第2章剛體力學

質(zhì)元之間的距離保持不變。mimj(理想模型)有質(zhì)量沒有大小和形狀的點---質(zhì)點在任何情況下大小和形狀都不發(fā)生變化的物體---剛體(理想模型)第二章剛體力學1平動：用質(zhì)心運動討論剛體運動的兩種基本形式平動---剛體在運動中，其上任意兩點的連線始終保持平行。質(zhì)心的運動代表整個剛體的平動一、剛體的平動和轉(zhuǎn)動22.1剛體運動學轉(zhuǎn)動：剛體內(nèi)所有質(zhì)元都繞同一直線做圓周運動.這條直線叫轉(zhuǎn)軸定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。OO’轉(zhuǎn)軸3剛體的一般運動既平動又轉(zhuǎn)動：質(zhì)心的平動加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動4轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸參考方向各質(zhì)元的位移、線速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同.描述剛體整體的運動用角量方便。二、定軸轉(zhuǎn)動的角量描述5r角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。加速轉(zhuǎn)動方向一致減速轉(zhuǎn)動方向相反方向單位：rad/s26質(zhì)元的線量與角量的關(guān)系：7轉(zhuǎn)動的物體具有動能，其值等于各個質(zhì)元的動能的總和J是衡量物體轉(zhuǎn)動慣性的量一、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能Mr2-2剛體的定軸轉(zhuǎn)動二、轉(zhuǎn)動慣量8質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量國際單位制中轉(zhuǎn)動慣量的單位為千克·米2（kg·m2）轉(zhuǎn)動慣量的計算單個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量與什么因素有關(guān)：剛體的質(zhì)量質(zhì)量的分布轉(zhuǎn)軸的位置9注意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布10例1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：細圓環(huán)RJ是可加的，所以若為薄圓筒,結(jié)果相同。11例2求質(zhì)量為m、半徑為R、高為l

的均勻圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量。軸為圓柱體軸線。解：取半徑為r高為l厚為dr的圓筒,可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。12例3.求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動慣量：YXZORrdZZ13YXZORrdZZ14例4、求長為L、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLxABL/2L/2Cx解：取如圖坐標dm=dx15平行軸定理前例中JC表示相對通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，JA表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L/2?？梢姡和茝V上述結(jié)論，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有：J＝JC＋md2。這個結(jié)論稱為平行軸定理。16例5.求右圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.(棒長為L、球半徑為R）171、力對轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動平面(2)任意方向的力對轉(zhuǎn)軸的力矩三、轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動平面(1)方向如圖單位：?！っ祝∟·m）18

將切向分量式兩邊同乘以

,2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律19剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體上的合外力矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積。m反映質(zhì)點的平動慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。地位相當20轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例例1一個質(zhì)量為M、半徑為R的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落高度h時的速度和此時滑輪的角速度。mg21mg解：22ABF解：水平恒力F對過A端的豎直軸的力矩為23例2質(zhì)量為m，長為l的水平勻質(zhì)細桿AB能自由地繞通過其A端的豎直軸旋轉(zhuǎn)。從某一時刻起,在B端作用一個水平恒力F，該力在所有的時間內(nèi)總是垂直于桿靜止時的初始位置。求桿的角速度和它從初始位置轉(zhuǎn)過的角的函數(shù)關(guān)系。對上式求積分ABF由轉(zhuǎn)動定理有24例3、一個飛輪的質(zhì)量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪(勻質(zhì)圓環(huán))，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來。閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為0.2。求:(1)從制動開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動這段時間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)?(2)閘瓦對飛輪的壓力N為多少？F025解(1)從制動開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動,飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)

0Nfr26飛輪轉(zhuǎn)了41.67轉(zhuǎn)．(2)閘瓦對飛輪的壓力N0Nfr27根據(jù)轉(zhuǎn)動定律已知:m＝69kg,R＝0.25m，μ=0.2,=-20.9rad/s2力矩做功是力做功的角量表達式.力矩的瞬時功率對比：四、力矩的功28

剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。對比：當θ=θ1時，ω=ω1；

θ=θ2時，ω=ω2所以：五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理29剛體的重力勢能是組成它的各個質(zhì)元的重力勢能之和.1、剛體的重力勢能剛體的重力勢能等于其重力與質(zhì)心高度之積.六、包括剛體的系統(tǒng)的機械能守恒定律30若在剛體轉(zhuǎn)動過程中,只有重力做功,則機械能守恒.機械能守恒定律2、定軸轉(zhuǎn)動的功能原理和機械能守恒定律定軸轉(zhuǎn)動的功能原理即如果合外力不做功，非保守內(nèi)力也不做功，或二者的功的代數(shù)和為零，機械能守恒.31例1已知：均勻直桿m,長為l,初始水平靜止，軸光滑，AOl=4

。求:桿下擺q角時，角速度w=?解：桿地球系統(tǒng)，+∵只有重力作功,∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末態(tài)：EJk2212=w,

EmglP24=-sinq得：

wq=267glsin32例2、一根長為l、質(zhì)量為m的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時的角加速度和角速度。解：外力矩為重力對O的力矩。棒上取質(zhì)元dm,

