電磁場與電磁波2

第二章靜電場

主要內容電場強度、電位、介質極化、場方程、邊界條件、能量與力1.電場強度2.真空中靜電場方程3.電位與等位面4.介質極化5.

介質中的靜電場方程6.兩種介質的邊界條件7.介質與導體的邊界條件8.電容9.電場能量10.電場力1.電場強度電場對某點單位正電荷的作用力稱為該點的電場強度，以E表示。

式中,q

為試驗電荷的電荷量;F為電荷q受到的作用力。電場強度通過任一曲面的通量稱為電通，以

表示，即

電場線方程帶電平行板

負電荷

正電荷

幾種典型的電場線分布電場線的疏密程度可以顯示電場強度的大小。電場線:曲線上各點的切線方向表示該點的電場強度方向。問題:電場線是否可能相交？2.真空中靜電場方程

實驗表明，真空中靜電場的電場強度E滿足下列兩個積分形式的方程式中，0為真空介電常數(shù)。此式表明，真空中靜電場的電場強度沿任一條閉合曲線的環(huán)量為零。此式稱為高斯定律。它表明真空中靜電場的電場強度通過任一封閉曲面的電通等于該封閉曲面所包圍的電荷量與真空介電常數(shù)之比。根據(jù)上面兩式可以求出電場強度的散度及旋度分別為左式表明，真空中靜電場的電場強度在某點的散度等于該點的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式表明，真空中靜電場的電場強度的旋度處處為零。真空中靜電場是有散無旋場。

已知靜電場的電場強度的散度及旋度以后，根據(jù)亥姆霍茲定理，電場強度E應為

xPzyrO求得因此

標量函數(shù)稱為電位。因此，上式表明真空中靜電場在某點的電場強度等于該點電位梯度的負值。已知按照國家標準，電位以小寫希臘字母

表示，上式應寫為將電位表達式代入，求得電場強度與電荷密度的關系為

若電荷分布在一個有限的表面上，或者分布在一個有限的線段內，那么可以類推獲知此時電位及電場強度與電荷的面密度

S及線密度l的關系分別為（1）高斯定律中的電荷量q

應理解為封閉面S

所包圍的全部正、負電荷的總和。

靜電場幾個重要特性（2）靜電場的電場線是不可能閉合的，而且也不可能相交。（3）任意兩點之間電場強度E的線積分與路徑無關，它是一種保守場。

（4）若電荷分布已知，計算靜電場的三種方法是：直接根據(jù)電荷分布計算電場強度:通過電位求出電場強度:利用高斯定律計算電場強度:例1

計算點電荷的電場強度。

解利用高斯定律求解。取中心位于點電荷的球面為高斯面，得上式左端積分為

得或xzy高斯面

也可通過電位計算點電荷產生的電場強度。當點電荷位于坐標原點時，。那么點電荷的電位為求得電場強度E

為

若直接根據(jù)電場強度公式，同樣求得電場強度E為

例2

計算電偶極子的電場強度。

解

由于電位及電場強度均與電荷量的一次方成正比。因此，可以利用疊加原理計算多種分布電荷產生的電位和電場強度。那么，電偶極子產生的電位應為

x–q+qzylrr–r+O若觀察距離遠大于間距l(xiāng)

，則可認為,，那么x–q+qzylrr–r+O式中，l

的方向規(guī)定由負電荷指向正電荷。求得乘積ql

稱為電偶極子的電矩，以p表示，即那么電偶極子產生的電位可用電矩p表示為

已知，求得電偶極子的電場強度為可見電偶極子的，，而且兩者均與方位角

有關。電偶極子的電場線和等位線例3

設半徑為a，電荷體密度為

的無限長圓柱帶電體位于真空，計算該帶電圓柱內、外的電場強度。

xzyaLS1

選取圓柱坐標系，由于場量與

z

坐標無關，且上下對稱，因此電場強度一定垂直于z軸。再考慮到圓柱結構具有旋轉對稱的特點，場強一定與角度

無關。

因此，可以利用高斯定律求解。

取半徑為r

，長度為L

的圓柱面與其上下端面構成高斯面。應用高斯定律，得

xzyaLS1

因電場強度方向處處與圓柱側面S1的外法線方向一致，而與上下端面的外法線方向垂直，因此上式左端的面積分為當r<a時，則電荷量q為,求得電場強度為

當r>a時，則電荷量q為,求得電場強度為

a2可以認為是單位長度內的電荷量。那么，柱外電場可以看作為位于圓柱軸上線密度為a2的線電荷產生的電場。因此線密度為的無限長線電荷的電場強度為

由上可見，對于無限長圓柱體分布電荷，利用高斯定律計算其電場強度是十分簡便的。若根據(jù)電荷分布直接積分計算電位或電場強度，顯然不易。xzyr21rO例4求長度為L，線密度為的均勻線分布電荷的電場強度。

