高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系

立體幾何線面關(guān)系的常見規(guī)律規(guī)律一：線線平行與線線垂直的判定1、直線與直線平行的判定方法：公理4：平行與同一條直線的兩條直線互相平行直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直與同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩交線平行2、直線與直線垂直的判定方法：利用直線與平面垂直的定義來判定：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就與平面內(nèi)的任意一條直線垂直例題1：(2023·南通調(diào)研)如圖，在六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B＝A1D，AB＝AD.求證：(1)AA1⊥BD；(2)BB1∥DD1.證明(1)取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，A1M.因?yàn)锳1D＝A1B，AD＝AB，所以BD⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M?平面A1AM，所以BD⊥平面A1AM.因?yàn)锳A1?平面A1AM，所以AA1⊥BD.(2)因?yàn)锳A1∥CC1，AA1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1，所以AA1∥平面D1DCC1.又AA1?平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.同理可得AA1∥BB1，所以BB1∥DD1.例題2：（13泰州期末）在三棱錐S-ABC中，SA平面ABC，SA=AB=AC=,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn)，且AE=4DE,點(diǎn)M是線段SD上一點(diǎn)，求證：BCAM方法小結(jié)：（1）要證明線線垂直有兩條思路：第一條：把其中一條直線平移，使得兩條直線在同一個(gè)平面，然后用平面幾何的知識(shí)證明垂直即可；第二條：通過證明線面垂直證明。即證明其中一條直線垂直另一個(gè)直線所在的平面。第二條思路用的較多，要熟練，第一條用的較少，但也不能忘（2）證明線線垂直也主要有兩條思路，第一條：證明其中一條直線平行另一條直線所的平面，在用線面平行的性質(zhì)；第二條：先證明兩條直線所在的平面平行，再證明這兩條直線為第三個(gè)平面與兩平行平面所交的交線，即運(yùn)用面面平行的性質(zhì)定理。面面平行與線面平行的性質(zhì)定理在證明過程中容易被學(xué)生忽視，所以教學(xué)過程中應(yīng)引起重視同步練習(xí)1：在如圖所示的多面體中，，．（第16題圖）（1）求證：；（第16題圖）（2）求證：．同步練習(xí)2：如圖，在四棱柱中，已知平面平面且,.求證：第16題圖第16題圖同步練習(xí)3：ABCDA1B1C1(第16題)（13南京期初）如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，若平面ABCABCDA1B1C1(第16題)規(guī)律二：線面平行的判定：方法一：直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；方法二：平面與平面平行的定義：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線平行于另一個(gè)平面例題2：三棱柱中，面面，，D是BC的中點(diǎn)，M為上一動(dòng)點(diǎn)．若，求證：∥平面；例題3：如圖，已知?ABCD，直線BC⊥平面ABE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)．求證：直線AE∥平面BDF；例題4：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E為AB中點(diǎn)，過E作EF⊥CD，垂足為F，如(圖1)，將此梯形沿EF折成一個(gè)直二面角A—EF—C，如(圖2)．求證：BF∥平面ACD；方法小結(jié)：在證明線面平行有兩條思路：第一：通過線面平行的判定，即在平面上找一條直線與已知直線平行，在平面上找直線與已知直線平行有三種方法：1、構(gòu)造平行四邊形；2、通過中位線尋找平行；3、通過比例關(guān)系找平行相似。第二，當(dāng)在已知平面找不出或很難找出直線與已知直線平行時(shí)可以考慮用面面平行的性質(zhì)來證明，即過已知直線構(gòu)造平面與已知平面平行。同步練習(xí)1：在正三棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．求證：∥平面；同步練習(xí)2：如圖，直三棱柱ABCA′B′C′，∠BAC＝90°，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．證明：MN∥平面A′ACC′；證明法一連接AB′，AC′，如圖，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABCA′B′C′為直三棱柱，所以M為AB′中點(diǎn)．又因?yàn)镹為B′C′的中點(diǎn)，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中點(diǎn)P，連接MP，NP，AB′，如圖，而M，N分別為AB′與B′C′的中點(diǎn)，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.同步練習(xí)3：如圖，在四面體ABCD中，F(xiàn)，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點(diǎn)，G為DE的中點(diǎn)．證明：直線HG∥平面CEF.證明法一如圖1，連接BH，BH與CF交于K，連接EK.圖1∵F，H分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴K是△ABC的重心，∴eq\f(BK,BH)＝eq\f(2,3).又據(jù)題設(shè)條件知，eq\f(BE,BG)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BK,BH)＝eq\f(BE,BG)，∴EK∥GH.∵EK?平面CEF，GH?平面CEF，∴直線HG∥平面CEF.法二圖2如圖2，取CD的中點(diǎn)N，連接GN、HN.∵G為DE的中點(diǎn)，∴GN∥CE.∵CE?平面CEF，GN?平面CEF，∴GN∥平面CEF.連接FH，EN∵F，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點(diǎn)，∴FH綉eq\f(1,2)BC，EN綉eq\f(1,2)BC，∴FH綉EN，∴四邊形FHNE為平行四邊形，∴HN∥EF.∵EF?平面CEF，HN?平面CEF，∴HN∥平面∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH?平面GHN，∴直線HG∥平面CEF.