求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)教學(xué)內(nèi)容

求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)3.1靜電場(chǎng)分析

本節(jié)內(nèi)容

3.1.1

靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件

3.1.2

電位函數(shù)3.1.3

導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容3.1.4

靜電場(chǎng)的能量3.1.5

靜電力22.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或或3.1.1靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件若分界面上不存在面電荷，即，則3介質(zhì)2介質(zhì)1

在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為

或

場(chǎng)矢量的折射關(guān)系

導(dǎo)體表面的邊界條件4由即靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來(lái)表示，標(biāo)量函數(shù)稱為靜電場(chǎng)的標(biāo)量電位或簡(jiǎn)稱電位。1.電位函數(shù)的定義3.1.2電位函數(shù)52.電位的表達(dá)式對(duì)于連續(xù)的體分布電荷，由同理得，面電荷的電位：故得點(diǎn)電荷的電位：線電荷的電位：63.電位差兩端點(diǎn)乘，則有將上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說(shuō)明

P、Q兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q點(diǎn)所做的功，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處。電位差也稱為電壓，可用U表示。電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)。P、Q兩點(diǎn)間的電位差電場(chǎng)力做的功7靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即選參考點(diǎn)令參考點(diǎn)電位為零電位確定值(電位差)兩點(diǎn)間電位差有定值

選擇電位參考點(diǎn)的原則

應(yīng)使電位表達(dá)式有意義。應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無(wú)限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)。同一個(gè)問(wèn)題只能有一個(gè)參考點(diǎn)。4.電位參考點(diǎn)

為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即8

例3.1.1

求電偶極子的電位.

解

在球坐標(biāo)系中用二項(xiàng)式展開(kāi)，由于，得代入上式，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q9將和代入上式，解得E線方程為

由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度等位線電場(chǎng)線電偶極子的場(chǎng)圖

電場(chǎng)線微分方程：

等位線方程：10

解選定均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn)P

的位置矢量為r，則若選擇點(diǎn)O為電位參考點(diǎn)，即，則在球坐標(biāo)系中，取極軸與的方向一致，即，則有

例3.1.2

求均勻電場(chǎng)的電位分布。在圓柱坐標(biāo)系中，取與x軸方向一致，即，而，故11xyzL-L解

采用圓柱坐標(biāo)系，令線電荷與z

軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。在帶電線上位于處的線元，它到點(diǎn)的距離，則

例3.1.3

求長(zhǎng)度為2L、電荷線密度為的均勻帶電線的電位。12在上式中若令。當(dāng)時(shí)，上式可寫(xiě)為當(dāng)時(shí)，在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有選擇ρ=a

的點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則有13在均勻介質(zhì)中，有5.電位的微分方程在無(wú)源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程146.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離Δl→0時(shí)導(dǎo)體表面上電位的邊界條件：由和媒質(zhì)2媒質(zhì)1若介質(zhì)分界面上無(wú)自由電荷，即常數(shù)，15

例3.1.4兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為

的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場(chǎng)。

解在兩塊無(wú)限大接地導(dǎo)體平板之間電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程方程的解為obaxy兩塊無(wú)限大平行板16利用邊界條件，有處，最后得處，處，所以由此解得17電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中：

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容在電子電路中，利用電容器來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁路、選頻等作用。通過(guò)電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜電路。在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來(lái)改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率。181.電容孤立導(dǎo)體的電容兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷（q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無(wú)關(guān)。19(1)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和－q；

計(jì)算電容的方法一：(4)求比值，即得出所求電容。(3)由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(2)計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度E；

計(jì)算電容的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；(4)由得到

;(2)計(jì)算兩電極間的電位分布

；(3)由得到E;

(5)由 ，求出導(dǎo)體的電荷q；(6)求比值，即得出所求電容。20

解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q

，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)，

例3.1.4同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容21

例3.1.5如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長(zhǎng)度的電容。

解

設(shè)兩導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量分別為和。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故單位長(zhǎng)度的電容為22

例3.1.6同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長(zhǎng)度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解

設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為故得同軸線單位長(zhǎng)度的電容為同軸線231.靜電場(chǎng)的能量