該質(zhì)元的重力對軸的元力矩為Ogdmdm33整個棒的重力矩為Ogdmdm根據(jù)轉(zhuǎn)動定律34Ogdmdm35例3彈簧、定滑輪和物體的連接如圖所示,彈簧的勁度系數(shù)為2.0N·m-1,定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kg·m2,半徑為0.30m,問當6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時,它的速率為多大?假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長．解:以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng)，下落的過程中，機械能守恒.36以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點.故有37O質(zhì)點相對O點的矢徑與質(zhì)點的動量的矢積定義為該時刻質(zhì)點相對于O點的角動量，用表示。質(zhì)點1、角動量2-3剛體角動量定理和角動量守恒定律一、剛體的角動量定理38質(zhì)點系對某點的角動量：如果質(zhì)點系繞定軸轉(zhuǎn)動：各質(zhì)點有相同的，392、角動量定理外力矩對系統(tǒng)的角沖量（沖量矩）等于角動量的增量。根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，可得：40作用在物體上的外力對某軸的力矩之和為零，則物體對該軸的角動量守恒角動量守恒定律角動量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動慣量保持不變的單個剛體。例：回轉(zhuǎn)儀二、角動量守恒定律41FF2、轉(zhuǎn)動慣量可變的物體。42實際中的一些現(xiàn)象藝術(shù)美、人體美、物理美相互結(jié)合Ⅰ、芭蕾舞演員的高難動作43Ⅱ體操、跳水、運動員在空中為了迅速翻轉(zhuǎn)總是曲體、減小轉(zhuǎn)動慣量、增加角速度。當落地時則總是伸直身體、增大轉(zhuǎn)動慣量、使身體平穩(wěn)地。44ω花樣滑冰運動員通過改變身體姿態(tài)即改變轉(zhuǎn)動慣量來改變轉(zhuǎn)速.ω45例1質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)臺，可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m的人站在邊沿上，人和轉(zhuǎn)臺原來都靜止。如果人沿臺邊緣奔跑一周，求對地而言，人和轉(zhuǎn)臺各轉(zhuǎn)動了多少角度？已知：求：解：以M、m為研究對象故角動量守恒+MXm46人和臺原來角動量為0（1）式×dt積分：若人和轉(zhuǎn)臺的角速度分別為+MXm47MXm48例2一個質(zhì)量為M、半徑為R并以角速度ω轉(zhuǎn)動的飛輪(勻質(zhì)圓盤),在某一瞬時突然有一片質(zhì)量為m的碎片從輪的邊緣上飛出，如圖．假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上．(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動量和轉(zhuǎn)動動能．解:(1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度令v=0，得上升最大高度H為49(2)碎片與破盤的總角動量應(yīng)守恒，即式中ω'為破盤的角速度．于是(角速度不變)50圓盤余下部分的角動量為轉(zhuǎn)動動能為51例3空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動,如圖所示,其轉(zhuǎn)動慣量為J0,環(huán)半徑為R,初始角速度為ω0.質(zhì)量為m的小球,原來靜置于A點,由于微小的干擾,小球向下滑動.設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的,問小球滑到B點與C點時，小球相對于環(huán)的速率各為多少?解:(1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當小球滑至B點時，有該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中,只有重力做功,機械能守恒，設(shè)小球相對于圓環(huán)的速率為vB，以B點為重力勢能零點，則有52聯(lián)立①、②兩式，得(2)當小球滑至C點時，故由機械能守恒，有53例4一質(zhì)量為M,半徑為R的均質(zhì)圓盤,放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為μ)，圓盤可繞通過其中心O的光滑豎直固定軸轉(zhuǎn)動,開始時,圓盤靜止,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上,求:（1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度。（2）經(jīng)過多少時間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動。(忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩)54解：（1）子彈擊中圓盤邊緣并嵌在一起，這段時間很短，子彈和圓盤所組的系統(tǒng)角動量守恒。有解上式得：（2）勻質(zhì)圓盤可看成一系列半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成，在離轉(zhuǎn)軸r處取一半徑為r,寬度dr的細圓環(huán)，其質(zhì)量為55OR

dr摩擦力矩為由轉(zhuǎn)動定律有OR

dr56圓盤在水平面上轉(zhuǎn)動時間為57例5、如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后棒的角速度。已知棒長為l,質(zhì)量為M.解:以f表示棒對子彈的阻力,對子彈有:子彈對棒的反作用力f'

,

對棒有：v0vmM由兩式得58v0vmM請問:1.子彈和棒的總動量守恒嗎?為什么?2.總角動量守恒嗎?若守恒,其方程應(yīng)如何寫?59oθla例6、一長為l、質(zhì)量為M的桿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m，速率為v的子彈射入并嵌在距支點為a的棒內(nèi)，若桿的偏轉(zhuǎn)角度為θ=300，子彈的初速率為多少？解：可分兩個運動過程來分析。沖擊過程：桿維持豎直M合外=0系統(tǒng)角動量守恒60擺動過程：M合外≠0系統(tǒng)角動量不守恒只有重力作功，系統(tǒng)機械能守恒oθla61解:碰撞前單擺擺錘的速度v0例7、如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘質(zhì)量相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度h0，令它自靜止狀態(tài)下擺,于豎直位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后擺錘達到的高度h'和直桿下端達到的高度h。amlhol62chch′hb令碰撞后直桿的角速度為，擺錘的速度為v′。由角動量守恒，有在彈性碰撞過程中動能也守恒:63按機械能守恒碰撞后擺錘達到的高度h'而桿的質(zhì)心上升的高度hc滿足chch′hb64

例8如圖示已知：M=2m，h，q=60°求(1)碰撞后瞬間圓盤的w0=？(2)P轉(zhuǎn)到x軸時圓盤的w=?=?解：m下落：mghmv=122vghT=2(1)65碰撞t極小，對m+盤系統(tǒng)，沖力遠大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：qwomvRJcos=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqogh