第七節(jié)樣條插值

§7三次樣條插值上面討論的分段低次插值函數(shù)都有一致收斂性，但光滑性較差，對于像高速飛機(jī)的機(jī)翼形線，船體放樣等型值線往往要求有二階光滑度，即有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，早期工程師制圖時，把富有彈性的細(xì)長木條（所謂樣條）用壓鐵固定在樣點(diǎn)上，在其他地方讓它自由彎曲，然后畫下長條的曲線，稱為樣條曲線。它實(shí)際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。下面我們討論最常用的三次樣條函數(shù)。1設(shè)在區(qū)間[a,b]上取n+1個節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b,其對應(yīng)的函數(shù)值為f(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n),現(xiàn)求一定義在[a,b]上的函數(shù)S(x),使其滿足：1)S(x)在每一個小區(qū)間[xi-1,xi],(i=1,2,…,n)上為三次多項(xiàng)式,2)S(x)在[a,b]上二階連續(xù)可微,即S(x)∈C2[a,b],3)S(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n),則稱S(x)為f(x)的三次樣條插值函數(shù).根據(jù)S(x)在[a,b]上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在節(jié)點(diǎn)xj(j=

1,,2,n?

1)

L處應(yīng)滿足連續(xù)性條件:2通?？稍趨^(qū)間[a,b]端點(diǎn)x

0

=a,xn

=b

上各加一個條件（稱為邊界條件），可根據(jù)實(shí)際問題的要求給定。常見的有以下三種：1°已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即2°兩端的二階導(dǎo)數(shù)已知，即其特殊情況，稱為自然邊界條件。3為確定S(x)在各區(qū)間上的表達(dá)式,自然會想到前節(jié)介紹的分段埃爾米特插值.在每一小區(qū)間上,分段埃爾米特插值也恰為三次多項(xiàng)式,不過在那里,f′(xi)=y′i為已知的.如果能利用S(x)在[a,b]上二階連續(xù)可微將y′i確定,那么由(6.6),S(x)便可唯一地表示出來了.為此先記mi=f′(xi),(i=0,1,2,…,n),在區(qū)間[xi-1,xi]上,

S(x)的表達(dá)式為：3°當(dāng)f(x)是以xn

?x0為周期的周期函數(shù)時，則要求

S(x)

也是周期函數(shù)。這時邊界條件應(yīng)滿足:而此時yn

=y0

,這樣確定的樣條函數(shù)S(x)，稱為周期樣條函數(shù)三轉(zhuǎn)角方程4樣條插值函數(shù)的建立記hi-1=xi-xi-1,求S(x)在[xi-1,xi]上的二階導(dǎo)函數(shù)S”(x)5再利用S(x)在[xi,xi+1]上的表達(dá)式可計算出由S(x)二階連續(xù)可微,即S''(xi-)=S''(xi+),得記：將上式整理得方程組6這是關(guān)于n+1個未知量mi,(i=0,1,…,n)的n-1個線性方程組,該方程組有無窮多組解,在實(shí)際問題中,往往根據(jù)具體情況補(bǔ)充兩個附加條件—通常稱為端點(diǎn)條件,便可唯一確定一組解.常見的端點(diǎn)條件有：1)曲線在兩端點(diǎn)x0,xn處的導(dǎo)數(shù)值為已知的,即f′(x0)=m0,

f′(xn)=mn,方程組為n-1個未知數(shù),n-1個方程,有唯一解.2)函數(shù)f(x0)在兩端點(diǎn)x0,xn處的二階導(dǎo)數(shù)為0,

即f“(x0)=f”

(xn)=0,即S"(x0)=S

"(xn)=0由S"(x0+

)=0可得7得方程組也有唯一解.由S"(xn-

)=0可得3)周期端點(diǎn)條件(當(dāng)f(x0)=f(xn)時)：S(x0)=S(xn),S′(x0)=S′(xn),S"(x0)=S"(xn)于是有：8與前面n-1個方程聯(lián)立,也可唯一地解出m0,m1,…,mn.對于前兩種端點(diǎn)條件所對應(yīng)的方程組可化為下列稱之為三對角方程組的形式：該方程組的系數(shù)矩陣具有嚴(yán)格對角優(yōu)勢(對角線元素的絕對值大于該行其它元素絕對值之和),因而是非奇異的,所以方程組有唯一的解,其解法可用追趕法進(jìn)行.9最后,把計算三次樣條函數(shù)的步驟歸納如下：(1)按所給的邊界條件及所給節(jié)點(diǎn)(xi,yi)計算i,μi,di(2)在給定的邊界條件下解方程組(6.27)計算出mi

(i=0,1,2,…,n)將所求得的mi代入分段插值公式,求出各小區(qū)間[xi,xi+1]上的樣條函數(shù)Si(x),(4)計算插值區(qū)間[a,b]上的樣條插值函數(shù)S(x)的值.10三彎矩方程:三次樣條插值函數(shù)

S(x)可以有多種表達(dá)方法，有時用二階導(dǎo)數(shù)值S“

(xj

)=Mj

(j=

0,

1,,..n)表示使用更方便。Mj在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在xj截面處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個彎矩有關(guān)，故稱三彎矩方程。由于S(x)在區(qū)間[x

j,xj+1],上是三次多項(xiàng)式，故S"

(x)在[x

j,xj+1]上是線性函數(shù)，可表示為對S"(x)兩次積分,并利用S(xj

)=yj,S(xj+1

)=yj+1,可定出積分常數(shù)，于是得11(j=0,1,….,n-1)1212對

S(x)求導(dǎo)得由此可求得13類似地可求出S(x)在區(qū)間[x

j,xj+1],上的表達(dá)式，從而得利用S'(xj?0)=S'(xj

+

0)

可得其中λ

j

μ

j,由前面所示，而14只要加上的任一種邊界條件就可得到三彎矩Mj的方程組，例如邊界條件1°，則得到端點(diǎn)方程為若邊界條件為2°，則端點(diǎn)方程為同樣通過追趕法，可求出三彎矩方程Mj的解(

j=0

1,,,n)

，代入則得到三次插值樣條函數(shù)

S(x)

。15

樣條插值的收斂性對三次樣條函數(shù),當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)逐漸加密時,不但樣條函數(shù)收斂于被插值函數(shù)本身,而且其導(dǎo)函數(shù)也收斂到被插函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),這一性質(zhì)比多項(xiàng)式插值要優(yōu)越得多.關(guān)于樣條函數(shù)的收斂性的證明這里不再詳細(xì)討論,只給出如下定理：定理6.5

設(shè)函數(shù)f(x)C4[a,b],對給定的分劃

Δ:a=x0<x1<…<xn

=bSΔ(x)為分劃Δ上的三次樣條插值函數(shù),則當(dāng)

h=max|xi+1-xi|時(i=0,1,…n