廣東省惠州市飛鵝中學2021年高二數學理測試題含解析

廣東省惠州市飛鵝中學2021年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線的漸近線方程是A. B.C. D.參考答案：B【分析】由雙曲線方程求得，由漸近線方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程得：，漸近線方程為：本題正確選項：【點睛】本題考查雙曲線漸近線的求解，屬于基礎題.

2.點P是曲線x2﹣y﹣2ln=0上任意一點，則點P到直線4x+4y+1=0的最小距離是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】導數的運算；兩條直線平行的判定；兩條平行直線間的距離．【分析】求出函數的導函數，令導函數等于已知直線的斜率求出x的值，即與直線4x+4y+1=0平行的切線的切點橫坐標，代入曲線方程求出切點坐標，利用點到直線的距離公式求出切點到直線的距離，即最小距離．【解答】解：即∴又4x+4y+1=0即為y=﹣x令得與直線4x+4y+1=0平行的切線的切點為∴點P到直線4x+4y+1=0的最小距離是故選B3.有以下命題：①命題“使”的否定是“”；②橢圓的離心率為，則越接近于1，橢圓越扁；越接近于0，橢圓越圓；③不是奇函數的函數的圖像不關于原點對稱.其中，錯誤的命題的個數是（

）A．3 B．2 C．1 D．0參考答案：D略4.已知函數則下列圖象錯誤的是

(

)參考答案：B5.是的導函數，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（

）A

B

C

D參考答案：D略6.若命題p:0是偶數，命題q:2是3的約數.則下列命題中為真的是

(

)A.p且q

B.非p且非qC.非p

D.p或q參考答案：C略7.過球心的10個平面，其中任何三個平面都不交于同一條直線，它們將球面分成（

）（A）92部分

（B）1024部分

（C）516部分

（D）100部分參考答案：A8.我國發(fā)射的“神舟七號”飛船的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點A距地面為千米，遠地點B距地面為千米，地球半徑為千米，則飛船運行軌道的短軸長為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A9.函數的定義域為D，若滿足①在D內是單調函數；②存在使在上的值域為，那么就稱為“成功函數”，若函數，（）是“成功函數”，則t的取值范圍是

（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由，（）是“成功函數”，知在其定義域內為增函數，由題意得，故，由此能求出t的取值范圍．【詳解】∵，（）是“成功函數”，當時，f（x）在其定義域內為增函數，當時，f（x）在其定義域內為增函數，∴f（x）在其定義域內為增函數，由題意得，∴，，令，∴有兩個不同的正數根，∴，解得．故選：A．【點睛】本題考查了方程解的個數判斷，函數單調性的應用，轉化思想，屬于中檔題．10.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于M，N兩點，且MN的中點的橫坐標為,則此雙曲線的方程式為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在不等式組所表示的平面區(qū)域內隨機地取一點，則點恰好落在第二象限的概率為

.參考答案：12.設，若向量，，且，則點的軌跡C的方程為__________________.參考答案：略13.設實數，滿足約束條件，則目標函數的最大值為____________．參考答案：略14.圓x2+y2-2x-2y+1=0上的動點Q到直線3x+4y+8=0距離的最小值為______.參考答案：2略15.若函數f（x）=loga（4﹣ax）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，則a的范圍為．參考答案：（1，2）【考點】復合函數的單調性．【專題】計算題；函數思想；分析法；函數的性質及應用．【分析】由對數式的底數大于0可得內函數t=4﹣ax為減函數，結合復合函數的單調性可得a＞1，求出內函數在[1，2]上的最小值，再由最小值大于0求得a的范圍，取交集得答案．【解答】解：∵a＞0，∴函數t=4﹣ax為減函數，要使函數f（x）=loga（4﹣ax）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，則外函數y=logat為定義域內的增函數，∴a＞1，又內函數t=4﹣ax為減函數，∴內函數t=4﹣ax在[1，2]上的最小值為4﹣2a．由4﹣2a＞0，得a＜2．∴a的范圍為（1，2）．故答案為：（1，2）．【點評】本題考查與對數函數有關的復合函數的單調性，復合的兩個函數同增則增，同減則減，一增一減則減，注意對數函數的定義域是求解的前提，考查學生發(fā)現問題解決問題的能力，是中檔題．16.若輸入8，則下列程序執(zhí)行后輸出的結果是________。參考答案：0.7無17.若，則

．參考答案：，.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設關于正整數n的函數（1）求；（2）是否存在常數a，b，c使得對一切自然數n都成立？并證明你的結論參考答案：（1），，（2）根據數學歸納法思想，先利用特殊值來得到參數的a,b,c的值，然后對于解題的結果運用數學歸納法加以證明。試題分析：解：（1），，3分（2）假設存在a,b,c使題設的等式成立，這時，n=1,2,3得6分于是，對n=1,2,3下面等式成立：8分記假設n=k時上式成立，即10分那么也就是說，等式對n=k+1也成立