規(guī)律三：線面平行中的探索問題如圖所示，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.(1)求證：AE⊥BE；(2)設(shè)M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面DAE.(1)證明∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，又AE?平面ABE，則AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF，又BF∩BC＝B∴AE⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴AE⊥BE.(2)解在△ABE中過M點(diǎn)作MG∥AE交BE于G點(diǎn)，在△BEC中過G點(diǎn)作GN∥BC交EC于N點(diǎn)，連接MN，則由比例關(guān)系易得CN＝eq\f(1,3)CE.∵M(jìn)G∥AE，MG?平面ADE，AE?平面ADE，∴MG∥平面ADE.同理，GN∥平面ADE.又∵GN∩MG＝G，∴平面MGN∥平面ADE.又MN?平面MGN，∴MN∥平面ADE.∴N點(diǎn)為線段CE上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．方法小結(jié)：解決探究性問題一般要采用執(zhí)果索因的方法，假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了符合題目結(jié)果要求的條件，則存在；如果找不到符合題目結(jié)果要求的條件(出現(xiàn)矛盾)，則不存在．同步練習(xí)：如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M、N分別為BC、PA的中點(diǎn)．在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使NM∥平面ACE？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．解在PD上存在一點(diǎn)E，使得NM∥平面ACE.證明如下：取PD的中點(diǎn)E，連接NE，EC，AE，因?yàn)镹，E分別為PA，PD的中點(diǎn)，所以NE綉eq\f(1,2)AD.又在平行四邊形ABCD中，CM綉eq\f(1,2)AD.所以NE綉MC，即四邊形MCEN是平行四邊形．所以NM綉EC.又EC?平面ACE，NM?平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一點(diǎn)E，使得NM∥平面ACE.規(guī)律三：平面與平面平行的判定：平面與平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.例題5：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1C，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，求證：平面PMN∥平面A證明法一如圖，連接B1D1，B1C∵P，N分別是D1C1，B1C∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN?平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.法二如圖，連接AC1，AC，且AC∩BD＝O，∵ABCD－A1B1C1D1∴AC⊥BD，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面AC1C∴AC1⊥BD.同理可證AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD.同理可證AC1⊥平面PMN，∴平面PMN∥平面A1BD.規(guī)律四：直線與平面垂直的判定：直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面例題6：如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.證明(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.例題6：如圖1所示，在中，，，，為的平分線，點(diǎn)在線段上，.如圖2所示，將沿折起，使得平面平面，連結(jié)，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面；方法小結(jié)：在證明線面垂直時(shí)通常用到的證明線線垂直的方法有：1、等腰三角形的三線合一；2、菱形與正方形的對(duì)角線垂直；3、根據(jù)線段的長(zhǎng)度運(yùn)用勾股定理的逆定理；4、線面垂直的定義；5、面面垂直的性質(zhì)定理在證明過程中可以引導(dǎo)學(xué)生去掌握證明推理中的分析法，即逆向推理同步練習(xí)：(2023·江西卷改編)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E為CD上一點(diǎn)，DE＝1，EC＝3.證明：BE⊥平面BB1C證明過B作CD的垂線交CD于F，則BF＝AD＝eq\r(2)，EF＝AB－DE＝1，F(xiàn)C＝2.在Rt△BEF中，BE＝eq\r(3).在Rt△CFB中，BC＝eq\r(6).在△BEC中，因?yàn)锽E2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C規(guī)律四：平面與平面垂直的性質(zhì)與判定：平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另外一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直例題6：如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝eq\r(2)BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．證明：平面ABC1⊥平面B1CD.證明∵ABC－A1B1C1是棱柱，且AB＝BC＝AA1＝BB1∴四邊形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1由AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，得BB1⊥平面ABC.∵AB?平面ABC，∴BB1⊥AB，又∵AB＝BC，且AC＝eq\r(2)BC，∴AB⊥BC，而BB1∩BC＝B，BB1，BC?平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，而B1C?平面BCC1B1∴AB⊥B1C而AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1.∴B1C⊥平面ABC1，而B1C?平面B1∴平面ABC1⊥平面B1CD.方法小結(jié)：其實(shí)證明面面垂直就是證明線面垂直，不同的是需要我們找哪條直線垂直哪個(gè)平面，一般方法是如果是要證明，那么就在內(nèi)找一條直線證明，或者在內(nèi)找一條直線a證明同步練習(xí)：如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，A