解

令圓柱坐標系的z軸與線電荷的長度方位一致，且中點為坐標原點。由于結構旋轉對稱，場強與方位角

無關。因為電場強度的方向無法判斷，不能應用高斯定律，必須直接求積。

因場量與無關，為了方便起見，可令觀察點P

位于yz平面，即，那么xzyr21rO考慮到求得當長度L

時，1

0，2，則此結果與例3

完全相同。

3.電位與等位面

3.電位與等位面

電位的物理意義是單位正電荷在電場力的作用下，自該點沿任一條路徑移至無限遠處過程中電場力作的功。

這里所說的電位實際上是該點與無限遠處之間的電位差，或者說是以無限遠處作為參考點的電位。任取一點可以作為電位參考點。當電荷分布在有限區(qū)域時，通常選擇無限遠處作為電位參考點，因為此時無限遠處的電位為零。電位的數(shù)學表示式中，q

為電荷量；W為電場力將電荷q推到無限遠處所作的功。電位的參考點不同，某點電位的值也不同。但是，任意兩點之間的電位差與電位參考點無關，因此電位參考點的選擇不會影響電場強度的值。

電位相等的曲面稱為等位面，其方程為式中常數(shù)C

等于電位值。若規(guī)定相鄰的等位面之間的電位差保持恒定，那么等位面分布的疏密程度也可表示電場強度的強弱。由于，電場線與等位面處處保持垂直。等位面電場線E幾種電場線和等位面的分布有極分子無極分子4.介質極化

導體中的電子稱為自由電子，其電荷稱為自由電荷。介質中的電荷不會自由運動，因此稱為束縛電荷。

在電場作用下，介質中束縛電荷發(fā)生位移的現(xiàn)象稱為極化。無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。

無極分子有極分子Ea靜電場中的電介質基本特征：沒有自由電子，存在束縛電荷；束縛電荷的特性是不能脫離原子而遷移；束縛電荷在分子尺度上的運動，形成電偶極子；大量的電偶極子，宏觀上呈現(xiàn)有序排列；這個有序排列，產生附加場，對總場有貢獻；上述過程，稱為電介質的極化。電介質的極化比導體的靜電響應更為復雜。外加場Ea介質極化現(xiàn)象是逐漸形成的。自外電場Ea

加入發(fā)生極化后，一直達到動態(tài)平衡的過程如下圖所示。

介質合成場Ea+Es極化二次場Es單位體積中電矩的矢量和稱為極化強度，以P

表示，即

式中，pi

為體積V

中第i

個電偶極子的電矩；N

為V中電偶極子的數(shù)目。式中e

稱為極化率，它是一個正實數(shù)。

大多數(shù)介質發(fā)生極化時，，令可見，極化強度與合成的電場強度的方向相同。極化率與電場方向無關，這類介質稱為各向同性介質。可見，極化特性與電場強度方向有關，這類介質稱為各向異性介質。

另一類介質的極化強度P與電場強度E的關系可用下列矩陣表示

空間各點極化率相同的介質稱為均勻介質，否則，稱為非均勻介質。因此，若極化率是一個正實常數(shù)，則適用于線性均勻且各向同性的介質。若前述矩陣的各個元素都是一個正實常數(shù)，則適用于線性均勻各向異性的介質。極化率與電場強度的大小無關的介質稱為線性介質，否則，稱為非線性介質。極化率與時間無關的介質稱為靜止媒質，否則稱為運動媒質。

介質的均勻與非均勻、線性與非線性、各向同性與各向異性、靜止與運動分別代表完全不同的概念，不應混淆。各向異性的介質能否是均勻的？非均勻介質能否是各向同性的？

極化以后，介質表面出現(xiàn)面分布的束縛電荷。若介質內部不均勻，在介質內部出現(xiàn)體分布的束縛電荷。這些面分布及體分布的束縛電荷又稱為極化電荷。式中，極化強度與極化電荷的關系為

