2021版新高考數(shù)學(xué)：雙曲線含答案

/20l.（20xx?荊州模擬）已知雙曲線x2y2C：02~b2=1(a>0,成一個(gè)等邊三角形,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.X-2x2y2C：02~b2=1(a>0,成一個(gè)等邊三角形,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.X-2-y2=12x2y2B.?―廠1C.X2-升1_x2y2D.亍二132C[由雙曲線C：2202—b2=1（a>0,b>0）過點(diǎn)（邊，V3）,且實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，可得23=1,解得Ja2b2a=1,雙曲b=3,線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是X2—￥=1,故選C.]2.已知雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±5,0）,則雙曲線的方程為?16—￥=1[將3x±4y=0化為4±3=0,設(shè)以4±3=0為漸近線的雙曲線方程為16一罟=久（久工°）,因?yàn)樵撾p曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±5,0）,所以16久+9久=25,解得久=1,即雙曲線的方程為磊一普=1.]考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的漸近線求雙曲線的漸近線的方法求雙曲線a2_b2=1（a>0，b>°）或篇―bl=l（a>0，b>°）的漸近線方程的方法

是令右邊的常數(shù)等于0,即令a2—y2=0,得y=±|x;或令爲(wèi)—2=0,得y=±bx.bx2y2反之，已知漸近線方程為y=±Ox,可設(shè)雙曲線方程為務(wù)一牯=牝>0,b>0,入H0）.l.（20xx?全國(guó)卷II）雙曲線a2—b2TOC\o"1-5"\h\z=l（a>0,b>0）的離心率為冷3則其漸近線方程為（）A.y=±\：2xB?y=土冷3x23C.y=±〒xD.y=±亍xc丿A［法一：（直接法）由題意知，e=-=\/3,所以c=￡a,所以b=pc2—a2bb=\/2a,即-=\;'2,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±-x=±\/2x.c法二：c法二：（公式法）由e=-=\『+已2=羽，得a=&,所以該雙曲線的漸近b線方程為y=±-x=±\：2x.]1a._4C.-22.（20xx?揭陽一模）已知雙曲線mx2+y2=1的一條漸近線方程為2x+y=1a._4C.-2B.-1D.-4x2tD［因?yàn)閙V0,則雙曲線為：y2—i=1,漸近線方程為：±\；—mx+y=m0,所以~m=2,解得m=_4,故選D.］

3.（20xx?鄭州模擬3.（20xx?鄭州模擬）設(shè)厲，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2y2b2=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若IPF]l+IPF2l=6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是（）A.x±2y=0B.\：2x±y=0C.x±2y=0D.2x土y=0B[假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則嚴(yán)葉旳丸,〔則嚴(yán)葉旳丸,〔IPF1LIPF2l=2a,Z.IPF1I=4a，IPF2I=2a.???IF]F2I=2c>2a,:.△PF}F1最短的邊是PF，:.△PF1F2的最小內(nèi)角為ZPF1F2.在\PF]F2中，由余弦定理得4a2=16a2+4c2—2X4aX2cXcos30°，c2—2\,'3ac+3a2=0，?°?e2—2\i3e+3=0，.二e=*3，.?.—=*3,c2=3a2，a2+b2=3a2，b2=2a2，??.—=、'2，???雙曲線的漸近線方程為\Qx±y=0，故選B.]4.（20xx?江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2-b|=1（b>0）經(jīng)過點(diǎn)（3,4），則該雙曲線的漸近線方程是216「??雙曲線x2—b2=1(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，?32—b2=1,解得b2=2，即方=10.又a=1，??該雙曲線的漸近線方程是y=±*2x.]雙曲線的離心率求雙曲線的離心率或其范圍的方(1)求a,雙曲線的離心率求雙曲線的離心率或其范圍的方(1)求a,b,的值，由c2_a2+b2_a2a2e.（2）列出含有a,b,c的齊次方程（或不等式），借助于b2=c2—a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程（或不等式）求解.

⑴已知點(diǎn)f是雙曲線誇一篇=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若AABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()B.（1，2）A.（1，+x）B.（1，2）C.（2,1+<2）D.（1，1+羽C.（2,1+<2）(2)(20xx?全國(guó)卷I(2)(20xx?全國(guó)卷I)已知雙曲線C：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若F1A=AB，F(xiàn)1B?F2B=0,則C的離心率為.(1)B(2)2[(1)若AABE是銳角三角形，只需ZAEFV45。，在Rt^AFE中,IAF\=中,IAF\=b2,a\FE\=a+c,則b2Va+c,a即b2Va2+ac,即2a2—c2+ac>0,則e2-e-2V0,解得一1VeV2,又e>1,則1VeV2,故選B.（2）如圖，由F1A=AB,得FA=AB.又OF]=OF2，所以O(shè)A是三角形F1F2B的中位線，即BF/OA,BF2=2OA.由F]B?F2B=0,得F]B丄F2B,OA丄F1A,則OB=OF1，所以ZAOB=ZAOF1，

又OA與OB都是漸近線，得ZBOF2=ZAOF],又ZBOF2+ZAOB+ZAOF]=n得ZBOF2=ZAOF]=ZBOA=60°,b又漸近線OB的斜率為-=tan60°=.[3,^a所以該雙曲線的離心率為2=所以該雙曲線的離心率為2=\”+(\&)2=2.]雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e率e的關(guān)系：亠^aal.（20xx?衡水模擬）已知雙曲線223C］：a^-b2=1（a>0，b>0）,圓C2：x2+y2—2ax+4a2=0,若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線q的離心率的取值范圍是（）TOC\o"1-5"\h\zAL2^3]B(2^3,)A.(1,-3^B.，+門C.(l,2)D.(2,+T\o"CurrentDocument"……bA[由雙曲線方程可得其漸近線方程為y=±x,即bx±ay=0,圓C2:x2+y2311—2ax+4a2=0可化為(x—a)2+y2=4a2,圓心C2的坐標(biāo)為(a,0),半徑廠=尹，由雙曲線C］的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得I，"；+厲<2"'即c>2b,即4ca/3c2>4b2,又知b2=c2—a2,所以c2>4（c2—a2）,即c2<jO2,所以e=a<3,又知.]e>1，所以雙曲線Ci的離心率的取值范圍為（l,爭(zhēng).]2.（20xx?濟(jì)南模擬）已知雙曲線E：誇一活=1（。>0，b>0）.若矩形ABCD的四個(gè)頂