2021版新高考數(shù)學(xué)：正弦定理、余弦定理含答案

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第六節(jié)正弦定理、余弦定理［考點(diǎn)要求］掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.（對應(yīng)學(xué)生用書第82頁）正弦、余弦定理在△ABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC的外接圓半徑，則定理正弦定理內(nèi)容ab半徑，則定理正弦定理內(nèi)容abcsinAsinBsinC人余弦定理a2=b2+c2—2bc_cos_A；b2=c2+a2—2ca_cos_B；c2=a2+b2c2=a2+b2—2abcosCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；變形(2)a:b:c=sinA:sinB:sinC；b2+c2~a2cosA=2bFc2+a2—b2cosB=2ara+b+c⑶sinA+sinB+sinCsinA2R.a2+b2—c2cosC=20^2?三角形常用面積公式(1)S=ga?ha(ha表示邊a上的咼);S=gabsinC=2ac_sin_B=2bc_sin_A；(3)S=gr(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑).［常用結(jié)論］B.1.在△ABC中，A>BOa>bOsinA>B.三角形中的射影定理在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.內(nèi)角和公式的變形sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=—cosC.)一、思考辨析(正確的打“V”，錯誤的打“X”)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比.()在AABC中，若sinA>sinB,則A>B.()在AABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.()當(dāng)b2+c2—a2>0時，AABC為銳角三角形；當(dāng)b2+c2—a2=0時，AABC為直角三角形；當(dāng)b2+c2—a2<0時，△ABC為鈍角三角形.()［答案］⑴X⑵V⑶X⑷X二、教材改編nn1.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=g，B=4,a=1，則b=()B.1AB.1.nr,ab,八asinB4\/2、―匸、[由A=~?B得b=:A—2X2=、J2.]sinAsinBsinAn2sin62.在△ABC中，若a=18，b=24,A=45°，則此三角形有(A.無解B.兩解C.一解D.解的個數(shù)不確定B[JbsinA—24sin45°—12\/2，???12\QV18V24,即bsinA<a<b.???此三角形有兩解.]在△ABC中，acosA=bcosB,則這個三角形的形狀為.等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=n-2B,即A=B或A+B=n所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形.]在△ABC中，A=60°,AC=4,BC=2\0，則△ABC的面積等于2勇I因?yàn)槊?0°=^，所以sinB=l，所以B=9°°，所以AB=2,所以S&b（=2x2X2翎=2翎.]（對應(yīng)學(xué)生用書第82頁）考點(diǎn)1利用正、余弦定理解三角形問題應(yīng)用正弦、余弦定理的解題技巧解.⑴求邊:利用公式a=bsinAasinB

解.⑴求邊:利用公式a=bsinAasinB

sinA，c=asinC

sinA或其他相應(yīng)變形公式求asinR(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA=—b—,sinR=bjilA,sinC=CJ^或其他相應(yīng)變形公式求解.已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解.靈活利用式子的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如出現(xiàn)a2+b2-c2=Aab形式用余弦定理，等式兩邊是關(guān)于邊或角的正弦的齊次式用正弦定理.