設(shè)系統(tǒng)從零開(kāi)始充電，最終帶電量為q、電位為。外電源所做的總功為根據(jù)能量守恒定律，電為q的帶電體具有的電場(chǎng)能量：

對(duì)于電荷體密度為ρ的體分布電荷，體積元dV中的電荷ρdV具有的電場(chǎng)能量為

靜電場(chǎng)能量來(lái)源于建立電荷系統(tǒng)的過(guò)程中外源提供的能量。

靜電場(chǎng)最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場(chǎng)具有能量。3.1.4靜電場(chǎng)的能量

24故體分布電荷的電場(chǎng)能量為對(duì)于面分布電荷，電場(chǎng)能量為對(duì)于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有——第i個(gè)導(dǎo)體所帶的電荷——第i個(gè)導(dǎo)體的電位式中：252.電場(chǎng)能量密度

電場(chǎng)能量密度：

電場(chǎng)的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶?chǎng)所在的整個(gè)空間

對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有26由于體積V外的電荷密度ρ＝0，只要電荷分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無(wú)限擴(kuò)大時(shí)，則有故

推證：ρρ＝0S27

例3.1.7

半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場(chǎng)能量。

解：方法一，利用計(jì)算根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度故28

方法二：利用計(jì)算先求出電位分布故29虛位移法：假設(shè)第i個(gè)帶電導(dǎo)體在電場(chǎng)力Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場(chǎng)力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)閐We。根據(jù)能量守恒定律，該系統(tǒng)的功能關(guān)系為其中dWS是與各帶電體相連接的外電源所提供的能量。3.1.5靜電力1.各帶電導(dǎo)體的電位不變外電壓源向系統(tǒng)提供的能量系統(tǒng)所改變的靜電能量即不變30此時(shí)，dWS＝0，因此2.各帶電導(dǎo)體的電荷不變式中的“－”號(hào)表示電場(chǎng)力做功是靠減少系統(tǒng)的靜電能量來(lái)實(shí)現(xiàn)的。q不變部分填充介質(zhì)的平行板電容器dbU0lx例3.1.8有一平行金屬板電容器，極板面積為l×b，板間距離為d，用一塊介質(zhì)片（寬度為b、厚度為d，介電常數(shù)為ε）部分填充在兩極板之間，如圖所示。設(shè)極板間外加電壓為U0，忽略邊緣效應(yīng)，求介質(zhì)片所受的靜電力。31所以電容器內(nèi)的電場(chǎng)能量為由可求得介質(zhì)片受到的靜電力為

解

平行板電容器的電容為由于ε>ε0，所以介質(zhì)片所受到的力有將其拉進(jìn)電容器的趨勢(shì)此題也可用式來(lái)計(jì)算q不變32設(shè)極板上保持總電荷q不變，則由此可得由于同樣得到3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析

本節(jié)內(nèi)容3.2.1恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件3.2.2恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬3.2.3漏電導(dǎo)33導(dǎo)體中若存在恒定電流，導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)。恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的重要區(qū)別：（1）恒定電場(chǎng)可以存在于導(dǎo)體內(nèi)部。（2）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來(lái)不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。3.2.1恒定電場(chǎng)的基本方程和邊界條件341.基本方程

恒定電場(chǎng)的基本方程為微分形式：積分形式：

恒定電場(chǎng)的基本場(chǎng)矢量是電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場(chǎng)的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒(méi)有體分布電荷352.恒定電場(chǎng)的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1場(chǎng)矢量的邊界條件即即導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電荷面密度場(chǎng)矢量的折射關(guān)系36電位的邊界條件恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場(chǎng)既有法向分量又有切向分量，電場(chǎng)并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；

說(shuō)明：37媒質(zhì)2媒質(zhì)1媒質(zhì)2媒質(zhì)1如2>>1、且2≠90°，則1＝0，即電場(chǎng)線近似垂直于與良導(dǎo)體表面。此時(shí)，良導(dǎo)體表面可近似地看作為等位面；

若媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，即1＝0，則J1=0，故J2n=0且E2n=0，即導(dǎo)體中的電流和電場(chǎng)與分界面平行。383.2.2恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬

如果兩種場(chǎng)，在一定條件下，場(chǎng)方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場(chǎng)分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。只需求出一種場(chǎng)的解，就可以用對(duì)應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場(chǎng)的解。這種求解場(chǎng)的方法稱為比擬法。靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)39恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬對(duì)應(yīng)物理量靜電場(chǎng)恒定電場(chǎng)基本方程靜電場(chǎng)（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場(chǎng)（電源外）40

例3.2.1一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。

解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。41

例3.2.2

填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2

、電導(dǎo)率為

1和2

。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介質(zhì)142

（1）設(shè)同軸電纜中單位長(zhǎng)度的徑向電流為I,則由可得電流密度介質(zhì)中的電場(chǎng)解：43故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為由于于是得到44（2）由可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為45漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3漏電導(dǎo)46(1)假定兩電極間的電流為I；計(jì)算兩電極間的電流密度矢量J；由J=E

得到E

;由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法一：

計(jì)算電導(dǎo)的方法二：(1)假定兩電極間的電位差為U；(2)計(jì)算兩電極間的電位分布

；(3)由得到E;(4)由J=E得到J;(5)由 ，求出兩導(dǎo)體間電流；(6)求比值，即得出所求電導(dǎo)。

計(jì)算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：47例3.2.3求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長(zhǎng)度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ、介電常數(shù)為ε。解：電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I

。48方程通解為

例3.2.4在一塊厚度為h

的導(dǎo)電板上，由兩個(gè)半徑為r1和r2的圓弧和夾角為

0的兩半徑割出的一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖所示。計(jì)算沿方向的兩電極之間的電阻。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ。解：設(shè)在沿方向的兩電極之間外加電壓U0，電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程代入邊界條件可以得到環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)塊r1hr20σ49電流密度兩電極之間的電流故沿方向的兩電極之間的電阻為所以50本節(jié)內(nèi)容3.3.1恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件3.3.2

恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位3.3.3

電感3.3.4

恒定磁場(chǎng)的能量3.3.5

磁場(chǎng)力

3.3恒定磁場(chǎng)分析51微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或3.3.1恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件52

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即由即恒定磁場(chǎng)可以用一個(gè)矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示。1.恒定磁場(chǎng)的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位

3.3.2恒定磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量磁位為了得到確定的，可以對(duì)

的散度加以限制，在恒定磁場(chǎng)中通常規(guī)定，并稱為庫(kù)侖規(guī)范。53

磁矢位的微分方程在無(wú)源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表達(dá)式54

磁矢位的邊界條件（可以證明滿足）對(duì)于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，磁矢位分別為

利用磁矢位計(jì)算磁通量：細(xì)線電流：面電流：由此可得出55

例3.3.1求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場(chǎng)。小圓形回路的半徑為a

，回路中的電流為I

。

解如圖所示，由于具有軸對(duì)稱性，矢量磁位和磁場(chǎng)均與無(wú)關(guān)，計(jì)算xOz平面上的矢量磁位與磁場(chǎng)將不失一般性。小圓環(huán)電流aIxzyrRθIPO56對(duì)于遠(yuǎn)區(qū)，有r>>a，所以由于在=0面上，所以上式可寫(xiě)成于是得到57式中S=πa

2是小圓環(huán)的面積。載流小圓環(huán)可看作磁偶極子，為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則或582.恒定磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位在無(wú)傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，則有

標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位

磁標(biāo)位的微分方程將代入——等效磁荷體密度59

標(biāo)量磁位的邊界條件在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中

標(biāo)量磁位的表達(dá)式和或和式中：——等效磁荷面密度60靜電位 磁標(biāo)位

磁標(biāo)位與靜電位的比較靜電位

0

P磁標(biāo)位

m

0

m61當(dāng)r>>l時(shí)，可將磁柱體等效成磁偶極子，則利用與靜電場(chǎng)的比較和電偶極子場(chǎng)，有

解：M0為常數(shù)，m=0，柱內(nèi)沒(méi)有磁荷。在柱的兩個(gè)端面上，磁化磁荷為R1R2rPzx-l/2l/2M例3.3.3半徑為a、長(zhǎng)為l的圓柱永磁體，沿軸向均勻磁化，其磁化強(qiáng)度為。求遠(yuǎn)區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。621.磁通與磁鏈

