則θ∈(0,π),∴(﹣2)=﹣2=﹣2||?||cosθ=﹣2cosθ=0,∴cosθ=,∴θ=,故答案為:.17.已知函數(shù)(),若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),則的最小值是
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)小明家訂了一份報紙,寒假期間他收集了每天報紙送達(dá)時間的數(shù)據(jù),并繪制成頻率分布直方圖,如圖所示.(Ⅰ)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息,寫出眾數(shù);(Ⅱ)小明的父親上班離家的時間在上午之間,而送報人每天在時刻前后半小時內(nèi)把報紙送達(dá)(每個時間點送達(dá)的可能性相等).①求小明的父親在上班離家前能收到報紙(稱為事件)的概率;②求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報紙的天數(shù)的數(shù)學(xué)期望.參考答案:(1)眾數(shù)是頻率分布直方圖中頻率最高的時間段的中點,所以
……2分(2)①設(shè)報紙送達(dá)時間為,則小明父親上班前能取到報紙等價于,………………4分
如圖可知,
事件A對應(yīng)的區(qū)域為圖中陰影梯形AECD,所有基本事件對應(yīng)區(qū)域為矩形ABCD,……………….......................5分
,………………..........................6分
所求事件A的概率為………………...................…8分
②服從二項分布......……………..…10分
故(天)….........................…12分19.(本小題滿分14分)已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線為,求的值;(2)設(shè),,證明:當(dāng)時,的圖象始終在的圖象的下方;(3)當(dāng)時,設(shè),(為自然對數(shù)的底數(shù)),表示導(dǎo)函數(shù),求證:對于曲線上的不同兩點,,,存在唯一的,使直線的斜率等于.參考答案:(1),此時,又,所以曲線在點處的切線方程為,由題意得,,.
………3分(2)則在單調(diào)遞減,且當(dāng)時,即,當(dāng)時,的圖像始終在的圖象的下方.
……………
7分(3)
由題,.∵,∴,∴,即,
………9分設(shè),則是關(guān)于的一次函數(shù),故要在區(qū)間證明存在唯一性,只需證明在上滿足.下面證明之:,,為了判斷的符號,可以分別將看作自變量得到兩個新函數(shù),討論他們的最值:,將看作自變量求導(dǎo)得,是的增函數(shù),∵,∴;………..11分同理:,將看作自變量求導(dǎo)得,是的增函數(shù),∵,∴;∴,
∴函數(shù)在內(nèi)有零點,……………..13分又,函數(shù)在是增函數(shù),∴函數(shù)在內(nèi)有唯一零點,從而命題成立.
……14分20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+y2=4和動直線l:x=my+1.(1)證明:不論m為何值時,直線l與圓C都相交;(2)若直線l與圓C相交于A,B,點A關(guān)于軸x的對稱點為A1,試探究直線A1B與x軸是否交于一個定點?請說明理由.參考答案:【考點】直線與圓的位置關(guān)系.【分析】(1)圓C:x2+y2=4和動直線l:x=my+1聯(lián)立方程組,利用判別式進(jìn)行判斷即可.(2)直線l與圓C相交于A,B,設(shè)出A,B坐標(biāo),利用韋達(dá)定理建立關(guān)系,求解直線A1B方程,令y=0求解x的值s是一個定值即可.【解答】證明:(1)由題意,圓C:x2+y2=4和動直線l:x=my+1聯(lián)立方程組,消去x,可得:(m2+1)y2+2my﹣3=0,由判別式△=4m2+12(m2+1)=16m2+12>0∴不論m為何值時,直線l與圓C都相交;解:(2)直線l與圓C相交于A,B,設(shè)A坐標(biāo)為(x1,y1),B坐標(biāo)為(x2,y2),點A關(guān)于軸x的對稱點為A1,∴A′的坐標(biāo)為(x1,﹣y1)直線A1B方程為:y+y2=(x﹣x2)由(1)可得:(m2+1)y2+2my﹣3=0,那么:,同理,消去y,可得:(m2+1)x2﹣2x+1﹣4m2=0那么:,,令直線A1B方程:y+y2=(x﹣x2)中的y=0,解得:x=是一個定值常數(shù).故得直線A1B與x軸交于一個定點為(,0).21.在中,內(nèi)角所對的邊長分別為,,,.求sinC和b的值.參考答案:解:
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