2022-2023學年廣東華南師大附中中學高二年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年廣東華南師大附中中學高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．過點和點的直線在軸上的截距為（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【分析】由直線的兩點式方程可寫出直線的方程，令其中，即可求得答案.【詳解】由題意可得過點和點的直線方程為，即，令，則，即過點和點的直線在軸上的截距為，故選：C.2．設(shè)數(shù)列的前項和，則的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】利用求解即可.【詳解】，，故.故選：D3．已知平面外的直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關(guān)系是（

）A． B． C．與相交但不垂直 D．或【答案】B【分析】由確定正確答案.【詳解】由于，即，由于，所以.故選：B4．若直線為圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計算求解．【詳解】由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：C5．在前項和為的等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列通項公式化簡已知等式可求得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，解得：，.故選：B.6．已知正項等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（

）A．3 B．14 C．28 D．42【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，則可由已知等式求的值，從而利用求和公式和等差數(shù)列性質(zhì)求得值.【詳解】解：正項等差數(shù)列，則若，則，解得或（舍）則.故選：D.7．已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線C的準線l上，線段與y軸交于點A，與拋物線C交于點B，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題知點A為的中點，結(jié)合已知得，過點B作，由拋物線的定義即可求解.【詳解】設(shè)l與x軸的交點為H，由O為中點，知點A為的中點，因為，所以．過點B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，所以，則，所以．故選：C8．已知O為坐標原點，P是橢圓E：上位于x軸上方的點，F(xiàn)為右焦點.延長PO，PF交橢圓E于Q，R兩點，，，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由橢圓的對稱性，及，得四邊形為矩形，設(shè)，利用橢圓的定義，及條件所給出的長度關(guān)系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推斷出點P的位置，求出離心率.【詳解】如圖，設(shè)左焦點為，連接，，，由題，，關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為矩形.設(shè)，則，又因為，則，，，在中，，即，解得或（舍去），故點P為橢圓的上頂點.由，所以，即，所以離心率.故選：B.【點睛】解題時注意數(shù)形結(jié)合，抓住橢圓的對稱性，將圖形關(guān)系用含a，b，c的代數(shù)式表示出來，即可求解離心率.二、多選題9．已知數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．C． D．有最大值【答案】AB【分析】由與的關(guān)系求出數(shù)列的通項，從而可判斷AB，根據(jù)數(shù)列性質(zhì)可判斷C，根據(jù)前項和的函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】當時，，當時，，符合，故，所以，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差，A正確；，B正確；因為公差，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，C錯誤；，易知當或時，有最大值，D錯誤.故選：AB10．已知曲線，則（

）A．若，則曲線C是圓，其半徑為2B．若，則曲線C是橢圓，其焦點在y軸上C．若線C過點，則C是雙曲線D．若，則曲線C不表示任何圖形【答案】BC【分析】對于A，曲線可化為，表示圓，可求半徑，判斷A;對于B，時，曲線可化為，可判斷表示橢圓，判斷B;對于C，將點，，代入曲線：，求得曲線方程，判斷C;對于D，可舉特例進行說明，判斷D.【詳解】對于A，時，曲線可化為，其半徑為，故A錯誤；對于B，時，曲線可化為表示的是橢圓，而，所以其焦點在軸上，故B正確；對于C，將點，，代入曲線：，有，，所以曲線是雙曲線，故C正確；對于D，若，，滿足條件，此時曲線：，表示兩條直線，故D錯誤，故選：.11．意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和．后人為了紀念他，就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列．下面關(guān)于斐波那契數(shù)列說法正確的是（

）A． B．是偶數(shù)C． D．【答案】ABD【分析】選項ACD通過遞推關(guān)系分析即可．選項B通過奇數(shù)偶數(shù)特性分析可得出是奇數(shù)偶數(shù)是周期出現(xiàn)的．【詳解】由已知，數(shù)列滿足遞推關(guān)系．選項：；故正確；選項：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每三項都是奇、奇、偶重復循環(huán)，，恰好能被3整除，且為偶數(shù)，所以也為偶數(shù)，故正確；選項：若選項C正確，又，則，同理，，依次類推，可得，顯然錯誤，故錯誤；選項：，又，故正確；故選：．12．拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點．一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點反射后，再經(jīng)C上另一點反射后，沿直線射出，經(jīng)過點Q，則（