3.3.3電感單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過(guò)該回路的磁通量多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細(xì)回路粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過(guò)導(dǎo)體的外磁通量o；另一部分是磁力線穿過(guò)導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路63設(shè)回路C中的電流為I

，所產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I

有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無(wú)關(guān)。

自感的特點(diǎn)：64

解：設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過(guò)沿軸線單位長(zhǎng)度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.4求同軸線單位長(zhǎng)度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為65因此內(nèi)導(dǎo)體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長(zhǎng)度的外自感為單位長(zhǎng)度的總自感為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為66

例3.3.5計(jì)算平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為D，且D>>a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0。穿過(guò)兩導(dǎo)線之間沿軸線方向?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度的面積的外磁鏈為

解

設(shè)兩導(dǎo)線流過(guò)的電流為I。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，得兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn)P

的磁感應(yīng)強(qiáng)度為PII67于是得到平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的外自感兩根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位長(zhǎng)度的自感為68

對(duì)兩個(gè)彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2，當(dāng)回路C1中通過(guò)電流I1時(shí)，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈12也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對(duì)回路C2的互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感。3.互感同理，回路C2對(duì)回路C1的互感為C1C2I1I2Ro69互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對(duì)位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無(wú)關(guān)。滿足互易關(guān)系，即M12=M21

當(dāng)與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號(hào)時(shí)，互感系數(shù)M為正值；反之，則互感系數(shù)M為負(fù)值?；ジ械奶攸c(diǎn)：704.紐曼公式如圖所示回路C1中的電流I1在回路C2上的任一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路C2交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro紐曼公式同理故得71由圖中可知長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形回路穿過(guò)三角形回路面積的磁通為

解

設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定理，得到

例3.3.6如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。72因此故長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為733.3.4恒定磁場(chǎng)的能量1.

磁場(chǎng)能量在恒定磁場(chǎng)建立過(guò)程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場(chǎng)能量。電流回路在恒定磁場(chǎng)中受到磁場(chǎng)力的作用而運(yùn)動(dòng)，表明恒定磁場(chǎng)具有能量。磁場(chǎng)能量是在建立電流的過(guò)程中，由電源供給的。當(dāng)電流從零開(kāi)始增加時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。假定建立并維持恒定電流時(shí)，沒(méi)有熱損耗。假定在恒定電流建立過(guò)程中，電流的變化足夠緩慢，沒(méi)有輻射損耗。74

設(shè)回路從零開(kāi)始充電，最終的電流為

I、交鏈的磁鏈為。在時(shí)刻t的電流為i=αI、磁鏈為ψ=α。(0≤α≤1)根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為I

的載流回路具有的磁場(chǎng)能量Wm，即對(duì)α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為所做的功當(dāng)α增加為(α+dα)時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì):75

對(duì)于N個(gè)載流回路，則有對(duì)于體分布電流，則有例如，對(duì)于兩個(gè)電流回路C1和回路C2，有回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能762.磁場(chǎng)能量密度

從場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，磁場(chǎng)能量分布于磁場(chǎng)所在的整個(gè)空間。

磁場(chǎng)能量密度：

磁場(chǎng)的總能量：積分區(qū)域?yàn)殡妶?chǎng)所在的整個(gè)空間

對(duì)于線性、各向同性介質(zhì)，則有77若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面S無(wú)限擴(kuò)大時(shí)，則有故

推證：S78

例3.3.8

同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流I，試求同軸電纜中單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量與自感。

解：由安培環(huán)路定理，得79三個(gè)區(qū)域單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量分別為80單位長(zhǎng)度內(nèi)總的磁場(chǎng)能量為單位長(zhǎng)度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感813.3.5磁場(chǎng)力

