2022-2023學(xué)年山西省聯(lián)考高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 解析版

2022-2023學(xué)年山西省聯(lián)考高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A中元素x滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件列出不等式求解即可.【詳解】∵，∴，解得，又∵，∴，解得，∴．故選：D．2.設(shè)是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的概念判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足，故充分性不成立，當(dāng)時(shí)，一定有，故必要性成立，所以，“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的概念可證得，由此即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，（）則，故．，．故選：B．4.長(zhǎng)方體中，和與底面所成的角分別為60°和45°，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，利用與底面所成的角分別為°和°可得長(zhǎng)方體的另外兩條棱的長(zhǎng)，連接，則，所以異面直線和所成角即為，由余弦定理可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則由°可得.由°，可得.連接，則，所以異面直線和所成角即為.在三角形中，易得，由余弦定理可得，故選：A.5.若兩平行直線與之間的距離是，則m+n＝（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩直線平行的性質(zhì)可得，再由平行線間的距離公式可得，即可得解.【詳解】由直線與平行可得即，則直線與的距離為，所以，解得或（舍去），所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線位置關(guān)系的應(yīng)用及平行線間距離公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及由得到的，求出直線的斜率，即可求解三角形的面積.【詳解】由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知直線的斜率存在且不為0，因此設(shè)直線的方程為，，與拋物線的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則因?yàn)?，故，則，解得，因此.故選：D.7.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線：的垂線，若垂足在圓上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)直線與相切，利用點(diǎn)線距離公式得到關(guān)于的表達(dá)式，即可得范圍.【詳解】因?yàn)榇棺阍趫A上，即直線與該圓相切，

所以.故選：C8.設(shè)，且，則（）A.有最小值為 B.有最小值為C.有最大值為 D.有最大值為【答案】A【解析】【分析】對(duì)變形得到，利用基本不等式求出最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，故，即取等號(hào).故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若曲線：，下列結(jié)論正確的是（）A.若曲線是橢圓，則 B.若曲線是雙曲線，則C.若曲線是橢圓，則焦距為 D.若曲線是雙曲線，則焦距為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓、雙曲線的條件對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng)【詳解】對(duì)于A，時(shí)，系數(shù)為正數(shù)，系數(shù)為負(fù)數(shù)，曲線不是橢圓，故不正確；對(duì)于B，若曲線為雙曲線，則，解得，故正確；對(duì)于C，若曲線為橢圓，則，故即所以，故正確；對(duì)于D，若曲線為雙曲線，則，故即，所以，故正確；故選：BCD10.下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由在上單調(diào)遞減，即可判斷A；由在上單調(diào)遞減，即可判斷B；由函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可判斷C；由，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因?yàn)?，所以，即，故C正確；對(duì)于D，，故，故D錯(cuò)誤，故選：AC.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F、準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為，則（）A.若，則B.以為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C.設(shè)，則D.過(guò)點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【答案】ABC【解析】【分析】利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可判斷A選項(xiàng)；設(shè)N為中點(diǎn)，點(diǎn)N在l上的射影為，可得即可判斷B選項(xiàng)；利用拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可判斷C選項(xiàng)；求出過(guò)點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程，可判斷D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，又，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)N為中點(diǎn)，點(diǎn)N在l上的射影為，點(diǎn)Q在l上的射影為，則由梯形性質(zhì)可得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，（?dāng)P，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），故C正確；對(duì)于D，顯然直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)過(guò)M的直線為，聯(lián)立，可得，令，則，所以直線與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．12.已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，、為雙曲線的兩條漸近線，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足依次為、，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式可判斷A選項(xiàng)；分析可知、、、四點(diǎn)共圓，利用圓的幾何性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；求出、的面積，可判斷C選項(xiàng)；利用余弦定理結(jié)合基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可知，，則、、、四點(diǎn)共圓，且為該圓的一條直徑，為該圓的一條弦，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線兩漸近線的斜率分別為、，所以，雙曲線兩漸近線的夾角為，由B選項(xiàng)可知，，，因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，同理，，所以，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，且，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D對(duì).