廣東省廣州市第八十四中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

廣東省廣州市第八十四中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)對任意都有，若的圖象關(guān)于軸對稱，且，則(

)

A．2

B．3

C．4

D．6參考答案：A略2.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有（）A．60種 B．70種 C．75種 D．150種參考答案：C【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題；D8：排列、組合的實際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分2步分析，先從6名男醫(yī)生中選2人，再從5名女醫(yī)生中選出1人，由組合數(shù)公式依次求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，先從6名男醫(yī)生中選2人，有C62=15種選法，再從5名女醫(yī)生中選出1人，有C51=5種選法，則不同的選法共有15×5=75種；故選C．3.點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離，那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是（

）A．圓

B．橢圓

C．雙曲線的一支

D．直線參考答案：D4.以下四個命題中，其中正確的個數(shù)為（）①命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x2﹣3x+2=0”；②“”是“cos2α=0”的充分不必要條件；③若命題，則?p：?x∈R，x2+x+1=0；④若p∧q為假，p∨q為真，則p，q有且僅有一個是真命題．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)命題和它的逆否命題之間的關(guān)系，即可判斷①錯誤；根據(jù)時cos2α=0成立判斷充分性，cos2α=0時α=不成立判斷必要性，得出②正確；根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，得出③錯誤；根據(jù)復(fù)合命題的真值表判斷④正確．【解答】解：對于①，命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”，故①錯誤；對于②，時，cos2α=cos=0，充分性成立；cos2α=0時，α=+，k∈Z，必要性不成立，是充分不必要條件，故②正確；對于③，命題，則?p：?x∈R，x2+x+1≠0，故③錯誤；對于④，當(dāng)p∧q為假命題，p∨q為真命題時，p，q中有且僅有一個是真命題，故④正確．綜上，正確的命題序號是②④，共2個．故選：B．【點評】本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了四種命題，充分與必要條件以及復(fù)合命題的真假判斷問題，是綜合性題目．5.設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.若集合A={x|2x＞1}，集合B={x|lnx＞0}，則“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】分別求出關(guān)于集合A、B的范圍，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：集合A={x|2x＞1}={x|x＞0}，集合B={x|lnx＞0}={x|x＞1}，則B?A則“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，故選：B．7.下列命題中正確的是（（）A．若p∨q為真命題，則p∧q為真命題B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要條件C．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1或x≠2，則x2﹣3x+2≠0”D．命題p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，則￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】A根據(jù)且命題和或命題的概念判斷即可；B均值定理等號成立的條件判斷；C或的否定為且；D對存在命題的否定，應(yīng)把存在改為任意，然后再否定結(jié)論．【解答】解：A、若p∨q為真命題，p和q至少有一個為真命題，故p∧q不一定為真命題，故錯誤；B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必須a=b時，等號才成立，故不是充分必要條件，故錯誤；C、命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x≠1且x≠2，則x2﹣3x+2≠0”，故錯誤；D、對存在命題的否定，應(yīng)把存在改為任意，然后再否定結(jié)論，命題p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，則￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正確．故選：D．8.已知橢圓：+=1，若橢圓的焦距為2，則k為（）A．1或3 B．1 C．3 D．6參考答案：A【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】利用橢圓的簡單性質(zhì)直接求解．【解答】解：①橢圓+=1，中a2=2，b2=k，則c=，∴2c=2=2，解得k=1．②橢圓+=1，中a2=k，b2=2，則c=，∴2c=2=2，解得k=3．綜上所述，k的值是1或3．故選：A．9.執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，輸出的k的值是（

） A、9

B、10

C、11

D、12參考答案：C10.已知O、A、B三地在同一水平面內(nèi)，A地在O地正東方向2km處，B地在O地正北方向2km處，某測繪隊員在A、B之間的直線公路上任選一點C作為測繪點，用測繪儀進行測繪，O地為一磁場，距離其不超過km的范圍內(nèi)會測繪儀等電子儀器形成干擾，使測量結(jié)果不準(zhǔn)確，則該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是（）A．1﹣ B． C．1﹣ D．參考答案：A【考點】解三角形的實際應(yīng)用．【分析】作出圖形，以長度為測度，即可求出概率．【解答】解：由題意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地為一磁場，距離其不超過km的范圍為個圓，與AB相交于C，D兩點，作OE⊥AB，則OE=，所以CD=2，所以該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是1﹣=1﹣．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若=上是減函數(shù)，則的取值范圍是

。參考答案：略12.聯(lián)合體某校高三文科4個班級共200位學(xué)生，其中80位學(xué)生參加了數(shù)學(xué)興趣小組，155位學(xué)生參加了英語興趣小組，那么既參加數(shù)學(xué)興趣小組又參加英語興趣小組的學(xué)生個數(shù)的最大值和最小值的差是

參考答案：

45略13.函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線，則的圖象的頂點在（

）

參考答案：第二象限14.已知，則=________參考答案：【分析】首先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再由即可得【詳解】∵，則，【點睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。15.輸入x=2，運行如圖的程序輸出的結(jié)果為