假定第i個(gè)回路在磁場(chǎng)力的作用下產(chǎn)生一個(gè)虛位移dgi。此時(shí)，磁場(chǎng)力做功dA＝Fidgi，系統(tǒng)的能量增加dWm。根據(jù)能量守恒定律，有式中dWS是與各電流回路相連接的外電源提供的能量。虛位移原理821.各回路電流維持不變

若假定各回路中電流不改變，此時(shí)，電源所提供的能量

即于是有故得到不變系統(tǒng)增加的磁能

832.各回路的磁通不變故得到式中的“－”號(hào)表示磁場(chǎng)力做功是靠減少系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量來(lái)實(shí)現(xiàn)的。若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。由于各回路的磁通不變，回路中都沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，故與回路相連接的電源不對(duì)回路輸入能量，即

dWS＝0，因此不變84例3.3.9如圖所示的一個(gè)電磁鐵，由鐵軛（繞有N匝線圈的鐵心）和銜鐵構(gòu)成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為S

，平均長(zhǎng)度分別為l1和l2。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長(zhǎng)度為x。設(shè)線圈中的電流為I，鐵軛和銜鐵的磁導(dǎo)率為。若忽略漏磁和邊緣效應(yīng)，求鐵軛對(duì)銜鐵的吸引力。解在忽略漏磁和邊緣效應(yīng)的情況下，若保持磁通Ψ不變，則B和H不變，儲(chǔ)存在鐵軛和銜鐵中的磁場(chǎng)能量也不變，而空氣隙中的磁場(chǎng)能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場(chǎng)力為電磁鐵空氣隙中的磁場(chǎng)強(qiáng)度變85若采用式計(jì)算，由儲(chǔ)存在系統(tǒng)中的磁場(chǎng)能量由于和，考慮到，可得到同樣得到鐵軛對(duì)銜鐵的吸引力為根據(jù)安培環(huán)路定理，有863.4靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理

本節(jié)內(nèi)容

3.4.1邊值問(wèn)題的類型3.4.2惟一性定理

邊值問(wèn)題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程873.4.1邊值問(wèn)題的類型

已知場(chǎng)域邊界面S上的位函數(shù)值，即

第一類邊值問(wèn)題（或狄里赫利問(wèn)題）已知場(chǎng)域邊界面S上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即已知場(chǎng)域一部分邊界面S1上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面S2上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問(wèn)題（或混合邊值問(wèn)題）

第二類邊值問(wèn)題（或紐曼問(wèn)題）88自然邊界條件（無(wú)界空間）周期邊界條件銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如89例：（第一類邊值問(wèn)題）（第三類邊值問(wèn)題）例：90在場(chǎng)域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場(chǎng)域V具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題具有惟一解的條件為靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

惟一性定理的表述91

惟一性定理的證明反證法：假設(shè)解不惟一，則有兩個(gè)位函數(shù)和在場(chǎng)域V內(nèi)滿足同樣的方程，即且在邊界面S上有令，則在場(chǎng)域V內(nèi)且在邊界面S上滿足同樣的邊界條件?；蚧?2由格林第一恒等式可得到對(duì)于第一類邊界條件：對(duì)于第二類邊界條件：若和取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn)，則對(duì)于第三類邊界條件：93

本節(jié)內(nèi)容

3.5.1鏡像法的基本原理3.5.2接地導(dǎo)體平面的鏡像3.5.3導(dǎo)體球面的鏡像3.5.4導(dǎo)體圓柱面的鏡像3.5.5點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像3.5.6線電流與無(wú)限大磁介質(zhì)平面的鏡像

3.5鏡像法94當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.