3分綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設的等式對一切自然數n成立

14分考點：數學歸納法的運用點評：主要是考查了運用數學歸納法證明與自然數相關的命題，以及歸納猜想思想的運用。屬于中檔題。19.(9分)已知函數．

（Ⅰ）若，求函數的極小值；

（Ⅱ）設函數，試問：在定義域內是否存在三個不同的自變量使得的值相等，若存在，請求出的范圍，若不存在，請說明理由？參考答案：（Ⅰ）定義域為，由已知得，

………2分則當時，在上是減函數，當時，在上是增函數，

故函數的極小值為．

…………6分（Ⅱ）若存在，設，則對于某一實數方程在上有三個不等的實根，設，則函數的圖象與x軸有三個不同交點，即在有兩個不同的零點．……9分顯然在上至多只有一個零點

則函數的圖象與x軸至多有兩個不同交點，則這樣的不存在。

……13分20.已知函數，g（x）=（1+a）x，（a∈R）．（Ⅰ）設h（x）=f（x）﹣g（x），求h（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）若對?x＞0，總有f（x）≥g（x）成立．（1）求a的取值范圍；（2）證明：對于任意的正整數m，n，不等式恒成立．參考答案：考點：利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．專題：導數的綜合應用．分析：（Ⅰ），先求出導函數，再分情況①當a≤0時②當0＜a＜1時③當a=1時④當a＞1時進行討論（Ⅱ）（1）由題意得到即h（x）≥0恒成立，分離參數，利用導數函數最小值即可．（2）當時，，轉化為，分別令x=m+1，m+2，…，m+n，利用放縮法，從而證得結論．解答：解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（1+a）x，定義域為{x|x＞0}，∴h′（x）=x+﹣（1+a）=，…（1分）①當a≤0時，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1，令h′（x）＜0，∴0＜x＜1；②當0＜a＜1時，令h′（x）＞0，則x＞1或0＜x＜a，令h′（x）＜0，∴a＜x＜1；

…（3分）③當a=1時，恒成立；④當a＞1時，令h′（x）＞0，則x＞a或0＜x＜1，令h′（x）＜0，∴1＜x＜a；

…（4分）綜上：當a≤0時，h（x）的增區(qū)間為（1，+∞），h（x）的減區(qū)間為（0，1）；當0＜a＜1時，h（x）的增區(qū)間為（0，a）和（1，+∞），h（x）的減區(qū)間為（a，1）；當a=1時，h（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；當a＞1時，h（x）的增區(qū)間為（0，1）和（a，+∞），h（x）的減區(qū)間為（1，a）．…（5分）（Ⅱ）（1）由題意，對任意x∈（0，+∞），f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即h（x）≥0恒成立，只需h（x）min≥0．…（6分）由第（Ⅰ）知：∵，顯然當a＞0時，h（1）＜0，此時對任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）不能恒成立；

…（8分）當a≤0時，，∴；綜上：a的取值范圍為．…（9分）（2）證明：由（1）知：當時，，…（10分）即lnx≤x2﹣x，當且僅當x=1時等號成立．當x＞1時，可以變換為，…（12分）在上面的不等式中，令x=m+1，m+2，…，m+n，則有==∴不等式恒成立．…（14分）點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，不等式的證明，滲透了分類討論的思想，屬于難題．21.如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分別為AC、AB上的點，且DE∥BC，DE=4，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2．（1）求證：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導出DE⊥AC，DE⊥A1D，DE⊥CD，從而DE⊥A1C．再由A1C⊥CD，能證明A1C⊥平面BCDE．（2）以C為原點，CB為x軸，CD為y軸，CA1為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出CM與平面A1BE所成角的正弦值．【解答】證明：（1）∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC．∴DE⊥A1C．又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE．解：（2）以C為原點，CB為x軸，CD為y軸，CA1為z軸，建立空間直角坐標系，C（0，0，0），A1（0，0，3），D（0，3，0），M（0，，），B（6，0，0），E（4，3，0），=（0，），=（﹣6，0，3），=（﹣2，3，0），設平面A1BE的法向量=（x，y，z），則，取x=1，=（1，，），設CM與平面A1BE所成角為θ，sinθ===．∴CM與平面A1BE所成角的正弦值為．【點評】本題考查線面垂直，考查線面角，考查面面垂直，既有傳統(tǒng)方法，又有向量知識的運用，要加以體會．22.根據2012年初發(fā)布的《環(huán)境空氣質量指數AQI技術規(guī)定（試行）》，AQI共分為六級，其中：0到50為一級優(yōu)，51到100為二級良，101到150為三級輕度污染，151到200為四級中度污染，201到300為五級重度污染，300以上為六級嚴重污染．自2013年11月中旬北方啟動集中供暖后北京市霧霾天氣明顯增多，有人質疑集中供暖加重了環(huán)境污染，以下數據是北京市環(huán)保局隨機抽取的供暖前15天和供暖后15天的AQI數據：AQI（0,50]（50,1