）A． B．延長交直線于點D，則D，B，Q三點共線C． D．若平分，則【答案】BCD【分析】由平行于x軸的，且過點，可推出點坐標，寫出直線的方程，并聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達定理可得，，即可判斷A是否正確；解得點坐標，推出，，三點縱坐標都相同，即可判斷B是否正確；由弦長公式計算出，即可得出C是否正確；平分推出，由，計算的值，即可判斷D是否正確；．【詳解】如圖所示：，，，，由平行于x軸的，且過點，所以，把代入拋物線的方程，解得，即，由題知，直線經(jīng)過焦點，直線的方程為，即，聯(lián)立，得，所以，，對于A選項：由，故選項A錯誤；對于B選項：因為，，所以，即點縱坐標為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點坐標為，，由光學性質(zhì)可知平行于x軸，則，，三點縱坐標都相同，所以，，三點共線，故選項B正確對于C選項：，故選項C正確；對于D選項：由光學性質(zhì)可知平行于x軸，平行于x軸，則，有，平分，有，所以∴，即，得，故選項D正確．故選：BCD．三、填空題13．若雙曲線的一條漸近線方程為，則實數(shù)___________．【答案】9【分析】根據(jù)雙曲線的焦點在軸上的漸近線為即可解決.【詳解】由題知雙曲線的焦點在軸上，所以即解得故答案為：9.14．如圖，直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，，則BM與AN所成角的余弦值為______.【答案】##【分析】建立空間直角坐標系，利用向量數(shù)量積求異面直線所成角的余弦.【詳解】以C為原點，的方向為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)，則有，，，，，，.則BM與AN所成角的余弦值為.故答案為：15．已知正項數(shù)列前項和滿足，且，則__________.【答案】【分析】利用得出數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為1，然后求得，再代入可得．【詳解】，，，，，，∴，即，所以是等差數(shù)列，公差為1，，，，即，．故答案為：．16．已知橢圓的右頂點和上頂點分別為，左焦點為，以原點為圓心的圓與直線相切，且該圓與軸的正半軸交于點，過點的直線交橢圓于兩點.若四邊形是平行四邊形，且平行四邊形面積為，則橢圓的長軸長為___________.【答案】【分析】根據(jù)直線與圓相切可求得圓的半徑，即，將與橢圓方程聯(lián)立可求得坐標，由可構(gòu)造齊次方程求得離心率，從而用表示出，根據(jù)可構(gòu)造方程求得的值，進而得到橢圓長軸長.【詳解】由題意知：，，，直線，即，直線與圓相切，圓的半徑，即，四邊形為平行四邊形，，將代入橢圓方程得：，即，又，，，即，，解得：（舍）或；即，，，解得：橢圓長軸長.故答案為：.四、解答題17．在中，，，且，求：(1)求的值；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】(1)由正弦定理化簡已知等式可得，由已知條件利用余弦定理得，解方程得到a的值，進而可求b得值.(2)由已知條件，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得值，進而根據(jù)三角形的面積公示可計算得解.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，，所以，由余弦定理得，因為，，所以，化簡得，解得或，當時，，與題意不符合;當時，，符合題意.所以.（2）因為，，所以，所以的面積18．已知數(shù)列滿足且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前n項和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知，為等比數(shù)列，已知首項和公比，利用等比數(shù)列通項公式求解.（2）求出的通項，錯位相減法求．【詳解】（1）數(shù)列滿足且，∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴（2）由，得，，，兩式相減得，.19．如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，D為中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）建立合適空間直角坐標系，寫出相關(guān)點坐標及相關(guān)向量，得到，即可證明；（2）計算平面的一個法向量，而為平面的法向量，利用面面夾角余弦值的公式求出角的余弦值，則得到面面角的正弦值.【詳解】（1）證明：取中點,連接，為正三角形,,正三棱柱平面平面且相交于,又平面，平面，取中點,則，，，平面，，故以為原點,建立如圖所示空間直角坐標系,則，根據(jù)上下底面為正三角形，易得，，,,，且平面，直線平面.（2）設(shè)平面的一個法向量為，，，則，令，得，由（1）得為平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為,,，二面角正伭值的大小為.20．如圖，已知拋物線的焦點為，且經(jīng)過點．(1)求和的值.(2)若點在上，且，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線得定義可求得，代入點的坐標可求得.（2）設(shè)出的方程及的坐標，利用點在上，且，通過向量數(shù)量積為0建立的關(guān)系，代入方程易證明直線過定點.【詳解】（1），又在拋物線上，.（2）證明：設(shè)，，，，即.設(shè)直線為，與拋物線方程聯(lián)立，得，且，，所以.當時，：，過定點.當時，：，過定點與點重合，舍去.綜上所述，直線過定點.21．某高科技企業(yè)研制出一種型號為A的精密數(shù)控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價值的第一年）.若第1年A型車床創(chuàng)造的價值是250萬元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價值減少30萬元；從第7年開始，每年A型車床創(chuàng)造的價值是上一年價值的50%.現(xiàn)用（）表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價值.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記為數(shù)列的前n項的和，，企業(yè)經(jīng)過成本核算，若萬元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床，試問該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？【答案】(1)（萬元）(2)該企業(yè)需要在第11年年初更換A型車床【分析】（1）由題意得構(gòu)成首項，公差的等在數(shù)列，構(gòu)成首頂，公比的等比數(shù)列，從而可求出其通項公式，（2）由（1）得是單調(diào)遞減數(shù)列，于是，數(shù)列也是單調(diào)遞減數(shù)列，然后分別求出和時的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】（1）題意得構(gòu)成首項，公差的等差數(shù)列.故（萬元）.構(gòu)成首頂，公比的等比數(shù)列，故萬元.于是，（萬元）.（2）由（1）得是單調(diào)遞減數(shù)列，于是，數(shù)列也是單調(diào)遞減數(shù)列.當時單調(diào)遞減，（萬元）.所以（萬元）；當時，（萬元）；當時，（萬元）.所以，當時，恒有.故該企業(yè)需要在第11年年初更換A型車床.22．已知雙曲線（，）的左?右焦點分別為?，雙曲線的右頂點在圓上，且.(1)求雙曲線的標準方程；(2)動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點?，設(shè)為坐標原點.①求證：點與點的橫坐標的積為定值；②求△周長的最小值.【答案】(1)；(2)①證明見解析；②6.【分析】（1）由在圓上求出參數(shù)a，利用向量數(shù)量積的坐標表示求出參數(shù)c，進而可得雙曲線方程.（2）①設(shè)直線為，聯(lián)立雙曲線求得，聯(lián)立漸近線與直線方程求與的橫坐標，注意直線斜率不存在情況的討論；②法1：利用兩點距離公式求，結(jié)合基本不等式及①結(jié)論即可求周長最小值；法2：由①結(jié)論及兩點距離公式可得，再由余弦定理求，進而應用基本不等式求的最小值，注意等號成立條件.【詳解】（1