問(wèn)題的提出幾個(gè)實(shí)例q3.5.1鏡像法的基本原理接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。q′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷95接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷

結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷或線電荷的作用。

問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？962.鏡像法的原理用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。

在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問(wèn)題所給定的邊界條件，那就是該問(wèn)題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法。3.鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的惟一性定理97像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”。4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5.確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場(chǎng)域”。

鏡像電荷的確定

像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中。

像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng)區(qū)域的邊界條件來(lái)確定。981.點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.2接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時(shí)，有效區(qū)域qq99上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為1002.線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)原問(wèn)題當(dāng)z=0時(shí)，有效區(qū)域1013.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對(duì)平面2以及q2對(duì)平面1均不能滿足邊界條件。對(duì)于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對(duì)于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1102

例3.5.1一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？

解：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。q'qx=∞0d-d由鏡像法，感應(yīng)電荷可以用像電荷

替代。當(dāng)電荷q移至x時(shí)，像電荷

應(yīng)位于－x，則像電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度1033.5.3導(dǎo)體球面的鏡像1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q'來(lái)等效。q'應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，距球心為d'。則有如圖所示，點(diǎn)電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定

和q′。

問(wèn)題：

PqarRdqPaq'rR'Rdd'104令r＝a，由球面上電位為零，即＝0，得此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。條件：若像電荷的位置像電荷的電量常數(shù)qPq'aR'Rdd'O由于105可見(jiàn)，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為106點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，點(diǎn)電荷q位于球殼內(nèi)，與球心相距為d(d<a)。

由于球殼接地。鏡像電荷q位于導(dǎo)體球殼外，且在點(diǎn)電荷q與球心的連線的延長(zhǎng)線上。|q'|>|q|，可見(jiàn)鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑b無(wú)關(guān)（為什么？）aqdobq'rR'RaqdOd'107球殼內(nèi)的電位感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上的總感應(yīng)電荷為可見(jiàn)，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。1082.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應(yīng)電荷分布，則

導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面；球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零。

采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷點(diǎn)電荷q位于一個(gè)半徑為a的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d。PqarRdO109然后斷開(kāi)接地線，并將電荷－q'加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q'可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷q"來(lái)替代，即球外任意點(diǎn)的電位為qPaq'rR'Rdd'q"O1103.5.5點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像

圖1點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖2介質(zhì)1的鏡像電荷問(wèn)題：如圖1所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì)1中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為h。分析方法：計(jì)算電介質(zhì)1中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。111介質(zhì)1中的電位為計(jì)算電介質(zhì)2中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2中的電位為圖3介質(zhì)2的鏡像電荷112可得到說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件1133.6分離變量法

本節(jié)內(nèi)容3.6.1分離變量法解題的基本原理3.6.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法3.6.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法3.6.4球坐標(biāo)系中的分離變量法114

將偏微分方程中含有n個(gè)自變量的待求函數(shù)表示成n個(gè)各自只含一個(gè)變量的函數(shù)的乘積，把偏微分方程分解成n個(gè)常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來(lái)，得到級(jí)數(shù)形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數(shù)。

分離變量法是求解邊值問(wèn)題的一種經(jīng)典方法

分離變量法的理論依據(jù)是惟一性定理

分離變量法解題的基本思路：3.6.1分離變量法解題的基本原理115在直角坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為3.6.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法將

(x,y)表示為兩個(gè)一維函數(shù)X(x)和Y(y)的乘積，即將其代入拉普拉斯方程，得再除以X(x)Y(y)，有分離常數(shù)116若取λ＝－k2，則有當(dāng)當(dāng)117將所有可能的

(x,y)線性疊加起來(lái)，則得到位函數(shù)的通解，即若取λ＝k2，同理可得到通解中的分離常數(shù)和待定系數(shù)由給定的邊界條件確定。118

例3.6.1

無(wú)限長(zhǎng)的矩形金屬導(dǎo)體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計(jì)算此導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布。解：位函數(shù)滿足的方程和邊界條件為因

(0,y)＝0、

(a,y)＝0，故位函數(shù)的通解應(yīng)取為119確定待定系數(shù)120將U0在（0,a）上按展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，即其中121由故得到1223.6.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

令其解為代入方程，可得到由此可將拉普拉斯方程分離為兩個(gè)常微分方程

在圓柱坐標(biāo)系中，若位函數(shù)與z

無(wú)關(guān)，則拉普拉斯方程為通常

(ρ,

)隨變量

的變化是以2

為周期的周期函數(shù)。因此，分離常數(shù)k

應(yīng)為整數(shù)，即k

＝n(n＝0,1,2,…

)。123當(dāng)n=0時(shí)