可以證明，極化電荷產生的電位為

可見，任一塊介質內部體分布的束縛電荷與介質塊的表面束縛電荷是等值異性的。

再利用散度定理，求得內部總體極化電荷為可見，總面極化電荷為電介質在極高的外場作用下，將發(fā)生所謂的“擊穿”現(xiàn)象，其物理實質是:外場使得原來的束縛電荷變?yōu)樽杂呻姾?，電介質也變?yōu)閷w。電介質所能耐受的最大場強稱為介電強度，或擊穿強度。

介質與導體的電響應比較導體球在均勻電場中點電荷位于無限大介質上方點電荷位于無限大導板上方介質球在均勻電場中

5.介質中的靜電場方程

在介質內部，穿過任一閉合面S的電通應為式中，q為自由電荷；為束縛電荷。那么

令，求得此處定義的D

稱為電通密度。可見，介質中穿過任一閉合面的電通密度的通量等于該閉合面包圍的自由電荷，而與束縛電荷無關。上式又稱為介質中的高斯定律的積分形式，利用散度定理不難推出其微分形式為

該式表明，某點電通密度的散度等于該點自由電荷的體密度。

電通密度也可用一系列曲線表示，電通密度線的定義與電場線完全相同。

電通密度線起始于正的自由電荷，而終止于負的自由電荷，與束縛電荷無關。用電通密度線圍成電通密度管。電通密度管軸線電通密度線方程已知各向同性介質的極化強度，求得

令式中，稱為介質的介電常數(shù)。則由于，因此相對介電常數(shù)r

定義為幾種介質的相對介電常數(shù)介

質介

質空

氣1.0石

英3.3油2.3云

母6.0紙1.3~4.0陶

瓷5.3~6.5有機玻璃2.6~3.5純

水81石

臘2.1樹

脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr>1各向異性介質的電通密度與電場強度的關系為可見，各向異性介質中，電通密度和電場強度的關系與外加電場的方向有關。

均勻介質的介電常數(shù)與空間坐標無關。線性介質的介電常數(shù)與電場強度的大小無關。靜止介質的介電常數(shù)與時間無關。對于均勻介質，由于介電常數(shù)與坐標無關，因此獲得可見，對于均勻介質，前述電場強度及電位與自由電荷的關系式仍然成立，只需將0

換為即可。

上式中q,是什么電荷？6.兩種介質的邊界條件

由于介質的特性不同，引起場量在兩種介質的分界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場的邊界條件。通常分別討論邊界上場量的切向分量和法向分量的變化規(guī)律。

1

2enetn—normalt—tangentialE2E11324lh

1

2et

圍繞某點且緊貼邊界作一個有向矩形閉合曲線，其長度為l，高度為h，則電場強度沿該矩形曲線的環(huán)量為

為了求出邊界上的場量關系，必須令h0，則線積分

①電場強度的切向分量。

為了求出邊界上某點的場量關系，必須令l足夠短，以至于在l內可以認為場量是均勻的，則上述環(huán)量為此式表明，在兩種介質的邊界上，兩側的電場強度的切向分量相等，或者說，電場強度的切向分量是連續(xù)的。推導過程未涉及介質特性，故適用于任何介質。

已知,得此式表明，在兩種各向同性的線性介質形成的邊界上，電通密度的切向分量是不連續(xù)的。

已知各向同性的線性介質，，得

hS

圍繞某點作一個圓柱面，其高度為h，端面為S。那么

1

2en②

電通密度的法向分量。D2D1

當h0，則通過側面的通量為零，又考慮到S必須足夠小，則上述通量應為邊界法線的方向en規(guī)定為由介質①指向介質②。求得式中，S為邊界上自由電荷的面密度。hS

1

2enD2D1②①在兩種介質的邊界上不可能存在表面自由電荷，因此此式表明，在兩種介質邊界上電通密度的法向分量相等，或者說，電通密度的法向分量是連續(xù)的。

對于各向同性的線性介質，得

可見，在兩種各向同性的線性介質形成的邊界上，電場強度的法向分量不連續(xù)。

還可證明

7.介質與導體的邊界條件

可見，導體中不可能存在靜電場，導體內部不可能存在自由電荷。處于靜電平衡時，自由電荷只能分布在導體的表面上。E⊕一⊕⊕一一E'⊕⊕⊕⊕一一一一E'+E=0EE=0導體靜電平衡