．參考答案：1【考點】程序框圖．【專題】計算題；分類討論；分析法；算法和程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是計算并輸出y=的值，分類討論求出對應(yīng)的x的范圍，綜合討論結(jié)果可得答案．【解答】解：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是計算并輸出y=的值，∴當(dāng)x=2時，2＞0，解得：y=﹣2+3=1．故答案為：1．【點評】本題考查解決程序框圖的選擇結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵是判斷出輸入的值是否滿足判斷框中的條件，屬于基礎(chǔ)題．16.若變量x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最小值為．參考答案：﹣1【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，由圖可知，最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值為2×0﹣1=﹣1．故答案為：﹣1．17.函數(shù)f（x）=x3+4x+5的圖象在x=1處的切線在x軸上的截距為．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；直線的截距式方程．【分析】欲求在點x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率得到直線方程，最后令即可求得在x軸上的截距．從而問題解決．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f'（x）=3x2+4，當(dāng)x=1時，y'=7得切線的斜率為7，所以k=7；所以曲線在點（1，10）處的切線方程為：y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．故答案為：．【點評】本小題主要考查直線的斜率、直線的方程、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知拋物線y2=4x，過點P（2，0）作斜率分別為k1，k2的兩條直線，與拋物線相交于點A、B和C、D，且M、N分別是AB、CD的中點（1）若k1+k2=0，，求線段MN的長；（2）若k1?k2=﹣1，求△PMN面積的最小值．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】（1）若k1+k2=0，線段AB和CD關(guān)于x軸對稱，利用，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求線段MN的長；（2）若k1?k2=﹣1，兩直線互相垂直，求出M，N的坐標(biāo)，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面積的最小值．【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設(shè)y1＞0，則設(shè)直線AB的方程為y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣y﹣8=0∴y1+y2=，y1y2=﹣8，∵，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，∴yM=1，∵k1+k2=0，∴線段AB和CD關(guān)于x軸對稱，∴線段MN的長為2；（2）∵k1?k2=﹣1，∴兩直線互相垂直，設(shè)AB：x=my+2，則CD：x=﹣y+2，x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，則y1+y2=4m，y1y2=﹣8，∴M（2m2+2，2m）．同理N（+2，﹣），∴|PM|=2|m|?，|PN|=?，|∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時取等號，∴△PMN面積的最小值為4．19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，AD=2AB=2PA，E為PD的上一點，且PE=2ED，F(xiàn)為PC的中點． （Ⅰ）求證：BF∥平面AEC； （Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值． 參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定． 【專題】綜合題． 【分析】（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，設(shè)B（1，0，0），則D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），，．設(shè)平面AEC的一個法向量為，由，知，由，得，由此能夠證明BF∥平面AEC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一個法向量為，由為平面ACD的法向量，能求出二面角E﹣AC﹣D的余弦值． 【解答】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz， 設(shè)B（1，0，0），則D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），（2分） （Ⅰ）設(shè)平面AEC的一個法向量為， ∵，， ∴由， 得， 令y=﹣1，得（4分） 又， ∴，（5分） ，BF?平面AEC， ∴BF∥平面AEC．（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面AEC的一個法向量為， 又為平面ACD的法向量，（8分） 而，（11分） 故二面角E﹣AC﹣D的余弦值為（12分） 【點評】本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用． 20.點P到A（﹣2，0）的距離是點P到B（1，0）的距離的2倍．（Ⅰ）求點P的軌跡方程；（Ⅱ）點P與點Q關(guān)于點（2，1）對稱，點C（3，0），求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值．（Ⅲ）若過A的直線從左向右依次交第（II）問中Q的軌跡于不同兩點E，F(xiàn)，=λ，判斷λ的取值范圍并證明．參考答案：【考點】與直線有關(guān)的動點軌跡方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求點P的軌跡方程；（Ⅱ）求出Q的軌跡方程，令z=|QA|2+|QC|2=（x+2）2+y2+（x﹣3）2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0，利用直線與圓的位置關(guān)系，即可求|QA|2+|QC|2的最大值和最小值；（Ⅲ）設(shè)過A的直線方程為x=ty﹣2（一定存在），與Q的軌跡方程聯(lián)立，消去x得（1+t2）y2﹣（8t+4）y+16=0，利用韋達定理，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．【解答】解：（I）設(shè)點P（x，y），由題意可得|PA|=2|PB|，即=2．化簡可得（x﹣2）2+y2=4．（II）設(shè)Q（x0，y0），由題可得x=4﹣x0，y=2﹣y0代入上式消去可得（x0﹣2）2+（y0﹣2）2=4，即Q的軌跡方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，即x2+y2+4=4x+4y．令z=|QA|2+|QC|2=（x+2）2+y2+（x﹣3）2+y2=6x+8y+5，所以6x+8y+5﹣z=0，d=≤2，所以13≤z≤53．因此|QA|2+|QC|2的最大值為53，最小值為13．（III）λ的取值范圍是（1，]．證明：設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）且y1＜y2．因為=λ，所以，且λ＞1．設(shè)過A的直線方程為x=ty﹣2（一定存在），與Q的軌跡方程聯(lián)立，消去x得（1+t2）