第4142節(jié)桿件的變形計算與剛度校核(一)

工程力學(xué)第八章桿件的變形計算與剛度校核（一）知識目標：桿件的變形計算與剛度校核1．軸向拉壓桿的變形計算方法。2．實功與虛功的概念，平衡力系作用下變形體虛功原理的意義。3．虛力狀態(tài)的建立，作荷載彎矩圖和虛力狀態(tài)彎矩圖。能力目標：1．能夠計算軸向拉壓桿的變形。2．了解實功與虛功的區(qū)別。3．能夠建立虛力狀態(tài)，并繪制荷載彎矩圖和虛力狀態(tài)彎矩圖。桿件的變形計算與剛度校核第一節(jié)概述一、變形的概念桿件或結(jié)構(gòu)內(nèi)的點或截面位置相對于其原來位置的移動量，稱為位移。

線位移Δ單位：mm角位移ψ單位：rad桿件的變形計算與剛度校核二、計算變形或位移的目的和意義1．對桿件和結(jié)構(gòu)進行剛度校核。

2．為桿件或結(jié)構(gòu)的施工和使用提供理論數(shù)據(jù)。3．為超靜定結(jié)構(gòu)的計算打基礎(chǔ)。桿件的變形計算與剛度校核三、桿件變形計算的基本公式1、軸向變形基本公式2、彎曲變形基本公式

桿件的變形計算與剛度校核第二節(jié)軸向拉壓桿的變形計算(一)縱向變形1．縱向絕對變形l=l1-l桿件的變形計算與剛度校核實際計算中，當桿件的變形不超出彈性范圍時，其變形的大小可由式(6-1)積分求得：

因而得軸向拉壓桿的絕對變形(伸長量)計算公式為

式中，l＞0時表示桿件伸長，l＜0時表示桿件縮短。桿件的變形計算與剛度校核軸向拉壓桿的絕對變形計算的一般公式

當桿件由內(nèi)力不同或剛度不同的多個桿段組成時，則整個桿件的變形等于各桿件變形的代數(shù)和。即【例6-1】計算圖6-5a所示方形截面階梯形直桿的絕對變形。已知桿件各段材料的彈性模量E=80GPa，各段橫截面的邊長分別為aAB=500mm，aBC=400mm，aCD=300mm。桿件的變形計算與剛度校核(二)橫向變形軸向拉壓桿的橫向絕對變形用Δa表示，相對變形又稱為橫向線應(yīng)變，用ε′表示。橫向絕對變形

橫向相對變形

桿件的變形計算與剛度校核(三)縱向變形與橫向變形之間的關(guān)系泊松系數(shù)

:實驗證明，在彈性變形范圍內(nèi)，軸力桿的橫向變形與縱向變形之比為一常數(shù)，若用m表示這一比例常數(shù)，則或

上式所示的比例關(guān)系稱為泊松比，μ

稱為泊松系數(shù)。常用工程材料的E、μ值如P185頁表6-1所示。

桿件的變形計算與剛度校核第三節(jié)梁的變形計算和剛度校核一、平衡力系作用下變形體的虛功原理1．實功與虛功的概念力與該力作用下物體沿力作用線方向的位移的乘積，稱為實功。桿件的變形計算與剛度校核F1在F2加載過程中沿F1方向產(chǎn)生的位移Δ12上所作的功可用圖b所示的矩形OABC的面積表示，即

由于在功W12的兩個因子中，位移不是作功的力所引起的，故稱此功為虛功。桿件的變形計算與剛度校核實功與虛功的區(qū)別

(2)虛功的大小等于力與位移的乘積，實功的大小是力與位移乘積的一半。(1)作實功時力與位移相關(guān)，作虛功時力與位移無關(guān)。桿件的變形計算與剛度校核2．平衡力系作用下變形體的虛功原理作用于彈性變形體上的外力(包括荷載和約束力)在任給虛位移上所作的虛功，稱為外力虛功；虛功原理：平衡力系作用下，變形體的外力虛功等于內(nèi)力虛功。即變形體在外力作用的同時會產(chǎn)生內(nèi)力和變形，則作用于變形體中的內(nèi)力在虛變形上所作的虛功，稱為內(nèi)力虛功。W外=W內(nèi)

桿件的變形計算與剛度校核二、荷載作用下結(jié)構(gòu)位移計算公式1．荷載作用下結(jié)構(gòu)計算的一般公式桿件的變形計算與剛度校核根據(jù)虛功原理可得把和代入上式得：當桿件是由多個桿段組成時，上式可改寫為桿件的變形計算與剛度校核2．荷載作用下梁的位移計算簡化公式不考慮軸向變形和剪切變形時，梁位移公式為

桿件的變形計算與剛度校核3．荷載作用下均質(zhì)等截面直梁位移計算的圖乘公式對于只有一個梁段的梁，位移計算圖乘公式為

當梁由多個梁段組成時，則圖乘公式為桿件的變形計算與剛度校核3．ωyc是代數(shù)量，其正負號取法為：當兩個彎矩圖位于桿件的同一側(cè)時取正號，位于桿件的不同側(cè)時則取負號。利用圖乘法計算位移時必須注意以下三點：1．所計算的桿件各桿段必須是均質(zhì)的等截面直桿；2．ω和yc是兩個不同彎矩圖上的彎矩值，且yc值必須取自于直線彎矩圖；桿件的變形計算與剛度校核4．荷載作用下梁位移計算的一般步驟計算方法位移法圖乘法建立兩種狀態(tài)一是受荷載作用的狀態(tài)，即實際狀態(tài)二是受單位荷載作用的狀態(tài)，即虛力狀態(tài)桿件的變形計算與剛度校核虛力狀態(tài)中單位荷載的設(shè)置方法是：欲求K截面某方向的位移，就在K截面處沿需求位移的方向設(shè)一大小等于1的荷載。(1)求線位移時的單位荷載為集中力(以表示)，如上圖a所示。(2)求角位移時的單位荷載為集中力偶(以表示)，如上圖b所示。桿件的變形計算與剛度校核梁位移計算的步驟一般為：(1)以梁受荷載作用的狀態(tài)為實際狀態(tài)，且1)積分法求位移時，列出各桿段在荷載作用下的內(nèi)力方程；2)圖乘法求位移時，作出桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力圖。(2)設(shè)立求位移的虛力狀態(tài)，且1)積分法求位移時，列出各桿段單位荷載作用下的內(nèi)力方程；2)用圖乘法求位移時，作出桿件結(jié)構(gòu)在單位荷載作用下的內(nèi)力圖。(3)選用相應(yīng)的位移計算公式計算位移。

桿件的變形計算與剛度校核位移方向判斷：計算結(jié)果為正，表明實際位移的方向與虛設(shè)單位荷載的方向相同；計算結(jié)果為負，表明實際位移方向與虛設(shè)單位荷載的方向相反。桿件的變形計算與剛度校核三、梁位移計算的圖乘法【例6-3】用圖乘法計算圖a所示懸臂梁B截面的豎向線位移，EI=常數(shù)。彎矩