因為導體中不可能存在靜電場，因此導體中的電位梯度為零。所以，處于靜電平衡狀態(tài)的導體是一個等位體，導體表面是一個等位面。

既然導體中的電場強度為零，導體表面的外側不可能存在電場強度的切向分量。換言之，電場強度必須垂直于導體的表面，即介質E,D導體en導體表面存在的自由電荷面密度為或寫為式中，

為導體周圍介質的介電常數(shù)。

已知導體表面是一個等位面，因，求得

考慮到導體中不存在靜電場，因而極化強度為零。求得導體表面束縛電荷面密度為

邊界條件E2E1

1

2et

1

2enD2D1介質E,D導體en一一一⊕⊕⊕⊕靜電屏蔽E=0E0⊕⊕⊕一一一⊕⊕⊕E0一一一⊕⊕⊕一一一⊕⊕⊕E=0⊕⊕⊕⊕

例已知半徑為r1

的導體球攜帶的正電荷量為q，該導體球被內半徑為r2

的導體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質，其介電常數(shù)為1

，球殼的外半徑為r3

，球殼的外表面敷有一層介質，該層介質的外半徑為r4

，介電常數(shù)為2，外部區(qū)域為真空，如左下圖所示。試求：①各區(qū)域中的電場強度；

②各個表面上的自由電 荷和束縛電荷。r1r2r3r4

0

2

1可以應用高斯定律求解嗎?解在r<r1及r2<r<r3區(qū)域中

E=0

在r1<r<r2區(qū)域中同理，在r3<r<r4

區(qū)域中，求得在r>r4

區(qū)域中，求得？注意，各區(qū)域中的介電常數(shù)不同！r1r2r3r4

0

2

1根據(jù)及，分別求得r=r1:r=r4:r=r2:r=r3:r1r2r3r4

0

2

18.電容由物理學得知，平板電容器的電容為

電容的單位F（法拉）。C地球

F實際中，使用F（微法）及

pF（皮法）作為電容單位。

多導體系統(tǒng)中，每個導體的電位不僅與導體本身電荷有關，同時還與其他導體上的電荷有關。q1q3qnq2各個導體上的電荷與導體間的電位差的關系為式中，Cii

稱為固有部分電容；Cij

稱為互有部分電容。

||||||||||||例已知同軸線的內導體半徑為a，外導體的內半徑為b，內、外導體之間填充介質的介電常數(shù)為

。試求單位長度內、外導體之間的電容。能否應用高斯定律求解?