(l)(20xx?全國卷I)SRC的內(nèi)角則c=()A,RA,R,C的對邊分別為a,b,c,已矢口asinA_bsinR=4csinC,A.6B.5C.4D.3(2)(20xx?全國卷I^△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(shè)(sinB~sinC)2=sin2A—sinBsinC.求A;若寸2a+b=2c，求sinC.(1)A[VasinA_bsinB=4csinC,由正弦定理得a2—b2=4c2,即a2=4c2+b2.「人、fb2+c2—a2b2+c2—(4c2+b2)—3c21b由余弦定理得cosA=2bc=2bc=—4???c故選A.](2)[解]①由已知得sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2—a2=bc.由余弦定理得cosA由余弦定理得cosA=b2+c2—a22bc因?yàn)?°VAV180°,所以A=60°.②由①知B=120°—C,由題設(shè)及正弦定理得寸2sinA+sin(120°—C)=2sinC,即乎+乎cosC+￡sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=—#.由于0°VCV120°,所以sin(C+60°)=故sinC=sin(C+60°—60°)=sin(C+60°)cos60°—cos(C+60°)sin60°_\/6+\;'2=解三角形問題，關(guān)鍵是利用正、余弦定理實(shí)施邊和角的轉(zhuǎn)化，三角變換的相關(guān)公式如兩角和與差的正、余弦公式，二倍角公式等，作為化簡變形的重要依據(jù).［教師備選例題］(20xx?天津高考)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bnsinA=acos(B—&)?(1)求角B的大?。虎圃O(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.ab［解］(1)在AABC中，由正弦定理荷=麗,可得bsinA=asinB,丄n又由bsinA=acos(B—g),n得asinB=acos(B—6),“n即sinB=cos(B—g),可得tanB=j3.n又因?yàn)锽e(0,n,可得B=j.

n(2)在AABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2—2accosB=7,故b=p7.由bsinA=acos(B-彳)，可得sinA=弓.2因?yàn)閍Vc,故cosA=.74\[3因此sin2A=2sinAcosA=1cos2A=2cos2A—1=7,所以，sin(2A—B)=sin2AcosB—cos2AsinB=7-x|—7^2^=14-.l.(20xx?全國卷II)^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.3n~4[VbsinA+acosB=3n~4[VbsinA+acosB=0,.a*sinAbcosB由正弦定理,得—cosB=sinB,tanB=—1.又B$(0,n),???b=4.]72.在△ABC中，AB=4,AC=7,BC邊上中線AD=2，則BC=9[設(shè)BD=DC=x,ZADC=a,ZADB=n—a,77在△ADC中，72=x2+g)2—2xX2cosa,①