故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知兩個(gè)向量，若，則m的值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，解?故答案為：.14.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則___________.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況，根據(jù)與的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由于時(shí)的值不適合的通項(xiàng)公式，∴的通項(xiàng)公式為.故答案為：.15.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，該橢圓被直線所截得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)差法可得，則，又，聯(lián)立解得，即可得出橢圓方程．【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意，橢圓被直線所截得弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，由，得，即，則，，即，又，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案：．16.已知在菱形中，，平面外一點(diǎn)P滿足，，則四棱錐體積的最大值為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，由，則，結(jié)合余弦定理得，同理，結(jié)合已知條件可得．當(dāng)平面，四棱錐體積取到最大值，利用體積公式求解即可得出答案．【詳解】由于四邊形為菱形，，則，設(shè)，連接，由于，則，由余弦定理得，則，整理得：；同理由，可得，于是，解得，∵當(dāng)平面，四棱錐體積取到最大值，∴四棱錐體積的最大值．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.已知直線為曲線在點(diǎn)處的切線，為該曲線的另一條切線，且，求直線的方程.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線的方程，再結(jié)合即可求出切線的方程．【詳解】因?yàn)椋?，所以直線的方程為，即，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則直線的方程為.因?yàn)?，所以，解得，所以直線的方程為.18.已知等差數(shù)列中，，且前9項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列中，，列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求解即可．【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為d，由已知得解得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【小問(wèn)2詳解】，所以．19.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足.（1）求角B的大?。唬?）若，D為邊上的一點(diǎn)，，且是的平分線，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)系，結(jié)合兩角和的正弦公式、正弦定理進(jìn)行求解即可；（2）由，得，結(jié)合余弦定理，求出的值即可求得的面積.【小問(wèn)1詳解】，又，則，即，又，則；【小問(wèn)2詳解】由平分，，，則有：，即，在中，由余弦定理可得：，又，則有：，聯(lián)立，可得：，解得：或(舍去)，故.20.已知圓和直線.（1）證明：不論m為何實(shí)數(shù)，直線l都與圓C相交；（2）當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，求直線l的方程；（3）已知點(diǎn)在圓C上，求的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）把直線的方程變形后，根據(jù)直線恒過(guò)定點(diǎn)，得到關(guān)于與的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此點(diǎn)到圓心的距離,發(fā)現(xiàn)小于圓的半徑，得到此點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式，可確定當(dāng)圓心到直線的距離最大值時(shí)，弦長(zhǎng)最小，即直線與垂直時(shí)，求得直線方程；（3）表示圓C上的點(diǎn)到的距離的平方，求其最值即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離最大值的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)可求．小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，令解得，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線l與圓C相交；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，過(guò)圓心作于，設(shè)所過(guò)定點(diǎn)為由圖可知圓心到直線的距離，且，又直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為，故當(dāng)取最大值時(shí)，弦長(zhǎng)最小所以當(dāng)，即直線時(shí)直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，又圓心，所以，所以直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)?，表示圓C上點(diǎn)到的距離的平方，因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離，所以.21.如圖，在四棱錐中，平面平面，是的平分線，且.（1）棱上是否存在點(diǎn)E，使∥平面？若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若四棱錐的體積為10，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）存在，點(diǎn)E為中點(diǎn)（2）【解析】【分析】（1）點(diǎn)E為中點(diǎn)時(shí)，∥平面．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，證明即可；（2）由題意得，得，則平面，作，則平面，由四棱錐體積求得，則為正三角形，根據(jù)以上信息建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，用向量夾角公式解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)E為中點(diǎn)時(shí)，∥平面．延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，在中，是的平分線，且，∴是等腰三角形，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，又∵E是的中點(diǎn)，∴，又平面過(guò)平面，∴∥平面.【小問(wèn)2詳解】在中，，滿足，則，即，由，得，則，，四邊形的面積為，又平面平面平面，平面平面,所以平面，又平面，則，作，垂足為O，平面平面平面，平面平面，則平面，則四棱錐體積為，解得，∴，又，所以為正三角形，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)分別為平面和平面的法向量，則，即，取，則，，即，取，則，所以，則平面與平面的夾角的余弦值為.22.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率，過(guò)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓E方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)與橢圓E相切的直線分別為，直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，與分別交于