ab解設內導體單位長度內的電荷量為q，圍繞內導體作一個單位長度圓柱面作為高斯面S，則那么內、外導體之間的電位差U為

因此單位長度內的電容為

ab9.電場能量

電場力作功，需要消耗自身的能量，可見靜電場是具有能量的。

外力反抗電場力作功，此功將轉變?yōu)殪o電場的能量儲藏在靜電場中。

根據(jù)電場力作功或外力作功與靜電場能量之間的轉換關系，可以計算靜電場能量。十EF十十Ev十

首先根據(jù)外力作功與靜電場能量之間的關系計算電荷量為Q的孤立帶電體的能量。

設帶電體的電荷量Q

是從零開始逐漸由無限遠處移入的。由于開始時并無電場，移入第一個微量

dq

時外力無需作功。當?shù)诙€dq移入時，外力必須克服電場力作功。

若獲得的電位為

，則外力必須作的功為

dq，因此，電場能量的增量為

dq。

已知孤立導體的電位等于攜帶的電量Q

與電容C的之比，即求得電量為Q

的孤立帶電體具有的能量為

或者為

已知帶電體的電位隨著電荷荷的逐漸增加而不斷升高，可見電位是電量q的函數(shù)。那么當電荷量增至最終值

Q

時，外力作的總功為

對于n

個帶電體，設每個帶電體的電荷量均從零開始，且以同樣的比例增長。若周圍介質是線性的，則當各個帶電體的電荷量增加一倍時，各個帶電體的電位也升高一倍。

設第i

個帶電體的電位最終值為i，電荷量最終值為Qi，若某一時刻第i

個帶電體的電荷量為qi=Qi(<1)，則電位為

當各個帶電體的電量同時分別增至最終值時，該系統(tǒng)的總電場能為

求得

那么當各個帶電體的電荷量均以同一比例

增長，外力必須作的功為

當帶電體的電荷為連續(xù)的體分布、面分布或線分布電荷時，由，求得總能量為

式中，

(r)為體元dV、面元dS、或線元

dl

所在處的電位；積分區(qū)域為電荷分布的整個空間。

從場的觀點來看，靜電場的能量分布在電場所占據(jù)的整個空間，應該計算靜電場的能量分布密度。靜電場的能量密度以小寫英文字母we表示。

設兩個導體攜帶的電荷量為Q1和Q2，其表面積分別為S1和S2，如下所示。

S2Q2Q1S1Venen

已知電荷分布在導體的表面上，因此，該系統(tǒng)的總能量為

又知，求得S

若在無限遠處再作一個無限大的球面S，由于電荷分布在有限區(qū)域，無限遠處的電位及場強均趨于零。因此，積分

S2Q2Q1S1Venen那么，上面的儲能公式可寫為

式中?？紤]到區(qū)域V

中沒有自由電荷，所以。又，代入上式，求得由此求得靜電場的能量密度

利用散度定理，上式可寫已知各向同性的線性介質，，代入后得

此式表明，靜電場能量與電場強度平方成正比。因此，能量不符合疊加原理，即多帶電體的總能量并不等于各個帶電體單獨存在時具有的各個能量之和。

因為第2個帶電體引入系統(tǒng)時，外力必須反抗第1個帶電體對第2個帶電體產生的電場力而作功，此功轉變?yōu)殡妶瞿芰浚@份能量稱為互有能，而帶電體單獨存在時具有的能量稱為固有能。能量計算

例計算半徑為a，電荷量為Q的導體球具有的能量。導體周圍介質的介電常數(shù)為

。

解①通過電位。aQ可以通過三種途徑求解。已知半徑為a，電荷量為Q

的導體球的電位為②通過表面電荷。③通過能量密度。求得已知導體表面是一個等位面，那么積分求得

已知電荷量為Q

的導體球外的電場強度為10.電場力

某點電場強度在數(shù)值上等于單位正電荷在該點受到的電場力。因此，點電荷受到的電場力為

若上式中

E

為點電荷q產生的電場強度，則

式中，

為該點電荷周圍介質的介電常數(shù)。那么，點電荷q對于點電荷的作用力為

式中er

為由q

指向的單位矢量。庫侖定律qq'F

根據(jù)庫侖定律可以計算電場力。但是，對于電荷分布復雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力是非常困難的。為了計算電場力，通常采用虛位移法。這種方法是假定帶電體在電場作用下發(fā)生一定的位移，根據(jù)位移過程中電場能量的變化與外力及電場力所作的功之間的關系計算電場力。

以平板電容器為例，設兩極板上的電荷量分別為+q

及–q，板間距離為l

。dll–

q+q兩極板間的相互作用力實際上導致板間距離減小。因此，在上述假定下，求出的作用力應為負值。假定在電場力作用下，極板之間的距離增量為dl。

已假定作用力F

導致位移增加，因此，作用力F的方向為位移的增加方向。這樣，為了產生dl

位移增量，電場力作的功應為式中，下標“q=常數(shù)”

說明發(fā)生位移時，極板上的電荷量沒有變化，這樣的帶電系統(tǒng)稱為常電荷系統(tǒng)。

根據(jù)能量守恒定律，這部分功應等于電場能量的減小值，即已知平板電容器的電容及能量分別為式中，負號表明作用力的實際方向是指向位移減小的方向。代入前式求得平板電容器兩極板之間的作用力為

如果假定發(fā)生位移時，電容器始終與電源相連，這樣，在虛位移過程中，兩極板的電位保持不變，這種系統(tǒng)稱為常電位系統(tǒng)。根據(jù)這種常電位的假定，也可以計算平板電容器兩極板之間的作用力，所得結果應該與上完全相同。

由于位移增加，電容減小，為了保持電位不變，極板電荷一定增加。式中為兩極板之間的電壓。

常電位系統(tǒng)設正極板的電荷增量為dq，負極板為–dq，對應的電位分別為

1及

2，則電場能量