77在AABD中，42=x2+(2)2—2xX2cos(n~a),②9①+②得x=2，BC=9.]3.(20xx?貴陽模擬)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊a,b,c成公差為2的等差數(shù)列，C=120°.(1)求邊長a；⑵求AB邊上的高CD的長.［解］⑴由題意得b=a+2,c=a+4,由余弦定理cosC由余弦定理cosC=a2+b2—c22ab得cos120°a2cos120°a2+(a+2)2—(a+4)2absinZACB所以CD=3x5x乎j5羽7=14,2a(a+2)即a2—a—6=0,所以a=3或a=—2(舍去)，所以a=3.(2)法一：由(1)知a=3,b=5,c=7,由三角形的面積公式得|absinZACB=|cXCD,即AB邊上的高CD=^^.法二：由法二：由(1)知a=3,b=5,c=7,即AB邊上的高即AB邊上的高CD=15羽14-3需=15需14=14，、、3由正弦定理得而人一sinZACB—sin120。'即sinA=A'^在Rt^ACD中，CD=ACsinA=5X考點(diǎn)2與三角形面積有關(guān)的問題三角形面積公式的應(yīng)用原則對于面積公式S=￡absinC=￡acsinB=gbcsinA,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinA+\/3cosA=0,a=2\；7,b=2.求c；［—題多解］設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD丄AC,求AABD的面積.2n［解］(1)由已知條件可得tanA=—AE(0,n,所以A=_J，在△ABC中,由余弦定理得28=中,由余弦定理得28=4+c2—4c2nCOS~3,即c2+2c—24=0,解得c=—6(舍去)，或c=4.又AABC的面積為1法二:由余弦定理得又AABC的面積為1法二:由余弦定理得cosC=在Rt^ACD中，cosC=ACCD，(2)法一：如圖，由題設(shè)可得ZCAD=2,n所以ZBAD=ZBAC—ZCAD=6，1.n2AB^AD^sin石故AABD面積與AACD面積的比值為一j=1,|ac.adX4X2sinZBAC=2?,所以△ABD的面積為叮3.所以CD=戸,所以AD=冷3，DB=CD=\R,1所以SMBD=S,CD=2X2"7XsinC=的乂爲(wèi)=母.n法三：n法三：/bad=6.由余弦定理得cosC=+7所以CD=戸,所以ad=、/3，所以^abd=2x4^,''3XsinZDAB=J3.(1)若已知一個角(角的大小或該角的正弦值、余弦值)，一般結(jié)合題意求夾這個角的兩邊或兩邊之積，再代入公式求解；(2)若已知三邊，可先求一個角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面積；(3)若求面積的最值，一般表示為一個內(nèi)角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解，也可結(jié)合基本不等式求解.［教師備選例題］已知△ABC的面積為3百,AC=2石,BC=6,延長BC至D,使ZADC=45°.求AB的長；求AACD的面積.［解］⑴因?yàn)閊abc=2x6X2\;'JXsinZACB=3所以sinZACB=g,乙ACB=30?；?50°,又ZACB>ZADC,且ZADC=45°,所以ZACB=150°,在△ABC中，由余弦定理得AB2=12+36-2X2^3X6cos150°=84,所以AB=\:'84=2回(2)在AACD中，因?yàn)閆ACB=150°,ZADC=45°,所以ZCAD=105°,由正弦定理得CDACsinZCADsinZADC'所以CD=3+\/3,又ZACD=180°-150°=30°,所以SmCD=2aC?CD?sinZACD=*X2討'3X(3+討'3)X1.(20xx?全國卷II)^ABC的內(nèi)角nA,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=〒,則AABC的面積為兀6\f3［法一：因?yàn)閍=2c,b=6,￡=3,所以由余弦定理b2=a2+c2—2acyn‘cosB,得62=(2c)2+c2—2X2cXccos3,得c=2\'3,所以a=4\/3,所以△ABC的面積S=￡acsinB=|x4\；3X2='3Xsinn法二：因?yàn)閍=2c,b=6,B=3，所以由余弦定理b2=a2+c2—2accosB,得n62=(2c)2+c2—2X2cXccos3,得c=2p3,所以a=4j3,所以a2=b2+c2,所以n1——A=2，所以△ABC的面積S=2X2勇X6=6銅.］2.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.證明：A=2B；若AABC的面積S=a2，求角A的大小.［解］⑴證明：由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A—B).又A,Be(0,n),故OVA—BVn,所以B=n—(A—B)或B=A—B,因此A=n(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=4,得fabsinC=^,B,—11故有sinBsinC=fsinA=fsin2B=B,由sinB工0,得sinC=cosB.n.又B,Ce(0,n).所以C=2土B.當(dāng)b+c=2時，a=2；當(dāng)c—b=2時，a=q.綜上，a=2或a=4-考點(diǎn)3判斷三角形的形狀判斷三角形形狀的2種思路化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A+B+C=n這個結(jié)論.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若bcosC+ccosB=asinA，則AABC的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定B［由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A，sin(B+C)=sin2A，即sin(n—A)=sin2A，sinA=sin2A.*.*A￡(0，n)，?°?sinA>0，sinA=1,n即A=2，???△ABC為直角三角形.]［母題探究］

1.（變條件）本例中，若將條件變?yōu)?sinAcosB=sinC,判斷△ABC的形狀.［解］*.*2sinAcosB=sinC=sin(A+B),?°?2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,?°?sin(A—B)=0.又A,B為△ABC的內(nèi)角.?A=B,?..AABC為等腰三角形.2.（變條件）本例中，若將條件變?yōu)閍2+b2—c2=ab，且2cosAsinB=sinC,判斷△ABC的形狀.［解］°?［解］°?°a2+b2—c2=ab,??cosC=a2+b2—c22ab12,n又OVCVn?C=3，又由2cosAsinB=sinC得sin(B—A)=0,??A=B,