廣東省廣州市增城市新塘鎮(zhèn)永和中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

廣東省廣州市增城市新塘鎮(zhèn)永和中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若如圖的程序框圖輸出的，可輸入的的值的個(gè)數(shù)為（

）（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：D2.公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為。若是與的等比中項(xiàng)，，則等于（

）A.18 B.24 C.60 D.90參考答案：C因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，又，即，解得，所以，選C.3.下列不等式中正確的是（

）A．

B.

C．

D.參考答案：A略4.已知sin（α－）=，則cos（α+）=（）A． B． C． D．參考答案：A【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)要求的式子，可得結(jié)果．【解答】解：∵sin（α）=，則cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故選：A．5.直線與圓相交于M、N兩點(diǎn)，若的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（）A.

B.4

C.2

D.參考答案：B7.若關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

） (A)

(B) (C)(1,+∞)

(D)參考答案：B略8.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1且斜率為的直線與雙曲線的兩漸近線分別交于點(diǎn)A，B，并且,則雙曲線的離心率為(

）A．

B．

C.2

D．參考答案：A9.已知等差數(shù)列中，，.若公差為某一自然數(shù),則n的所有可能取值為(

)A．3,23,69

B.4,24,70

C.4,23,70

D.3,24,70參考答案：B10.在平行四邊形中分別邊的中點(diǎn)，且，則

A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的值；（Ⅱ）設(shè)銳角的內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別是，且，若向量與向量平行，求的值。參考答案：解：（1）………..3分，……..4分

所以當(dāng)，取得最大值；當(dāng)，取得最小值；………..6分（2）因?yàn)橄蛄颗c向量平行，所以，…………….8分由余弦定理，，又，經(jīng)檢驗(yàn)符合三角形要求………..12分

略12.若1＜α＜3，﹣4＜β＜2，則α﹣|β|的取值范圍是．

參考答案：（﹣3，3）考點(diǎn)： 不等式的基本性質(zhì)；不等關(guān)系與不等式．專題： 計(jì)算題．分析： 由﹣4＜β＜2，可得|β|＜4，故0﹣4＜﹣|β|≤0①，再由1＜α＜3②，把①②相加可得α﹣|β|的取值范圍．解答： 解：∵﹣4＜β＜2，∴|β|＜4，故0﹣4＜﹣|β|≤0①，再由1＜α＜3②，把①②相加可得﹣4+1＜α﹣|β|＜0+3，即﹣3＜α﹣|β|＜3，故答案為（﹣3，3）．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13.已知等比數(shù)列的公比為，若，則參考答案：6【考點(diǎn)】等比數(shù)列【試題解析】由題知：

所以14.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，則a=．參考答案：2略15.已知函數(shù)，且，則的值為_

．參考答案：16.已知正三角形的邊長(zhǎng)為4，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為

．參考答案：

17.若x，y滿足約束條件，則的最小值為

．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到使取最大值的最優(yōu)解，求出其最大值，在的最小值可求．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（1，3），∴的最大值為3，則的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且分別在第一,二象限.是圓與軸正半軸的交點(diǎn)，為正三角形.若點(diǎn)的坐標(biāo)為.

記．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值；

（2）求的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知，，得，.................................2分所以＝..........................5分（Ⅱ）因?yàn)槿切蜛OB為正三角形，所以，所以==...............................6分所以=.........7分

,

,即,.................................9分.................................10分

略19.（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換已知，若矩陣所對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為它自身。（Ⅰ）求矩陣A；（Ⅱ）求矩陣A的逆矩陣。參考答案：（Ⅰ）法一：設(shè)為直線上任意一點(diǎn)其在的作用下變?yōu)閯t

--------------------3分代入得：其與完全一樣得則矩陣

---------------------------------5分法二：在直線上任取兩點(diǎn)（2、1）和（3、3），

---------------1分則,即得點(diǎn),,即得點(diǎn),

------------------------------------------------3分將和分別代入得

則矩陣．---------5分（Ⅱ）因?yàn)椋跃仃嘙的逆矩陣為．

-------------7分20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，方向向量為的直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)（1）若點(diǎn)A在x軸的上方，且，求直線l的方程；（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面積為6，求k的值；（3）當(dāng)k（k≠0）變化時(shí)，是否存在一點(diǎn)C（x0，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，若存在，求出x0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；三角形的面積公式；直線的一般式方程．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）根據(jù)橢圓方程，算出右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，0），結(jié)合橢圓上位于x軸上方的點(diǎn)A滿足算出A（0，3），由此可得直線l的斜率k=﹣1，即可求出直線l的方程；（2）設(shè)直線l：y=k（x﹣3），與橢圓方程聯(lián)解消去y得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0，由根與系數(shù)的關(guān)系算出AB的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值關(guān)于k的式子，再根據(jù)△PAB的面積為6建立關(guān)于k的方程，化簡(jiǎn)整理得k4﹣k2﹣2=0，解之得k=1（舍負(fù)）；（3）設(shè)直線l方程為y=k（x﹣3）與橢圓方程聯(lián)解消去y得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后化簡(jiǎn)kAD+kBD=0為關(guān)于x1、y1、x2、y2和x0的等式，化簡(jiǎn)整理得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，再將前面算出的x1+x2和x1x2的表達(dá)式代入化簡(jiǎn)可得x0=6，由此可得存在一點(diǎn)C（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．解答：解（1）∵橢圓方程為∴a2=18，b2=9，得c==3，可得F（3，0）…（1分）∵且點(diǎn)A在x軸的上方，…（2分）∴可得A在橢圓上且，得A是橢圓的上頂點(diǎn)，坐標(biāo)為A（0，3）由此可得l的斜率k=﹣1，…（3分）因此，直線l的方程為：，化簡(jiǎn)得x+y﹣3=0…（4分）（2）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），直線l：y=k（x﹣3）…（5分）將直線與橢圓方程聯(lián)列，…（6分）消去x，得（1+2k2）y2+6ky﹣9k2=0…（7分）由于△＞0恒成立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得…（8分）∴…（9分）因此，可得S△PAB=化簡(jiǎn)整理，得k4﹣k2﹣2=0，由于k＞0，解之得k=1…（10分）（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)C（x0，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0，根據(jù)題意，得直線l：y=k（x﹣3）（k≠0）由消去y，得（1+2k2）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）=0…（12分）由于△＞0恒成立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得…（*）…（13分）

而，，…（14分）∴=由此化簡(jiǎn)，得2kx1x2﹣k（x0+3）（x1+x2）+6kx0=0，…（15分）將（*）式代入，可得，解之得x0=6，∴存在一點(diǎn)C（6，0），使得直線AC和BC的斜率之和為0．…（16分）點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓方程，在直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F且交橢圓于A、B兩點(diǎn)且滿足的情況下求直線l的方程，并且討論了x軸上是否存在一點(diǎn)C使得直線AC和BC的斜率之和為0的問(wèn)題．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．21.不等式選講已知。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。參考答案：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，

∴

所以的取值范圍是

………5分（Ⅱ）同理，

………7分若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則，解集為

………10分略22.

設(shè)n為≥2的自然數(shù)．證明方程xn＋1＝y(tǒng)n＋1在x與n＋1互質(zhì)時(shí)無(wú)正整數(shù)解．參考答案：證明：xn＝y(tǒng)n＋1－1＝(y－1)(